Файл: Козин, И. В. Элементы теории оптимального обнаружения и приема сигналов.pdf

ций с квадратично интегрируемой первой производной. При этом 'функция a(t), определяемая равенством (2.8.2), не при­ надлежит Нк -\> благодаря чему из теоремы 2.3.3 вытекает ор­

тогональность мер Р1 и Р. Разумеется, эти меры останутся ортогональными, если взять в качестве а(1) произвольную раз­ рывную функцию.

Л

Г л а в а 3

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЕМЕЙСТВА Pv

§3.1. Семейство Pv

Пусть f ( x ) — функция на числовой оси, являющаяся плот­ ностью вероятностей некоторой положительной случайной ве­ личины с конечным первым моментом. Введем семейство плот­ ностей распределения вероятностей,' определяемых формулой

f i t ( - И > • • • > ^ п )

СО

= Г / ( х ) П ^ 1 А ехр | _ J -(A [2 — z], (г — Щ й х , (3.1.1)

и( 2 к х ) 2

где Л представляет собой положительно определенную п- мерную квадратную матрицу с элементами 'km', detA— опреде­ литель матрицы Л;

странстве Rn. Случайные величины с плотностями совместного распределения вероятностей вида (3.1.1) обладают свойствами, до некоторой степени сходными со свойствами гауссовских случайных величин. В частности, центральные моменты нечет­ ного порядка для этих случайных величин, как и для гаус­

совских, равны нулю; и, если Z?, Z°, Z 3 и Z 4— результаты центрирования математическими ожиданиями случайных вели­ чин Zb Z,, Z3, Z, с плотностью совместного распределения вероятностей (3.1.1), то

м \z\z\z\z5] = *+,т ’х [м [z\z\J м [zgz^] +

т-.

+ Ж [Z?Za] М [Z§ZS] + М [Z?ZS] М [Z§ZS]}, (3.1.2)

45

причем

ранство, то при помощи семейства плотностей вероятностей (3.1.1), можно задать на нем конечномерные распределения вероятностей с функционалом математического ожидания m(v) и корреляционным функционалом K(v, v'). Пусть vu ...,

тогда и только тогда определяет счетно-аддитивную вероятно­

1.4.1.

Пусть мера Р счетно-аддитивна. Непрерывность m(v) и корреляционного функционала K(v, v'), а, следовательно, су­ ществование, ограниченность и неотрицательность корреляци­ онного оператора К являются следствием неравенства

J (z, v)2P{dz) — K{v, v) -f- m2(ц) < oo

н

(стр. 404 [6]). По теореме 1.4.2 для каждого е>0 найдется та­ кой ядерный оператор А, что характеристический функционал ср(ц) меры Р удовлетворяет условию

Re [1 — <р(о)] < е,

46

если (Лг1, v) < 1. Так как характеристический функционал

<Р (г/) = \ e J {v' Z)P ( dz) =

я

/С (г;, -о) < С 6,

где СЕ— положительная константа. Благодаря непрерывности функционала К (v, v), его можно выразить^равенством

K{v, v) — {Kv, v)

через корреляционный оператор К и написать неравенство

(Kv, т>)< Св (Лг\ v),

из которого следует, что оператор К имеет конечный след. По­ скольку этот оператор ограничен и положителен, то отсюда будет следовать его ядерность. Теорема доказана.

Назовем совокупность вероятностных мер, удовлетворяю­ щих условиям теоремы 3.1.1, семейством Pv.

Очевидно (§ 2.2),

Рт СРр.

§3.2. Случайные функции с распределениями вероятностей из Р7

Пусть В (о, v') — начальный момент второго порядка не­ которой вероятностной меры Р на Я (§ 1.4). Если ср(о)— ха­ рактеристический функционал меры Р, то при любых v я w из Я

47

!расширить по непрерывности на все пространство Нв, получен­ ное замыканием множества Н при помощи скалярного произ­ ведения

В частности, это справедливо и для характеристического функ­ ционала, определяемого формулой (3.1.6).

Если Нк — гильбертово пространство, полученное замыка­ нием множества Я относительно скалярного произведения

(и, v')K — K(v, ю').

а функционал m(v) непрерывен относительно нормы ||т>])А., то функционал ср (v) можно расширить и на все пространство Нк .

Это обстоятельство позволяет вычислять функции совместного распределения вероятностей случайных величин из соответствующих элементам г»,, ... , v„ из ИЁ (§ 1.6), как

функции распределения вероятностей, определяемые расти-, ренным характеристическим функционалом, поскольку каждый

не принадлежат И, но принадлежат Нк и линейно независи­ мы, а функционал m(v) непрерывен относительно нормы Ц ||Л-, то эти элементы принадлежат и Нв, причем функция совме­ стного распределения вероятностей случайных величин X v.f

L— 1, ... , п из L.,(B) для семейства Рт, как нетрудно пока­ зать, опять будет определяться плотностью (3.1.5). Если эле­ менты v-t, i — 1, . . . , п линейно зависимы, функция совме­ стного распределения вероятностей случайных величин X v.,

i = 1, . . . , п из L2{B) не будет иметь плотности. Для ее на­ хождения в общем случае нет необходимости использовать характеристические функционалы. Можно, например, восполь­

где cp — некоторая последовательность, стремящаяся, у би ­ вая, к числу с.

-18

а функционал m(v) — непрерывной функцией b(t). При помо­ щи функционала 8t(u) строим случайную функцию %{t) (§ 2.6).

х = 1, . . . , п и значения случайной функции S(^), . . . , k{tn). Функция совместного распределения вероятностей случайных величин £(£[), . . . , $ (£„) определяется при этом плотностью (3.1.5). Нужно -только положить в формуле (3.1.5)

K{vtl, *>,,) = *■(*„ U)

и

Полученные выражения позволяют интерпретировать случай­ ную функцию i(t) как произведение гауссовской случайной функции (() и случайного положительного коэффициента X

сплотностью вероятностей f(x).

Винженерной практике в качестве математической модели различных физических шумов широкое распространение полу­ чило гауссовское распределение вероятностей. Но не всегда

такая модель достаточно точно отражает реальную картину. Действительно, если .рассматривать шум в течение сравнитель­ но небольшого промежутка временя, то его иногда с удовлет­ ворительной точностью можно аппроксимировать гауссовской моделью. Однако часто дисперсия этого процесса сама явля­ ется случайной величиной, что обусловлено медленным (по сравнению е интервалом наблюдения) случайным изменением параметров источника шума. В этих условиях естественнее пользоваться моделью шума в виде гауссовского процесса со случайной интенсивностью.

§3.3. Семейство PJV. Сходимость последовательностей квадратичных форм первого типа

Определим семейство Р/т как совокупность всех пар мер ? i и Я из Рт с одной и той же для всех мер плотностью f{x), имеющей конечным» второй момент, и общим для каждой пары мер корреляционным оператором К.