Файл: Козин, И. В. Элементы теории оптимального обнаружения и приема сигналов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 30.10.2024
Просмотров: 73
Скачиваний: 0
Множество FI всюду плотно в Ив , множество Н* всюду плотно в /У* = /Уд_1. Следовательно, оператор V расширяется до
изометрического отображения V пространства Н в на простран ство // в_1. Принимая во внимание теперь формулу (2.5.6), получаем равенство (2.5.2), которое оказывается справедливым для любых F' и F" из H B-i- Этим и завершается доказатель
ство теоремы.
Доказанная теорема позволяет отождествлять элементы пространства Нв с линейными функционалами на Н в -\, не прерывными относительно нормы |Jn|B_i. Более того, с уче том результатов § 1.6 из нее следует, что между элементами пространств FfB-i и существует изометрическое соот ветствие.
В дальнейшем будем элементы пространства Нв - \ записы
вать в виде функционалов от аргумента ар_Нв - 1, |
а соответ |
|
ствующие им элементы |
пространства L->(B) — тем |
же симво |
лом, но с аргументом z |
£Ff. |
|
§ 2.6. Гильбертовы случайные функции
Пусть Т — некоторое множество значений параметра ска лярного или векторного. Сопоставим каждому t £ Т числовую
ось, а всему |
Т — пространство R T, являющееся произведением |
||||
пространств R, и обозначим через б, (г) измеримое отображе |
|||||
ние из |
Н в |
R. Функция |
= |
z) — 'bt(z) двух |
перемен |
ных |
Т и |
« £ / / Н-измерима |
при каждом t £ T , |
а поэтому |
является случайной функцией или случайным процессом, если
интерпретировать t как время. |
называется |
гильбертовой, если |
||
Случайная |
функция |
l{t) |
||
|
М[%2( Л ] = f б? (z) Р (dz) < |
со. |
||
|
|
1-1 |
|
|
Для гильбертовой случайной |
функции существуют математи |
|||
ческое ожидание |
|
|
|
|
|
mx{t) = |
M[\ (t)}= \-bl (z)P(dz), |
||
|
|
|
>/ |
|
смешанный начальный момент второго порядка |
||||
Гt (t, |
f ) = М [5 (О Е(f) 1= f 6, (z) |
(z) Р (dz) |
||
|
|
|
н |
|
и корреляционная функция
Kk(t, n = ri(t, Г ) -,iv,(t) 114(f).
Частным случаем гильбертовых случайных функций являются случайные функции, для которых bt (z) £ L->(В). Поскольку
36
каждому элементу ф, (z) |
из L 2(B) соответствует единственный |
||||||
элемент |
v t £ H B (§ |
1.6), |
то |
для |
случайных функций, опреде |
||
ляемых |
элементами |
из L 2(B), |
|
|
|
||
|
|
Г 5 { t , |
|
|
V r ) B . |
|
|
Каждый элемент из Ь2(В) |
является пределом |
последова |
|||||
тельности функций |
(z, v nt) |
от z |
для последовательности эле |
||||
ментов vnt^FI, сходящейся |
к элементу v t |
по норме |
простран |
||||
ства Нв . Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
т%(t)= lim j(z , v„,)P(dz) = lim {b, |
v„t) — Fv {b), |
||||||
|
П-*■со ft |
|
|
|
П-*■oe |
|
1 |
где Fv (b) — некоторый линейный функционал от b, K,(t, t') = {vh vc)B — FVt{b)FVt,{b).
Если функция Fi{t, i') непрерывна в области T, случайная функция £(/) также будет непрерывной (стр. 238 [4]). Если при этом Т — компактное множество (например, конечный проме жуток на числовой оси), то существует измеримая сепарабель ная случайная функция, стохастически эквивалентная функции £(/) (стр. 209 [4]). Будем считать такой саму функцию £(t). Тогда в силу теоремы Фубини
М \?[<t)\dt = M f Е2 (t) (it |
(2.6.1) |
благодаря чему почти все относительно меры Р реализации случайной 'функции £(7) имеют интегрируемый по промежутку Т квадрат.
