Файл: Амербаев, В. М. Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра.pdf

Окончание таблицы 1

условиях задачи tr3 положить у(хп)= у-(Яжп)+/Х*-в))» то за­

дача tr3 совпадает с задачей tr'\, т. е. задача tr'\ оказывает­ ся алгоритмически эквивалентной задаче tr3.

В задачах аппроксимации функций алгебраическими многочленами большую популярность завоевали многочле­

ны П. Л. Чебышева.

Многочлены Т п(я) = cosnarccosa; (га=0, 1, 2,...) образуют

разлагается в сходящийся ряд по многочленам Чебышева

Для практических целей большую ценность приобрела задача интерполирования по многочленам Чебышева. Су­ ществует два варианта задач указанного типа.

Задача Thп [33]. Построить многочлен

Продолжим по периоду соотношение (10). С этой целью за­ метим, что Ts(xk) — cos ^22(t+ i'r ‘ .^■усть ■s = 2r(ra + l) + p, где

—л + 1 ^ р < п . тогда T s(xk)=(—l)rT |ц|(ж*).

Поэтому

102

Задача Thi2. Построить многочлен

Заменой x = cos© задача Th\2 сводится к задаче tr'ic (мо­ дификация К. Ланцоша).

Замечания 1 . В отличие от задачи Thu в задаче Th\2 в состав узлов интерполирования включаются концевые точ­ ки интервала интерполирования.

2. Сопоставим зависимость коэффициентов с sn от с г для задач Thu, Th\2.

Задача ТЬц

с 0л = С0 — 2(с2(л+1) — С4(п+1 ) + С8(п+1) — • • • ) Ci/j. С4 (С2л +1 ~\~С?п -ьз <?4n-f3 С4п+5 1 • • • )

Из сопоставления приведенных таблиц следует: достоин­ ство Т/г^-метода состоит в том, что величина -^-ся„ прибли­

103

жает коэффициент с п с точностью до порядка малости коэф­ фициента с 3п ; однако в случае, когда коэффициенты cs ряда (8) убывают достаточно быстро, то предпочтение сле­ дует отдать Гйц-методу, так как в целом порядок прибли­ жения коэффициентов ckn к ck в этом случае будет лучше.

Многочлены Чебышева (второго рода)

V , (l) = j!5<I+«Si55E- ( в - 0 , 1 , 2 , . . . ) У 1—х-

удобны для полиномиальной аппроксимации функций, при­ нимающих большие значения на концах интервала

(—1 » + 1 )*

Аналогично задачам Thu, Th\3 в зависимости от узлов интерполирования могут быть сформулированы два вари­ анта задач. Из них отметим аналог второго варианта.

Задача Th22. Построить многочлен

% п(Л х) = d^U^x) + йгпи 2{х) + .. . + dn_x, „ Un-i(x), (5.1.13)

Л

такой, что Ljr (f, xk) = f(xk), где в качестве узлов интерпо-

U Л

k

лирования избраны точки xh=cos^ — (O ^fe^n).

Замена x=cos0 сводит задачу Тй22 к задаче tr\S отно­ сительно функции g(0 )= sin0 /(eos0 ).

Таким образом, искомые коэффициенты dsn исчисляют­ ся по формуле

где g(xk) = sin — f(xk).

Несколько замечаний о порядке вычисления коэффици­ ентов интерполяционных многочленов.

Если в памяти машины задать матрицу синусов и коси­ нусов, отвечающих интерполяционной задаче с А-узлами, а вычисление коэффициентов интерпретировать как умно­ жение матрицы на вектор, то потребуется порядка N2 умно­ жений и N 2 алгебраических сложений, т. е. суммарно потре­ буется порядка 2N2 арифметических действий. Поэтому при больших значениях N объем вычислений существенно воз­ растает и вопрос об экономии машинного времени становит­ ся актуальным.

104

6 - — арифметических действии дает рекуррентная схема

вычисления искомых коэффициентов, описанная в работе

[108].

Дадим полезную для вычислений интерпретацию этой схемы. С этой целью нормируем интервал интерполирова­ ния [—1, +1] к отрезку [0, 1]. Тогда искомые коэффици­ енты принимают вид

Фурье akN эквивалентно вычислению значения многочлена

[53]), если fi — действительные числа.

Описанный метод удобен и тем, что он использует лишь

k k

значения cos2 n -jj-, sin2 n которые в свою очередь могут быть рассчитаны по известным тригонометрическим рекур-

В силу рекуррентности указанный метод может быть представлен короткой программой. Накопление погрешно­ стей метода незначительно.

Известно несколько приемов минимизации числа умно­ жений [70, 94, 108]. Существенно сократить число арифме­ тических действий (до порядка 2M g2N) позволяет метод работы [134]. Схему деления многочлена на двучлен удоб­ но использовать и для вычисления коэффициентов с кп в за­ дачах Thn,Th\2. Это следует из того, что

105