Файл: Музыченко, Ю. Н. Расчет пластинчато-стержневых систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.10.2024

Просмотров: 70

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

X" — m* X = 0;

(2.74)

Y" — n® Y = 0.

Решив эти два уравнения и подставив результат в (2J2), получим

Ф=A t emx епу + А2 e - mx eny + А3 emx e~riy + А4 е~тх е~пу (2.75)

Рассмотрим область пластины, примыкающую к какому-ли­ бо узлу 0 (рис. 9, а).

Можно принять m — п. Найдем значения функции ф в узлах

а, Ь, с, d, записывая

вместо переменных в (2.75) координаты

этих узлов.

 

 

 

 

 

 

 

Получаем таким образом следующую систему уравнений:

 

- mh

 

amh

 

mh *

amh

= А, е

е х + А2 е

х е х +

. *

—mh

—amh^

*

ml/

—amhf

+ А3е

хе

 

х -f А4 е х е

х

.

m h

 

amh

„

— mh

xe

amh

фь = At e xe

x + A2e

 

x +

70

 

 

 

.

 

 

-a m h '

 

 

.

 

— m h'

—

amh

1

l

 

 

 

+ A3 ешЪхе

x + A 4e

xe

 

x

I

(2.76)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

ф£ =

.

—

mb' -a m h '

,

 

 

mh

— amh

 

 

 

 

A}e

 

xe

 

x +

A2e

xe

x +

 

 

 

 

4- A3e

— m hr

amhf

„

 

 

mh*

amh-f

 

 

 

 

 

 

xe

x 4- A4e

 

xe

x;

 

 

 

 

 

 

 

— .m l/

— amh7 .

 

 

rah*

— a m i/

,

 

 

 

 

^ r r A j e

 

xe

 

x 4- A2e

xe

x4-

 

 

 

 

 

 

„

— m l/

amh^

.

 

 

m l/

amh

 

 

 

 

 

 

4-A 3e

xe

X4-A 4e

 

xe

x.

 

 

 

 

Решив полученную систему уравнений относительно коэффи­

циентов A j, находим их значения:

 

 

 

 

 

 

 

 

.

1

!

—

m l/

„am h ' ,,

.

„ m h ' amh

. - .

 

 

 

 

A j — —

I — e

 

x e

х ф „ 4 - е

x e

хфь

4-

 

 

 

 

 

R

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— mh

t

t

 

 

 

/

 

— amh

t

\ .

 

 

 

 

 

4-

x e

— amh* .

„m h

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

x<V c - e

x e

 

 

x t i ) i

 

 

 

 

 

A

l / m hf a m i/ ,

 

Л — m h ^ a m h .

 

 

 

 

 

 

2= — I е x e

ХФ«— e

 

 

x e

х фь —

 

 

 

 

 

—

m h'

— «mh’ , ,

—

mh

 

-a m h

.

■.

 

 

 

 

 

 

e

xe

x

1' c + e xe

 

x ^ d) ;

 

 

 

 

A

l

(

— mh' „ — amh'

,,

„ m h '

— amh' .

 

 

 

(2.77)

3 = —

( e

x e

xt|»a—

e

 

 

x e

 

х Фь —

 

 

 

 

 

— m h'

amh

 

m h '

 

amh'

 

 

 

 

 

 

 

—

e

 

x e

х фс+ е

 

x e

 

x ^ d);

 

 

 

 

 

A

l

(

„mh'„—amh' ,,

. „—rah'

-amh'

,

 

 

 

4= - г - { — e

 

x e

x ^ a4 - e

 

 

x e

 

х ф ь 4

-

 

 

 

4 - е

m h

amh

,

„ — mh

 

amh

,, \

 

 

 

 

 

 

x e

х Фс— e

x e

 

X M ;

 

 

 

 

 

Здесь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_

 

/

2m h'

— 2mh '

)\ (/

— 2a mh

 

— 2amh

x:)•

(2.78)

 

 

R

=

( e

x—

e

 

Х1

ДH e

*—e

 

71

Х)тыщем теперь значение функции ф ;в центральном узле (х =

~ 0; У = 0):

Ч^0 = А1+ А 2 + Аз+ А4.

(2.79>

Подставив вместо А,- их значения из (2.78), после некоторых преобразований имеем

%

=-7^- (Ф. + 65 + ^ + % ) ■

(2.80)

 

4chX i j i c h = , ^ - “

 

Уравнения (2.80) будем составлять для всех основных и центральных промежуточных узлов сетки. В целях сокращения, числа уравнений промежуточные уравнения можно заранее исключить. Для этого рассмотрим четыре прямоугольные обла­ сти, примыкающие к узлу 0 (рис. 9 6).

