Файл: Амербаев, В. М. Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 89
Скачиваний: 0
алгоритм Ltric
|
2 |
-^у/ |
k s |
|
n s |
0 < S < n ) , |
||
Ck,n=~^2 d P(0 s)cOS7T— |
(Qs = ~ ; |
|||||||
|
|
s=0 |
|
|
|
|
|
|
алгоритм Ltr^c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
Jts |
|
2tts |
0 < |
s < |
n), |
Сь, П= 2n+i2d |
'P(0 s)cos2Tt 2^+ i |
(0S = 2^+i; |
||||||
|
s=0 |
|
|
|
|
|
|
|
алгоритм LThc (чебышевские узлы) [222] |
|
|
|
|||||
Cr, „ = |
2 V i |
^ |
r(2fc+l)n |
л |
ти(2й+1) |
; 0 < |
k < |
Л). |
P(0*)COS |
2(n + l) |
(0 * = |
~2(n + l) |
|||||
|
ft=0 |
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично, если исходить из синус-ряда |
|
|
|
|||||
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
Img(ei6) = 2 |
ak sinft© |
|
|
(5.3.4) |
||
|
|
|
k=i |
|
|
|
|
|
и учесть, |
что о0= g(0) = F |
|
j, положив |
с0п = а0, то |
||||
для приближенного вычисления коэффициентов о* можно воспользоваться алгоритмами интерполирования по сину сам.
Соответственно имеем: алгоритм Ltr\s
П—1
2
C k n = I T 2 d 1*(“ ) sim r
S = 1
алгоритм Lfr2s
trs |
r*s |
1 < S < n — 1), (5 .3 .5 ) |
~ |
(0 s = m |
n
4 v i |
n |
As |
2 n s |
ckn = 2S + i 2 i |
^(0 s)sin2TCt o + i |
(0 , = 2i + i ; 0 < s < r a ) . |
|
S=1 |
|
|
|
Совокупность алгоритмов численного обращения преобра зования Лапласа посредством рядов Лагерра с использова нием алгоритмов тригонометрического интерполирования в последующем будем называть Lfr-алгоритмами.
Погрешность Lfr-алгоритмов слагается из суммы по грешностей обрывания ортогонального ряда Лагерра и представления точных коэффициентов Фурье а* приближен
ие
ными скп, вычисленными согласно формулам тригономет рического интерполирования. Оба типа погрешностей суще ственно зависят от быстроты убывания коэффициентов ак степенного ряда g(z). Остановимся на анализе погрешностей второго типа. С этой целью вновь вернемся к связи между «интегральными» коэффициентами о* и «дискретными» коэффициентами с к,п.
В таблице 2 характеризуется степень приближения ис численных коэффициентов скп к искомой величине ak при достаточно быстром убывании коэффициентов ак.
Индекс
алгоритма
Ltr^c
Ltr_c
LthiC
L t r xs
L t r 2s
Таблица 2
Порядок приближения
c s n = a s + 0 ( a 2n_ s )
Con= t *o+0(2e3e)
cnn===an'%~0(a,z^)
cS7i=
C sn=® s+0(a2n+2—e)
Csn=as + 0 ( a 2n_ s)
csra= a s"bO(®2n+l—
l < s < n —1
0<s<re
1 < п < и —1
1< n < n
Из сравнения данных таблицы следует, что при доста точно быстром убывании коэффициентов ak предпочтение следует отдать чебышевским узлам.
Недостатком этих алгоритмов является неравноценность погрешностей приближения коэффициентов о, величинами osn с возрастанием индекса s. Поставим вопрос о сглажива нии указанного эффекта и повышении точности представ ления коэффициентов as.
С этой целью воспользуемся тем, что искомые коэффи
циенты a k служат одновременно |
коэффициентами |
как |
ко |
|
синус-ряда функции Regie16), так |
и синус-ряда |
функции |
||
Img(eie). Это означает, что |
как |
Ltrc — алгоритм, так и |
||
Ltrs — алгоритм приближают одни и те же величины |
ак. |
|||
Сопоставим их между собой. |
|
|
|
|
Алгоритм Ы г \ С . |
|
|
|
|
Л п |
|
тk |
|
|
2 |
|
|
|
|
Ckn ~ п Ad |
p(0 m)cosrc п » |
|
|
|
т=0
116
причем |
|
Ckn = ак + 2 (fl2nq+k + 0,2nq-k)> |
(5.3.6) |
5 = 1 |
|
Алгоритм Ltris:
_ П —1
2 dkn = T
771 = 1
_ |
mY |
Ke |
« )sin,x Т » |
причем
00
= |
-}- |
(02nq+k 02nq—k)' |
(5.3.7) |
|
|
5 = 1 |
|
Из сравнения разложений (6) и (7) заключаем, что
O kn == 2 (.Окп "Н d j m ) = d k "f* |
02n q+ k> 1 |
1, |
5 = 1
т. e. среднеарифметическая величин с kn и d kn дает сущест венно лучшее приближение искомых коэффициентов а*, причем порядок точности приближения величин os улуч шается с возрастанием индекса s :
O sn = d s “j- 0 (^2n-{-s), |
1 |
S |
Tl |
1 . |
Более того, из разложений (6) и (7) следует, что полуразность величин скп и dhn, каждая из которых приближает величину ак, позволяет пролонгировать частичную сумму
(3) ряда Лагерра. Действительно,
1 |
* |
|
02п—к, п == 2 |
d k n ) d2n—k “Ь 02nq—kt 1 ^ |
^ ^ О 1. |
|
5 = 2 |
|
Отсюда заключаем, что |
|
|
Оп + т, п — ~2~ {fin— г, п |
d a — г, п ) = О п + г -J- 0 ( f l 3 n + r)» |
1 - ^ г - ^ г а — 1 . |
Приведенный анализ показывает, что в случае, когда искомый оригинал является действительной функцией, ис пользование только косинус-ряда функции Reg(eib) или только синус-ряда функции Img(e'-°) ведет к потере инфор-
117
мац,ии относительно искомой функции /(f) и, следовательно, к потере точности представления /(f). Поскольку при вы числении значений любой из функций Reg1 ( е1Ь) или Img(ei6) неизбежно приходится использовать действительные и мни мые части значений функции F(p), вычисленных в соответ ствующих комплексных точках, то упомянутая выше поте ря информации ничем не оправдывается, ибо, как правило, наиболее трудоемкой частью является расчет значений F(p) в комплексных точках.
