Файл: Козин, И. В. Элементы теории оптимального обнаружения и приема сигналов.pdf

ных элементов

и систему положительных собственных

чисел

Все элементы

принадлежат И,

поэтому

(v„ vv) K =

(KVv, v^) = X.,b,

где 8v|l — символ.

Кронекера.

Следовательно,

на основании

стей случайных величин (г, т^), ... ,

(z , vn) относительно меры

Рг определяется

плотностью

f

, *п)

%

V

[zv - (а. о,)]3

dx,

2V

ли

к

(3.3.1)

а относительно

меры Р — плотностью

Л е м м а 3.3.1. Пусть

фиксированная

пара

мер Рх и Р

принадлежит семейству Р/т, { гД ^,— система

собственных.г

элементов корреляционного

оператора К,

а {Х,}^ — систе­

ма его собственных чисел. Если

(а -

b, vrf

(3.3.3)

< со,

v=1

К

то последовательность квадратичных форм

V n (z )

т х

[(*■ P v) - ( 6 , o , ) ] a

(3.3.4)

я

UA

Поскольку справедливо неравенство (3.3.3), всегда

можно вы­

брать

р настолько больш им, чтобы р — sup|(fi — a, v ^jy rTk j> 0 .

h>I

множеств

L,$ моно­

При этом условии последовательность

тонно

убывает с ростом л, стремясь к

L {з, и для

любого л:

нотонно убывает

с

ростом п.

Переходя

в

равенстве

(3.3.7)

к пределу по л,

можем записать, что

1 Г т

_

си

П

У - /

[/ы Т + р+ (Ь-а,

vk) i n k ]

P . ( i p ) = j / W '

_

1

ехр { пЧ dz,

dx.

схр (

ft=l

V rm

__

_

— (t^nrs+g—(b-a,vkW\k\

любом Р,

л

(£') =

Нт Р, (Z.p) = 1.

(З-моо

Так как все функции Fk[z) конечны и Н-измеримы, то

функция lim

у Ink

также

Н-измерима, благодаря

чему

ft-»-оо

Н-измеримо и множество Е'.

константа

Начиная с

некоторого значения к, найдется

сг <

оэ такая,

что для

любого

z £ E '

I

(*) | <

с2 /1 п к.

(3.3.8)

Выберем подпоследовательность чисел п1г л2, . . .

так,

что­

бы ряд из чисел "з 1

-

сходился. Тогда на основании неравен-

ства

(3.3.5)

/ пр

СО

I

1/

z£H-.\V„p^(z)-

<

00

Н-измерима. Множество полной меры,

на котором имеет место

сходимость подпоследовательности V,lp(z), имеется для

всякой

ш

последовательности пр со сходящимся

рядом 'V'' 3 1_

- . По-

Л-*- се

= V (г), причем I/' (г) является Н-измеримой функцией.

Повторив теперь предыдущие рассуждения с учетом нера­

венства (3.3.6), убедимся,

что

последовательность Vn (z)

на

Н-измеримом

множестве

Е

полной

P -меры сходится

к

(п. в. Р) конечной Н-измеримой функции V"(z).

на

Обозначив через У(г)

функцию, совпадающую с V'(z)

£\ и с V"(z)

на Е, получим,

что V(z)

Н-измерима и (п.

в.

Р 1, Р) конечна, а последовательность

Vti(z) сходится к У(г)

(п. в. Ри Р).

последовательность

Л е м м а 3.3.2. В условиях леммы (3.3.1)

функций

П

Vln(z)

т х

[(г, у ф

— (a,

-щ )]2

п

2 л

**

/!=1

(п. в. Ри Р).

V ( z ) = V 1(z)

(3.3.10)

Из равенств

Д о к а з а т е л ь с т в о .

„2

(а — Ь, уф"1 +

(а — Ь, уф*

м ,

п

н

M \ { V n-

VlB)2] - 4 - ^ - ^ ]

(a~ ^ - P*)8 +

,

Г m x

ft=l

2 u

(a —ь. ^)21

^

L

«

**

J

ft=l

и неравенства

(3.3.3)

вытекает

сходимость

последовательно­

стей Vn {z) и

Vm(2)

в среднем

квадратическом относительно

обеих мер к одному « тому же пределу.

§ 3.4. Сходимость последовательности линейных форм

Как и в предыдущем параграфе, будем

считать,

что пара

мер Я, и Я принадлежит семейству Р/т и определяется

плот­

ностями вероятностей

(3.3.1) и (3.3.2).

Для таких мер справе­

длива

и

Я при­

Л е м м а 3.4.1. Пусть фиксированная papa мер Я,

надлежит семейству Р/т,

— система собственных эле­

ментов корреляционного оператора К, и

{ХД“и1— система

его собственных кисел.

Если

(а. Щ)2

00

{Ь,

щ)2 < о о ,

v=l

< тс,

2

(3.4.1)

V=1

то последовательность

линейных форм

Wa{z)

у ^ [(г. «0~(Д. «у)] (a

*.)

(3.4.2)

v=l

Я,, Я) к Н-изме­

сходится в среднем квадратическом и (п. в.

римой, (п. в. Ри Я)

конечной функции W(z).

Для доказательства леммы потребуются неравенства

Я, {zf^H: sup

V ( г, Vk)

—

(a. Vk) \ а

> 4 <

V « B

2

и

h

л -

1

п

1 V-

( а — b,

v k )2

(3.4.3)

Xft

>

>е*

^

V

—(b, Vk)

P \ z £ H : sup

V (г,

v k )

> e

<

v < / l

<

2e2 У (a — hb. Vk)2

(3.4.4)

ft=l