Файл: Козин, И. В. Элементы теории оптимального обнаружения и приема сигналов.pdf

то оператор А при этом отображении переходит в унитарно эквивалентный оператор умножения на ограниченную сумми­ руемую функцию Gi(co), а оператор В — в унитарно эквива­ лентный оператор умножения на ограниченную суммируемую функцию G(со) (стр. 546—551 [26]), причем функции Gi (со) и G(со) оказываются неотрицательными, а соответствие — взаим­ но-однозначным. В рассматриваемом случае все перечисленные выше условия ортогональности вероятностных мер эквивалент­ ны теореме 2.3.6, т. е. определяются свойствами оператора А\. Справедлива

Т е о р е м а 2.7.1. Пусть операторы А и В в Ь2(Т) унитар­

но эквивалентны операторам умноокёния в L2 на ограниченные суммируемые четные неотрицательные функции Gifco) и G(со) соответственно, обращающиеся в нуль не более, чем на мно­ жестве меры нуль; и пусть найдется такое число 0<Хо<°°, что функция

фМ=%£т-х»

ограничена, при вещественных ш и обращается в нуль не более, чем на множестве меры нуль, причем

J* | Ф (ш) | ййо

Тогда операторы А и В будут положительными и ядерными с непрерывными ядрами, а оператор А\ положительно определен и равен сумме единичного оператора, умноженного на }.Q, и ядерного оператора.

Прежде чем доказывать теорему, докажем несколько вспо­ могательных предложений, считая выполненными условия тео­

означает, что ее преобразование Фурье иг(со) удовлетворяет неравенству

(Аи, и )— j G, (ш) | nr (oj)|2aV

Отсюда, если (Аи, и) —о, функция G, (ш) | ит(ш) |2 эквивалентна нулю. Так как функция |« 7(о>)|2 обращается в нуль только

40

этому утверждать, что функция Ki{t—t') является эрмитовонеотрицательным ограниченным ядром (стр. 148 [8]). Это ядро порождает ядерный оператор А (стр. 151 [8]). Непрерывность ядра К\ можно доказать, если воспользоваться (стр. 82 [26]). Совершенно аналогично доказываются перечисленные утверж­ дения и для оператора В.

Л е м м а 2.7.3. Если при любом отличном от нулевого эле­ менте и £ Л линейный ограниченный оператор В удовлетворяет неравенству (Ви, и)>0, то существует определенный на всюду плотном в Н линейном множестве Dc линейный оператор С с всюду плотной в Н областью значений такой, что

Выберем С = В 2. Этот оператор имеет всюду плотную в Н линейную область определения DC = R ] и для него при лю-

в-

бых и и v из Dc справедливы равенства

41

рицательна, ограничена и суммируема, в силу чего к ней можно применить лемму 2.7.1. По этой лемме оператор Л0

Отсюда, как и в лемме 2.7.2, следует, что оператор Л^ яв­ ляется ядерным.

4 2

2 КА>и*. «*)1 < 03■ ft=l

прямым следствием тёоремы 2.4.1.

§2.8. Случайные процессы, удовлетворяющие найденным условиям ортогональности

'Пусть случайные процессы %(t) и £;(/), как и в § 2.6, по­ строены при помощи функционала бt(u), и процессу |(£) соот­ ветствует нулевое математическое ожидание и функция корре­ ляции

и та же самая функция корреляции, причем процесс £(f) П0‘ ■рождается мерой Р, а процесс %\{t) — мерой Р]. Пусть про­ странством Я будет L2[0, Т], а оператор К определяется равен­ ством

43

Легко показать, что область RK значений оператора К на Е2[0, Т] состоит из всех абсолютно непрерывных функций f(t) пространства L2[0, Т] с абсолютно непрерывной первой и квад­ ратично интегрируемой второй производными, удовлетворяю­ щих граничным условиям

/( 0 ) + /( Г ) = /'(0 )7 \ f'(0) + f ( T ) = 0.

Функция К (г), определяемая равенством (2.8.1), суммируема на всей оси, поэтому по лемме 2.7.1 оператор К будет положи­ тельным, а по лемме 2.7.2 — ядерным.

Дифференцированием равенства (2.8.3) найдем, что опера­ тор Л'-1 определяется на Як при помощи равенства

которое путем интегрирования по частям и применения гра­ ничных условий (2.8.4) приводится к симметричному (относи­

мыми первыми производными. Для решения вопроса, состоит ли пространство Нк -\ из всех таких функций или эти функции

должны удовлетворять граничным условиям (2.8.4), можно по-х ступить следующим образом (стр. 83 [1 7 ])строим функционал

числу принадлежат и краевые условия (2.8.4), они естествен­ ные, и функции из пространства Нк ~i не обязаны удовлетво­

рять им. В противном случае граничные условия называются главными, и. функции из Нк-\ обязаны удовлетворять им.

Решая вариационную задачу для рассматриваемого случая, находим, что условия (2.8.4) являются естественными, а про­ странство НЛ._1 состоит из всех абсолютно непрерывных функ­

44