Для каждой из этих 01бластей найдем уравнение (2.80) и по­ лученные таким образом значения функции ф в узлах a, b, с, d подставим в уравнение (2.80), составленное для центрального узла. В результате получаем

4 [ 1— 4ch2—-5hx ch2^

54 ^ - j Фо +

2(ф! + 'Ь + 'Ь +

W +

V

28

28

 

 

 

+ ts +

Фе + Фт +

'{'s = 0-

(2.81)

Это и есть расчетное уравнение, которое нужно составить для всех узлов сетки, в том числе и для узлов, лежащих на контуре.

Для формулировки граничных условий необходимо иметь за­ висимости, которые определят производные от функции, входя­ щие в (2.16) — (2.20). Ниже приводятся значения этих произ­ водных:

а) для центрального узла 0

 

V 5

дщ

(

-f 2^3 ■

k<Эх /о

 

h*5 ch -К 5 hx chal/

5 ah

 

 

163 sh ^

 

 

28

23

28

 

 

 

Фо 4 * Фе ■+• ^7 —

’t's) ;

 

 

72

щ

\

_

 

V 5

 

 

ь__

 

 

 

 

 

 

 

 

(2ф2

дУ °

 

.16 5eh2 '^ 4 -^ sh

У

5аЬ* с ь Г Т ^

 

 

 

 

2S

 

25

25

 

 

 

— -2й>* +

Фа +

ф6 — Ф? - ф8);

 

/ а д

 

 

 

 

 

 

[4% -f 2(4*! +

Vfc,A

.16S> , h

. ^

c

h

^

 

 

 

 

 

25

 

 

25

 

 

+ Ф2 X Фз + ф4) X Фб X Фб X Ф7 X Фв] *

 

 

 

 

/ -ДМ* \

_

 

 

 

 

 

 

\ дх ду /о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

1с

'9

.

5 hx

, ~\/~ 5

hx

 

5 ahx yV~ 5 ahs

16o2-ch--------— sh--------*ch----------sh -

—

 

 

 

25

25

 

 

25

25

 

 

X

( - Фо + Фв -

ф7

X Фв);

 

б) для узла а

 

 

 

а

д х

д

) а

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

V 5

 

 

 

V 5hx

 

 

 

 

 

 

 

( c h

 

 

83 sh'H -- -x- Ch ^ 5hx cha ^

 

5а hs

 

 

 

 

25.

25

 

 

25

 

 

—

1)(2фо+ ф2 X

V 5 hx

ф6 + ф7)

ф4) X Ch i- а д

(2ф3 +

 

 

 

2ф1 — ф5 — Фв];

 

 

 

_

а д \

 

 

5

 

_-------(2 ф 0

X

\ д

х г )

а \<Эуг/а

8S2 ch2 V

 

 

 

5 a

h K _c

h 2 V _ 5 J

b

 

 

 

 

 

 

 

25

25

 

(2.82)

(2.83)

73

 

 

+ 2фз + Фг +

ф* +

Фб +LIW;

 

'аф\

______________ V

5

 

—----- (Фа +

 

 

 

 

 

 

д у

' ~•

88 sh V J ; ?A ch. O ? > ch ^

 

 

 

23

 

28

 

28

 

 

 

+ Фб — Ф4 ~

Ф?)»

 

 

 

 

 

/_ £ Ц \

 

 

 

 

 

 

\ d x d y ) a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V Thx_

 

 

 

 

 

 

(ch

88. Sh ^

sh У 8 “ ". ch L J i c l / 5 * i L

28

 

 

28

28

28

28

 

1)(ф2 — <|>4) + ch V 5 hx

(Фв — Фт) — Фб + Фв

в )

д л я

узла р

 

 

 

 

 

* П

_

 

V

~ 5

 

■(—Ф1 +

д х /р

88 s h ^ - ^ - c h 2 — 5 h x -c h У- llb

 

 

 

28

 

28

 

28

 

 

 

+

фз — Фб +

Фб);

 

 

/£ Ф \

/ач л

 

 

5

 

(2фо +

 

 

 

 

I ах2

/р

\ ау* /р

8ch2 ^ -^ 2 - ch2 У~^а h,i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

28

 

28

 

 

 

+ 2^2 +

Ф1 +

фз 4- Фб +

Фб);

 

 

 

 

/аф

 

 

 

 

 

 

 

Uy

 

 

 

 

 

 

/

5

 

 

V

5 a hx

8 8 ch* Yjb*. sh —

 

 

 

(ch

 

— ~x - Ch

l

 

 

 

 

28

28

 

28

 

 

(2.83)

(2.84)

74

Смотрите также файлы