Файл: Амербаев, В. М. Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 88
Скачиваний: 0
|
Найдем изображение заданной функции |
|
|
|
J |
JФit»- *) |
)dtdt= |
2 |
(}-1 |
Оо
= ^(Р ).
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г-v-? ^ ( 4 |
)= е - г2 |
■ |
|
< |
(2 - 1 )*> |
|
а* = 4 г дАр« (0), |
||||
|
- 2 |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ft=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д*Р„ (0) = |
0 при к >га, |
|
|
|
||||||
то в силу (13): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
_ |
|
|
|
1 |
|
ДЙр /Q\ |
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
W »(f — Ф ’,2^ ( 2 / т |
)dx = |
— 2 |
- Т (,+:+2 Г L fc+1)<*) |
||||||||
J |
|
|
|
|
|
ft= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
^ 1)^2®(Jfe) |
|
||
П р и м е р |
3. Найти сумму ряда |
2 |
г(й+ч+1 ) |
(*) = |
|||||||
фп>„(£, я), |
|
|
|
|
|
|
*=0 |
|
|
|
|
где Р п (k) — произвольный многочлен степени |
|||||||||||
п целочисленного аргумента к. Имеем |
|
|
|
|
|||||||
Г |
|
|
|
|
1 |
х ч |
|
( _ x ) k / 1 |
|
\ * |
|
J е~Р* V Фп>,(t,x )d t = |
|
2^ Pn(k)-W~ (t |
—1J = |
||||||||
0 |
|
|
|
|
|
к=0 |
|
|
|
|
|
= —qrexp * ( 1 _ т ) ] |
2 |
|
(- 1 )‘ |
|
1 г ( т " - 1 |
) |
е х р [*(*" ' |
||||
|
|
к=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l ) ] = ф й |
[* (* “ т ) ] |
2 |
(-1)* Д **»(0)1 Г |
( т - |
1)" = |
||||||
|
JQ f t |
|
|
|
|
J + V |
|
|
|
|
|
|
= |
( - l ) ' f f / * ) р* + /ГГ |
|
|
|
||||||
Следовательно, Фп, v (t, ж) = |
(^t)~v 2ea:2 |
(—l )7 3; |
(я) |
(atf)^2 X |
|||||||
|
|
|
|
|
|
7-0 |
|
|
|
|
|
110
П A*J„(0) l k x k—j |
||
X J ■>+] (2V x t ) , где Qj (*) = 2 |
*« |
\J |
k=j |
||
Если здесь, в частности, положить Р„(д:)=const, то полу чим известную производящую функцию [93] для обобщен ных многочленов Лагерра:
|
|
|
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
ех ( x t ) - '12J v(2] /* i) = |
2 |
f( £ ? + l) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
й=о |
|
|
|
|
|
Последующие примеры приведем, опуская выкладки. |
||||||||||||
П р и м е р |
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е f s i n $ t |
= 2 ( —l)^1 sinf(ra+l)!p2—nyj |
C(2-fp2 |
-|n/2 _ |
|||||||||
(a+l)2+p2 J |
L n (it), |
|||||||||||
|
71=0 |
|
|
|
[(«+1)-+?41/2 |
|
|
|
|
|||
a > |
1_ |
?! = |
arg (a + |
*P), |
? 2 = |
arg (a + |
1 + |
ip). |
||||
2 * |
||||||||||||
П р и м е р |
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 *{-*/гb er,( 2 ] / rt |
) = |
cos |
|
8» * ^ |
<-!)*£$(*) |
|
||||||
|
4 |
- ) 2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
/Sr(2fe+v+l)*42* |
||||
|
|
|
|
|
|
|
( - d * 4 £ h w |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
*=0 r(2*+v+2)4?ft+1 ’ |
|
|||||
2 't - » b e l ,( 2 K t |
) — sin (-i- |
+ 3- = ) 2 |
( - 1 )kLM (t) |
|
||||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ ^ 0r(2*+ v+l).42ft + |
|||
|
4_ cos ( ± |
+ |
i |
( - 1 ) 4 & +г(*> |
|
|
||||||
|
|
' |
U |
|
+ |
4 /jJ“ 0r(2ft+v+2)- 42ft+1 ’ |
|
|
||||
П р и м е р |
6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(* Jrd (« )7 r= C '+ JS ?7 (-X )_ + > * + y a n |
L n +l (t), |
||||||||||
2V ~t |
|
|
|
|
|
|
|
|
”=0 |
|
|
|
где C — постоянная Эйлера и |
|
|
n+ 1 А=л+1 |
A* |
|
|||||||
|
|
A! |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ill
П р и м е р |
7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
tm |
т |
|
|
|
|
+т |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ml |
2 ( - t f |
|
Ф(1В+1) + h - ™ ~ |
||||
|
k=i |
|
|
|
|
|
||
__ у ( m ) |
( - 1 )Нт~ к \ = |
y |
_ |
( - 1 )kL k+ m+1 (t) |
||||
|
|
/ |
k(m-k)l |
J |
£ 0(k+l)(k+2).. |
.(k+1+m)' |
||
П р и м е р |
8. |
|
|
|
|
|
|
|
t |
s —X |
|
|
X+s |
0-^1 (—l)”cn(s, g) |
W (t), |
||
2 </x+s(2]/^at) = |
a 2 |
e Z i |
|
Г ( п + * + 1 ) |
||||
|
|
|
|
|
n —0 |
|
|
|
где cn(s, |
a) — ортогональные |
многочлены Шарлье дискрет |
||||||
ной переменной s |
[2 1 ]: сп (s, а) = |
2 |
(г) (г) (—a)r’ s~ 0>1 >2 ... |
|||||
|
|
|
§ 3. Lir-алгоритмы |
|
||||
Тригонометрическая |
форма |
(2.12) коэффициентов ak |
||||||
разложения искомого оригинала в ряд (2 .1 0 ) наводит на вопрос: возможно ли для приближенного вычисления коэф фициентов ак ряда (2 .10 ) использовать методы тригономет рического интерполирования.
