Файл: Амербаев, В. М. Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 91

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 2. Схема восстановления оригиналов посредством разложения их в ряды по функциям Лагерра

Описываемая ниже схема была использована в предыду­ щих главах книги для построения общей теории операцион­ ного исчисления. В силу большой практической ценности этой схемы изложим ее несколько подробнее на р-языке.

Пусть задано операционное соотношение

 

f(t)+F(p)

(Rep^v^Vo),

 

где Yo — абцисса абсолютной

сходимости

интеграла Лап­

ласа.

 

 

 

 

 

 

 

 

Будем искать разложение /(f) в форме ряда

 

 

 

 

СО

 

 

 

 

 

/(f)~eif 2

ak<?k(t/h),

(5.2.1)

 

 

 

 

k=0

 

 

 

где <pn(f) — функции

Лагерра,

определенные посредством

многочленов Лагерра Ln(t) по формуле

 

 

 

 

9n(t) = e-ti*Ln(t).

 

(5.2.2)

Воспользуемся

тем,

что

изображение

Лапласа функции

 

 

 

' 1

 

 

 

 

 

?П(0 имеет вид

<р„ (f) -*

, ±

 

 

тем, что разложение (1 )

 

 

 

Тt

+р

 

 

 

 

эквивалентно разложению

 

 

 

 

 

 

er-*At f(2ht) ~

^ ад*(21).

(5.2.3)

 

 

 

 

 

k=0

 

 

 

Тогда в пространстве изображений формальному разло­

жению (3) отвечает разложение

 

 

 

 

i - n _ L T\ = V

(1-Р)к

(5.2.4)

 

2hP + 1 )

г?=0

 

+

 

 

 

Осуществим

конформное

отображение

полуплоскости

R ep ^ 0 в круг |z | ^ 1

с помощью функции

 

 

2 =

1 —Р

р=Ьг)-

(5.2.5)

 

1+Р

 

 

 

 

 

 

 

106

Тогда ряд (4) примет вид

00

g(z) = 2

 

(5.2.6)

А=0

 

 

где

 

 

ё(г) = ~Щ+г)~

1 1 —г\

(5.2.7)

+ 2Л 1+ 2 Г

Следовательно, задача вычисления коэффициентов о* раз­ ложения (1 ) сводится к вычислению коэффициентов сте­ пенного ряда (6) функции g(z). В общем случае разложение (1 ) — это обобщенный ряд Лагерра в смысле определения главы 2. Для практики численного обращения представля­ ет интерес, когда обобщенный ряд Лагерра аппроксимиру­ ет реальную (а не обобщенную) функцию.

Достаточно широкий класс таких функций f(t) описыва­ ется ограничением

e-iht f(ht)eL 2(0, оо).

(5.2.8)

Поскольку функции Лагерра (2) образуют в пространстве Ы О, оо) полную ортонормированную систему, то коэффи­ циенты разложения (1 ) в этом случае должны удовлетво­ рять условию

00

2 ! “ft | 2 = J e~ziht | f(ht) \ 2dt <

CO.

 

k= 0

0

 

 

 

 

Говорят [106], что функция g{z) = 2 akzk

( I

2 I

<1)

 

oo

k=Q

 

 

 

 

 

 

 

 

принадлежит классу Я 2, если 2 I

| 2 <

о°.

 

 

 

к=о

 

 

 

 

Следовательно, если оригинал f(t) таков, что выполнено

условие (8), то

 

 

 

 

 

**> ~

- Щ Щ - F Ь+

2Г Ы)ен*

<5-2'9>

где F(p) изображение Лапласа функции f(t). Отметим не­ которые свойства функций класса Н2 [106].

Если g(z) 6 Я2, то

107

1 ) ее тейлоровское разложение 2

akzk в силу ортогонально­

г о

на окружности C (|z|=l)

сти системы функции 1, z, z2, ...

сходится в среднем к некоторой

функции g\(z) класса Lz

на С;

 

2 ) g\{z) является граничным значением функции g(z) в

следующем смысле: функция g(z)

при стремлении z к С по

любому пути в углах с вершинами на С и со сторонами,

являющимися

хордами,

принимает почти

всюду значения

ё i(z);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i f

 

d z

 

f

g(z)zndz = 0

 

(re = 0, 1 , 2 ,...),

3) ak = fri

J S(z) "3Ti;

J

 

 

c

2

 

c

 

 

 

 

 

 

f

i g(eiS) | 2 d© =

2

I ak I

2>

 

0

 

 

 

 

*=°

 

 

 

l

f

g(u) ^

 

[g(g)>

если | 2

|

< 1

2-i J

и 2

~

1л

если I

2 I

>

1 .

 

c

 

 

(0,

Вывод: если изображение Лапласа F(p) удовлетворяет требованию (9), то отвечающий ему оригинал f(t) однознач­ но восстанавливается, в общем случае в метрике Ьг(0, оо), рядом

f(ht) = eiht 2 4 r?k (t),

(5.2.10)

fe= 0

где коэффициенты а* могут быть вычислены по формуле

 

1

dk

, 2

,,

(5.2.11)

а»

М

dzk g (2 ) |,_о * = о, 1

либо по формуле

 

 

 

 

 

 

° * = 2^ J7С g(e^)e-ik9 d9.

 

(5.2.12)

—7С

Это сравнительно простой метод определения лагерровского спектра функций, в частности, может быть с успехом ис­ пользован для вывода большого количества новых разложе­ ний специальных функций по многочленам Лагерра.

108

П р и м е р

1. Разложить функцию

у(3 ]/^)

в ряд по

обобщенным многочленам JlareppaZ ^(j)

[21, 93].

Воспользуемся операционным соответствием

 

? ^ ' < 2 0 ~ 4 ? . ( з V m < i t =

 

j , ( ^ = )

 

 

(Rev > — 1, RejJ. >

— 1).

 

 

Применяя теорему подобия это соотношение

приведем

к виду:

 

 

 

 

 

— I 3

з

(Z\f tlA)dt = —^

(-у )

2 - j / _Lj.

Образуем функцию

J(z) = 2 -^-! f (4-) =(/.2)-"V,(2/X7),

 

 

J W ( Z ) I Z=1 =

J „ +v(2 V ) 2 = 1 »

 

 

 

Так как

 

 

 

 

 

 

я

* )=

k\t*ak

L<-m ,

 

 

 

 

2

 

dzk\ 2»+l

^ (

2

|2=»1

 

ft=o Г ( а + й + 1 )

“ ft

 

 

 

 

 

 

 

(5.2.13)

TO

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< u r 'r v '» ,

 

 

i(.rt “ >•

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

П р и м е р

2 . Вычислить свертку J<]>„ (f — x)

 

 

*) dx,

где

.

V

' i>n(A:)

_ . .

 

 

 

 

 

(t )= 2 d ~T\

L h (г),

 

 

 

 

 

 

ft-0

 

 

 

 

 

(здесь

Pn(k) — произвольный

многочлен степени

n

от

цело­

численного аргумента k).

 

 

 

 

109

Смотрите также файлы