Рассмотрим в качестве гильбертова пространства Н прост ранство L2(T) всех функций с суммируемым по Лебегу квад ратом на конечном промежутке Т числовой оси. Скалярное произведение между элементами г и о из Я в этом случае за дается равенством
(z, v ) = [ z{t)'u(t)dt. r
Если мера Р принадлежит семейству Ра, то с учетом теорем 2.2.1 и 2.2.2 соответствующие ей оператор момента второго по рядка В и корреляционный оператор К будут ядерными я по ложительными, а математическое ожидание будет определять ся функцией b { t ) ^ L 2{T). Ядерный оператор является вместе с тем и оператором Гильберта — Шмидта (стр. 55 [31), поэтому операторы В и К порождаются ядрами (стр. 141 [8]), т. е. су ществует функция K(t, Г) на TXT такая, что
Ku = \ K ( t , t')u{t')dt', |
|
Au = Ku + b(b, и )= \K{t, V) и {tr) dt' + b (t) |
\ b {F) a{f) dt'. |
т |
г |
37
Если функции K(t, t') и b(t) ограничены и непрерывны на Т (или даже только непрерывны почти всюду на Т относительно меры Лебега), для всех точек непрерывности этих функций оп ределен линейный функционал бi(w), ставящий в соответствие функции w(-) ее значение в точке t. Этот функционал, очевид но, может быть представлен как предел последовательности линейных функционалов бtn(w) — (w, vtn), где vtn — элементы из Я. Функционалы бm(w) принадлежат Н*. На них по фор муле
|
|
ВЬ(11= Bvin= Kvin+ |
b (b, |
v tn) == |
|
|
|||
|
|
= 3(n ( W . '))+&(*') 8,«(*) |
V 'Z T ) |
|
|
||||
|
|
/\ |
|
|
|
|
К (t', t) и b (t) не |
||
определен оператор В. Так как функции |
|||||||||
прерывны, |
при п -* °о существует предел |
|
|
|
|
||||
ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В8( = |
lim Bbla = |
K (t't |
t) + |
b(?)b(t) |
(t'£ T ) . |
|
|
||
|
|
fl со |
|
|
|
|
|
|
|
Точно так же |
находим, что |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a, (Bbt) = |
i<(t, |
t) + |
(t) < оо. |
|
|
||
Следовательно, Ъ( £Н*в-\ |
и по теореме 2.5.1 |
элементу |
5, |
соот |
|||||
ветствует |
единственный |
элемент |
|
|
которому, |
в |
свою |
очередь, соответствует единственный элемент X V( (z) из L 2(B) (§ 1.6). Поскольку Аг1,Дг)является пределом в среднем квадра
тическом |
относительно |
меры |
Р последовательности функций |
(z, v tn)> |
т°. выбрав из |
этой |
последовательности сходящуюся |
почти всюду на И подпоследовательность, получим Н-измери-
мую функцию 3t (z), |
эквивалентную |
Х р (г). Функция |
0,(2) |
|||
определяет случайный |
процесс l(t). При этом |
|
||||
|
|
M[V-(t)] = ^ U z ) P ( d z ) = \\vtfB = |
|
|||
|
|
У*Ч |
II |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= bt (Bbt) = K ( t , |
t) + b2(t)< со, |
(2.6.2) |
||
А |
(I |
П = М [£ (0 6 (*')] - |
f ог (z) Ьг (z) Р (dz) = |
|
||
|
|
|
|
н . |
|
|
= |
К |
v r)B = |
bt.(Bbt) = |
K(t, |
t') + b(t)b(t'), |
(2.6.3) |
me (t) — lim |
f (z, vln)P (dz) = |
lim (b, |
vtn) = lim 8,„ (b) = |
b (t). |
||
П“*■00И |
tl~*-60 |
/i-*-oo |
|
|||
|
|
|
|
|
|
(2.6.4) |
Следовательно, случайная функция £(/) является непрерывной ■и эквивалентна измеримой сепарабельной случайной функции. Неравенство (2.6.2) позволяет при этом воспользоваться ра венством (2.6.1) и утверждать, что процесс £,(t)=6t(z) имеет интегрируемый по мере Лебега квадрат. Равенства (2.6.3) и
38
{2.6.4) показывают, что в .рассматриваемом случае математи
ческое ожидание процесса |
§(/) |
совпадает с элементом |
Ь, опре |
|
деляющим математическое |
ожидание случайной функции |
(z, |
||
о), а функция корреляции K\(t, |
t') =Г%(t, t')—b(t)b(t') |
— с |
яд |
ром K(t, t') корреляционного оператора. Поэтому нет необхо димости различать эти функции.
§ 2.7. Стационарные процессы, не удовлетворяющие
|
найденным условиям ортогональности |
|
||||
Гильбертов |
случайный |
процесс |
£(£) называется стационар |
|||
ным |
в широком |
смысле (или просто стационарным), если |
его |
|||
математическое |
ожидание |
(/) = |
const, а функция корреля |
|||
ции |
/(е (f, t') |
зависит только от |
разности аргументов t |
и V . |
'Выберем в качестве реализации пространства Я простран ство Ь2(Т) всех функций с суммируемым по Лебегу на проме жутке Т квадратом и будем считать, что построенный в пре дыдущем параграфе при помощи функционала 6t(u) непрерыв ный случайный процесс ’E_(t) является стационарным в широком смысле. Выделим класс пар таких процессов, не удо влетворяющих перечисленным выше условиям ортогональности вероятностных мер. Поскольку эти условия являются только достаточными, вероятностные меры, не удовлетворяющие им,
могут оказаться и ортогональными. |
процесса £(t) |
Пусть имеются два стационарных случайных |
|
и |i (() с вероятностными мерами Р и Р i на (Я, |
Н), имеющие |
математические ожидания, равные нулю, и функции корреля ции K(t—V) и К[ (/—t') соответственно. Обе функции корреля ции считаются непрерывными. Они являются четными и поло жительно определенными (стр. 32 [23]). Им соответствуют опе раторы момента второго порядка В и А, совпадающие с кор
реляционными операторами /Си Q, причем
г г
Ап = J К, (t — ?) и (?) d?, Ви = j K(t — ?) и (?) d?.
Каждый элемент пространства 12(Т) можно рассматривать как эквивалентный нулю вне промежутка Т элемент простран ства Z.2вещественных . функций с суммируемым на всей число вой оси квадратом. Поэтому Ь2(Т) является подпространством пространства Ь2. В свою очередь, пространство Ь2 является
подпространством пространства Ь2 комплекснозначных функ ций с суммируемым на всей числовой оси квадратом модуля.
Оператор Фурье отображает пространство Ь2 на себя, а под
пространство |
Lo(T) — на некоторое |
подпространство L2(T) |
|
пространства |
L '2. Если функции |
/С(т) |
и К\ (т) удовлетворяют |
условиям |
|
|
|
, |
ОО |
со |
|
4 |
j | е д | АГ т | < 0 0 , |
J |/f 1(T)|flfx<oo, |
39