Файл: Козин, И. В. Элементы теории оптимального обнаружения и приема сигналов.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.10.2024

Просмотров: 73

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Множество FI всюду плотно в Ив , множество Н* всюду плотно в /У* = /Уд_1. Следовательно, оператор V расширяется до

изометрического отображения V пространства Н в на простран­ ство // в_1. Принимая во внимание теперь формулу (2.5.6), получаем равенство (2.5.2), которое оказывается справедливым для любых F' и F" из H B-i- Этим и завершается доказатель­

ство теоремы.

Доказанная теорема позволяет отождествлять элементы пространства Нв с линейными функционалами на Н в -\, не­ прерывными относительно нормы |Jn|B_i. Более того, с уче­ том результатов § 1.6 из нее следует, что между элементами пространств FfB-i и существует изометрическое соот­ ветствие.

В дальнейшем будем элементы пространства Нв - \ записы­

вать в виде функционалов от аргумента ар_Нв - 1,

а соответ­

ствующие им элементы

пространства L->(B) — тем

же симво­

лом, но с аргументом z

£Ff.

 

§ 2.6. Гильбертовы случайные функции

Пусть Т — некоторое множество значений параметра ска­ лярного или векторного. Сопоставим каждому t £ Т числовую

ось, а всему

Т — пространство R T, являющееся произведением

пространств R, и обозначим через б, (г) измеримое отображе­

ние из

Н в

R. Функция

=

z) — 'bt(z) двух

перемен­

ных

Т и

« £ / / Н-измерима

при каждом t £ T ,

а поэтому

является случайной функцией или случайным процессом, если

интерпретировать t как время.

называется

гильбертовой, если

Случайная

функция

l{t)

 

М[%2( Л ] = f б? (z) Р (dz) <

со.

 

 

1-1

 

 

Для гильбертовой случайной

функции существуют математи­

ческое ожидание

 

 

 

 

mx{t) =

M[\ (t)}= \-bl (z)P(dz),

 

 

 

>/

 

смешанный начальный момент второго порядка

Гt (t,

f ) = М [5 (О Е(f) 1= f 6, (z)

(z) Р (dz)

 

 

 

н

 

и корреляционная функция

Kk(t, n = ri(t, Г ) -,iv,(t) 114(f).

Частным случаем гильбертовых случайных функций являются случайные функции, для которых bt (z) £ L->(В). Поскольку

36


каждому элементу ф, (z)

из L 2(B) соответствует единственный

элемент

v t £ H B

1.6),

то

для

случайных функций, опреде­

ляемых

элементами

из L 2(B),

 

 

 

 

 

Г 5 { t ,

 

 

V r ) B .

 

 

Каждый элемент из Ь2(В)

является пределом

последова­

тельности функций

(z, v nt)

от z

для последовательности эле­

ментов vnt^FI, сходящейся

к элементу v t

по норме

простран­

ства Нв . Поэтому

 

 

 

 

 

 

т%(t)= lim j(z , v„,)P(dz) = lim {b,

v„t) — Fv {b),

 

П-*■со ft

 

 

 

П-*■oe

 

1

где Fv (b) — некоторый линейный функционал от b, K,(t, t') = {vh vc)B — FVt{b)FVt,{b).

Если функция Fi{t, i') непрерывна в области T, случайная функция £(/) также будет непрерывной (стр. 238 [4]). Если при этом Т — компактное множество (например, конечный проме­ жуток на числовой оси), то существует измеримая сепарабель­ ная случайная функция, стохастически эквивалентная функции £(/) (стр. 209 [4]). Будем считать такой саму функцию £(t). Тогда в силу теоремы Фубини

М \?[<t)\dt = M f Е2 (t) (it

(2.6.1)

благодаря чему почти все относительно меры Р реализации случайной 'функции £(7) имеют интегрируемый по промежутку Т квадрат.

Рассмотрим в качестве гильбертова пространства Н прост­ ранство L2(T) всех функций с суммируемым по Лебегу квад­ ратом на конечном промежутке Т числовой оси. Скалярное произведение между элементами г и о из Я в этом случае за­ дается равенством

(z, v ) = [ z{t)'u(t)dt. r

Если мера Р принадлежит семейству Ра, то с учетом теорем 2.2.1 и 2.2.2 соответствующие ей оператор момента второго по­ рядка В и корреляционный оператор К будут ядерными я по­ ложительными, а математическое ожидание будет определять­ ся функцией b { t ) ^ L 2{T). Ядерный оператор является вместе с тем и оператором Гильберта — Шмидта (стр. 55 [31), поэтому операторы В и К порождаются ядрами (стр. 141 [8]), т. е. су­ ществует функция K(t, Г) на TXT такая, что

Ku = \ K ( t , t')u{t')dt',

 

Au = Ku + b(b, и )= \K{t, V) и {tr) dt' + b (t)

\ b {F) a{f) dt'.