Подводя итог изложенному, приходим к следующим формулам численного обращения преобразования Лапласа.
Алгоритм Ltr\.
|
2га—1 |
|
|
|
|
(5.3.8) |
|
fit) |
eV ^ |
akn<?k(tlh), |
|
|
|||
|
к=0 |
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
aoh = ~2~соп> |
|
|
|
(5.3.9) |
||
a kn = ~2 ~ (Ckn |
~*г dkn), |
1 < |
k С |
п |
1, |
(5.3.10) |
|
|
= |
_3_ |
|
|
|
|
|
|
ПдЛ |
2 ^лл> |
|
|
|
|
|
й кп = ~2 ~ (C2n—ft, п dzn—k, п), |
Л "“l- |
1 |
k |
2П |
1, |
(5.3.11) |
|
причем |
|
|
|
|
|
|
|
а к п — а к ~ \ ~ Й2n+k “4 П4п + к + . . . |
|
(5.3.12) |
|||||
Здесь ckn и dkn коэффициенты, исчисляемые по схемам за дач fric и tviS соответственно.
Алгоритм Ыг2.
2п
/ ( f ) « g i * 2 a*ncp(f/ft),
Пол == Сол? П кп 2 (П/гл 4~ ^йл)> 1 ^ ^ ^ И ,
а к п — - |- (C 2 n - f - l- fc , л — ^ 2 п + 1 - * , л ), П + 1 < k < 2 П ,
причем
а *л= а А + а (2л41)+й + 02(2n-fl)+ft 4" • » •
118
Коэффициенты скп, dkn |
исчисляются по схемам задач |
tr2c, tr2s соответственно. |
и Ltr2 состоит в том, что Ltr\- |
Различие алгоритмов Ltr\ |
алгоритм использует значение функции pF(p) в бесконечно
удаленной точке, исчисленное в общем случае как |
предел |
при р->-оо вдоль прямой Rep = у, в 1 <£г2-алгоритме |
точка |
р=оо исключается из состава интерполяционных узлов.
§ 4. Оценка сходимости Lfr-алгоритмов
Относительно условий, достаточных для того, чтобы функция /(£), определенная на (0 , °о), разлагалась в сходя щийся ряд по многочленам Лагерра
00 |
|
f(t) = ^ a kLk(t). |
(5.4.1) |
h=О |
|
Известна теорема [71]: пусть функция /(£) интегрируема
на любом конечном отрезке |
[О, Я] |
|
и пусть существуют ин- |
|
|
1 |
|
со |
|
тегралы |
\ £~*4 | f(t) \ dt |
и |
j |
\ f (£) | dt , |
|
О |
|
1 |
|
тогда ряд (1 ) сходится и его сумма равна /(£) в каждой
точке, где /(£) непрерывна, и равна -у [/(? + 0)-(-/(?—0)] в
тех точках, где она разрывна4. Нетрудно эту теорему пере фразировать для случая разложения в ряд по функциям Лагерра. Отсюда следует, что для широкого класса оригина лов /(£), интегралы Лапласа которых имеют абсциссу абсо лютной сходимости уо, сходимость ряда (2 .1 ) при у = уо+ е ( е > 0) обеспечена при некоторых ограничениях на возмож ные степенные особенности /(£) в окрестности точки £ = 0 .
Таким образом, аппарат теории рядов Лагерра может служить основой для решения проблемы обращения в ши роком классе оригиналов. С точки зрения вычислительных методов ограничения возникают в связи с оценкой скоро сти убывания коэффициентов ак разложения (2 .1 ).
Методы гармонического анализа в ряде случаев позво ляют не только эффективно организовать вычислительный процесс, но и эффективно преодолевать вычислительные трудности, связанные со слабой сходимостью рядов Ла герра.
4 Доказательство теоремы при более слабых ограничениях приводит ся в работе [93].
119