Ответ на этот вопрос дает следующая теорема, являю щаяся частным случаем одной более общей теоремы, изло
женной в работе [106]. |
полином степени л |
|
Теорема. Пусть g(z)QH2 и L n (со, г) |
||
от z, интерполирующий функцию g(z) |
в |
корнях степени |
га + 1 из единицы. |
|
|
Тогда |
|
|
lim L n(со, z) = g (z) | z | |
< |
1 |
Т1~У00 |
|
|
и стремление к пределу равномерно на любом замкнутом множестве внутри контура С( |г | = 1).
Введем обозначение a>=e2lziln+1 и представим интерполя ционный многочлен L„(co, z) в форме Лагранжа:
л+1
L nК z)= 2 g 0°*) (zn+1 — !)/(» + 1) (z — “>*). A-l
Воспользуемся тем, что для g(z) QН2 выполнено:
112
. . |
J _ Г s(u) |
8 (^) |
2тцJ и—г du. |
|
с |
Представим последний интеграл в форме предела интеграль ной суммы, образованной путем деления окружности С точ
ками со *:
Тогда
lim \g{z) — L n(со, 2)] = Л-* 00
ИшГ 1 |
|
Z n + 1 - 1 |
— + |
(п+1) (ш—1 ) |
|
ю1[_2ш |
|
|
Но при | z | ^ г < |
1 величина |
|
n-f-1
1 V <»ft(<4-lg)(c->*) j й—1
о*(ш—lg)(oj^)
равномерно
*=1
\u g (u )
ограничена по п и z, так как lim 2 d со*jr(coA)/(<0*—2)== 0J~^z:zи 2,du.
Далее, поскольку |
й=1 |
|
|
|
С |
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Л |
27С |
- |
|
2 тс |
|
|
|
co s----- |
—1 |
, |
sin ------ |
|
|
|
|
1 |
п + 1 |
|
п + 1 |
1 , |
|
n - > СО |
" |
71-»- СС' |
2т |
|
|
2т |
|
л-f-l |
|
|
71+1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
то при | г | г ^ г < 1 последовательность (2 n+1 —1 )/(п + 1 )(со—1 )
равномерно сходится по z к —^ |
• |
|
|
Следовательно, при \z\ ^ г - < 1 |
Ит[£(г)—Ln(co, z)] = 0 |
равно- |
|
|
П-*'00 |
|
|
мерно относительно z: |z | ^ г <<1 . |
\z \ ^ 1 , |
то ин |
|
Замечание. Если g(z) аналитична в круге |
|||
терполяционный процесс с узлами в корнях |
степени п + 1 |
||
из единицы при п->-оо сходится равномерно к g(z) внутри круга |г | =R наибольшего радиуса (Д >1), где функция g\z)
' продолжает быть аналитичной [106].
Таким образом, если изображение F(p) удовлетворяет ограничению (2.9), то допустимы методы тригонометриче
8 - 6 |
113 |
ского интерполирования для приближенного вычисления коэффициентов ak разложения (2 .1 0 ).
Ниже рассматривается частный случай, когда искомый оригинал является вещественной функцией. Тогда коэффи циенты а* разложения
g(eif>) = 2 |
(5.3.1) |
А = 0 |
|
являются также вещественными. Поэтому последнее разло жение эквивалентно разложению
00
Reg(e;6) = 2 akcosk&. |
(5.3.2) |
А=0 |
|
В этом случае для приближенного вычисления коэффициен тов a k можно использовать алгоритмы интерполирования по косинусам и синусам кратных углов.
Введем обозначения
р(в) = Reg(ei6) = |
- ^ |
ReF (у — |
tg - |- j + t g -j-ImF (у — |
|
|
2h tg |
2 |
[x(0 )=lm g(ei9) = |
± |
ImF (у — 2Г tg -y) — tg Re F( |
|
|
|
i |
0 \ |
|
|
2h tg |
2 ) |
Из приведенной выше теоремы и методов тригонометри ческого интерполирования вытекают следующие алгорит
мы.
Если изображение F(p) функции /(f) таково, что выпол нено условие (2.9), то для функции /(f) справедлива прибли женная формула
= |
c*»?*(t/A), |
(5-3.3) |
А= 0
где коэффициенты с „ исчисляются согласно следующим алгоритмам:
114