т

г

37


Если функции K(t, t') и b(t) ограничены и непрерывны на Т (или даже только непрерывны почти всюду на Т относительно меры Лебега), для всех точек непрерывности этих функций оп­ ределен линейный функционал бi(w), ставящий в соответствие функции w(-) ее значение в точке t. Этот функционал, очевид­ но, может быть представлен как предел последовательности линейных функционалов бtn(w) — (w, vtn), где vtn — элементы из Я. Функционалы бm(w) принадлежат Н*. На них по фор­ муле

 

 

ВЬ(11= Bvin= Kvin+

b (b,

v tn) ==

 

 

 

 

= 3(n ( W . '))+&(*') 8,«(*)

V 'Z T )

 

 

 

 

/\

 

 

 

 

К (t', t) и b (t) не­

определен оператор В. Так как функции

прерывны,

при п -* °о существует предел

 

 

 

 

ч

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В8( =

lim Bbla =

K (t't

t) +

b(?)b(t)

(t'£ T ) .

 

 

 

 

fl со

 

 

 

 

 

 

 

Точно так же

находим, что

 

 

 

 

 

 

 

 

А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a, (Bbt) =

i<(t,

t) +

(t) < оо.

 

 

Следовательно, Ъ( £Н*в-\

и по теореме 2.5.1

элементу

5,

соот­

ветствует

единственный

элемент

 

 

которому,

в

свою

очередь, соответствует единственный элемент X V( (z) из L 2(B) (§ 1.6). Поскольку Аг1,Дг)является пределом в среднем квадра­

тическом

относительно

меры

Р последовательности функций

(z, v tn)>

т°. выбрав из

этой

последовательности сходящуюся

почти всюду на И подпоследовательность, получим Н-измери-

мую функцию 3t (z),

эквивалентную

Х р (г). Функция

0,(2)

определяет случайный

процесс l(t). При этом

 

 

 

M[V-(t)] = ^ U z ) P ( d z ) = \\vtfB =

 

 

 

У*Ч

II

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= bt (Bbt) = K ( t ,

t) + b2(t)< со,

(2.6.2)

А

(I

П = М [£ (0 6 (*')] -

f ог (z) Ьг (z) Р (dz) =

 

 

 

 

 

н .

 

 

=

К

v r)B =

bt.(Bbt) =

K(t,

t') + b(t)b(t'),

(2.6.3)

me (t) — lim

f (z, vln)P (dz) =

lim (b,

vtn) = lim 8,„ (b) =

b (t).

П“*■00И

tl~*-60

/i-*-oo

 

 

 

 

 

 

 

(2.6.4)

Следовательно, случайная функция £(/) является непрерывной ■и эквивалентна измеримой сепарабельной случайной функции. Неравенство (2.6.2) позволяет при этом воспользоваться ра­ венством (2.6.1) и утверждать, что процесс £,(t)=6t(z) имеет интегрируемый по мере Лебега квадрат. Равенства (2.6.3) и

38


{2.6.4) показывают, что в .рассматриваемом случае математи­

ческое ожидание процесса

§(/)

совпадает с элементом

Ь, опре­

деляющим математическое

ожидание случайной функции

(z,

о), а функция корреляции K\(t,

t') =Г%(t, t')b(t)b(t')

— с

яд­

ром K(t, t') корреляционного оператора. Поэтому нет необхо­ димости различать эти функции.

§ 2.7. Стационарные процессы, не удовлетворяющие

 

найденным условиям ортогональности

 

Гильбертов

случайный

процесс

£(£) называется стационар­

ным

в широком

смысле (или просто стационарным), если

его

математическое

ожидание

(/) =

const, а функция корреля­

ции

/(е (f, t')

зависит только от

разности аргументов t

и V .

'Выберем в качестве реализации пространства Я простран­ ство Ь2(Т) всех функций с суммируемым по Лебегу на проме­ жутке Т квадратом и будем считать, что построенный в пре­ дыдущем параграфе при помощи функционала 6t(u) непрерыв­ ный случайный процесс ’E_(t) является стационарным в широком смысле. Выделим класс пар таких процессов, не удо­ влетворяющих перечисленным выше условиям ортогональности вероятностных мер. Поскольку эти условия являются только достаточными, вероятностные меры, не удовлетворяющие им,

могут оказаться и ортогональными.

процесса £(t)

Пусть имеются два стационарных случайных

и |i (() с вероятностными мерами Р и Р i на (Я,

Н), имеющие

математические ожидания, равные нулю, и функции корреля­ ции K(tV) и К[ (/—t') соответственно. Обе функции корреля­ ции считаются непрерывными. Они являются четными и поло­ жительно определенными (стр. 32 [23]). Им соответствуют опе­ раторы момента второго порядка В и А, совпадающие с кор­

реляционными операторами /Си Q, причем

г г

Ап = J К, (t ?) и (?) d?, Ви = j K(t ?) и (?) d?.

Каждый элемент пространства 12(Т) можно рассматривать как эквивалентный нулю вне промежутка Т элемент простран­ ства Z.2вещественных . функций с суммируемым на всей число­ вой оси квадратом. Поэтому Ь2(Т) является подпространством пространства Ь2. В свою очередь, пространство Ь2 является

подпространством пространства Ь2 комплекснозначных функ­ ций с суммируемым на всей числовой оси квадратом модуля.

Оператор Фурье отображает пространство Ь2 на себя, а под­

пространство

Lo(T) — на некоторое

подпространство L2(T)

пространства

L '2. Если функции

/С(т)

и К\ (т) удовлетворяют

условиям

 

 

 

,

ОО

со

 

4

j | е д | АГ т | < 0 0 ,

J |/f 1(T)|flfx<oo,

39