Файл: Козин, И. В. Элементы теории оптимального обнаружения и приема сигналов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.10.2024

Просмотров: 82

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

в 'нашем случае зависимы, неравенства (3.4.3) и (3.4.4) все же имеют место. В этом можно убедиться почти так же, как и в справедливости неравенства Колмогорова (стр. 57, 58 [28].), ■если доказать равенства

J 2

(а - Ь,

y k) c?lv (г) Л (dz) =

0,

(3.4.5)

НfcS+1

 

 

 

 

J У ] (*’

(а -

b, v k) (г) Я (dz) =

0,

(3.4.6)

в которых функция срь (г) равна

г,«)

*=•1

на некотором Н-измеримом множестве Qv и равна нулю вне этого множества, а функция <?v(z) равна

 

 

 

 

 

 

 

- - < « - * ■ ».>

 

на Qv

и равна нулю

 

вне

Q.,.

А левую его

Докажем

равенство

(3.4.5).

Обозначив через

часть,

найдем

П

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^

 

 

 

’

2v)x

 

 

 

ft=v+ 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- dzn =

 

 

cn

 

 

v

 

 

 

 

 

О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X exp

 

тх

 

х* dzu ... dza X

 

 

 

 

 

2х

У

 

 

 

 

 

 

 

fi=l

 

 

 

 

тх

rt—v

 

 

 

(а—6, t/fe)

exp X

 

 

2

 

 

 

 

X

2r.x

 

=WП X*^n-vhS**=v+ l

 

 

 

 

 

 

 

X*

 

f c = V - f 1

55

где фь (г1' • ••» г*) — функция, не зависящая от координат Zv+ь ... , z n. Так как внутренний интеграл здесь равен нулю, сразу же получим требуемое. Равенство (3.4.6) доказывается таким же образом.

Учитывая

неравенства (3.4.1),

(3.4.5)

и

(3.4.6) и принимая

во внимание

доказательство

(стр. 58 [28]),

убеждаемся

в схо­

димости последовательности

функций

(3.4.2)

(л. в.

Р\, Р).

Поскольку функции Wn(z) определены всюду на Я

и Н-изме-

римы, предельная функция

W(z)

Н-измерима

и (п.

в.

Р\, Р)

конечна.

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 3.5. Семейство Р/-р,. Сходимость еще трех типов

 

 

последовательностей квадратичных форм

 

 

Пусть даны две вероятностные меры Р\

и Р из Pv, которым

соответствуют нулевые функционалы математического ожида­ ния и корреляционные операторы А и В соответственно. Если меры не ортогональны, то по теореме 2.3.6 соответствующий им оператор будет ограниченным и положительно определен­ ным.

Назовем семейством Р/Тх0 совокупность всех пар вероятно­

стных мер Я, и Р из Р,, имеющих

одну и

ту же

плотность

f(x) с конечным моментом второго

порядка,

общую

для всех

пар, и таких, что оператор А] ограничен, положительно опре­ делен и удовлетворяет равенству

где

/ — оператор

тождественного

преобразования

в простран­

стве Нв, А а— ядерный оператор в этом

пространстве; 0 < Х0 <

< оо — общее для всего семейства

число.

Р/Тх0 оператор Аг

Для

любой пары

мер

Я(

и Я семейства

имеет полную в Нв систему ортонормированных

собственных

элементов

и систему

положительных

собственных

чи­

сел

с

единственной

точкой

сгущения

/.0

такую, что

ряд

со

 

 

 

абсолютно.

Совместные распределения

^ (X fc — Х0) сходится

й=1

 

 

 

 

 

 

 

 

...

, Z n = X Vn(z)

вероятностей случайных величин Zj — X Vt(z),

для

этих мер на

основании

§

3.2

определяются

плотностями

вероятностей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

со

 

 

я

 

 

 

 

56

 

 

тх

п

(3.5.2)

 

 

2х

zkI dx.

 

 

 

 

 

Если для элементов vu ..., vn построим функции <z,

Vy>, ..

<z, v„>

(§ 1.6), совместное распределение

вероятностей этих

функций также будет определяться плотностями

(3.5.1)

и

(3.5.2). Справедлива

 

 

 

 

Л е м м а

3.5.1. Если пара мер Pt и Р

принадлежит

се- -

мейству Р/7х0, то последовательность

функций

 

 

 

v . w - 3 - S <Z,

V k>-

 

(3.5.3)

 

*=i

 

 

 

 

сходится в среднем квадратическом и почти всюду на Н отно­

сительно обеих мер к Н-измеримой (п.

в.

Р\, Р) конечной функ­

ции V(z).

 

 

При

помощи

равенства

(3.1.2) не­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

трудно проверить,

что

 

 

 

п+р

 

 

 

 

 

 

 

 

M,[\Vn+P

 

 

 

1

(Xk

Х0)

 

 

п + р

 

 

п

 

 

 

/1=1

 

 

 

 

 

 

п+р

о

 

 

п

 

 

+ ■

 

 

X

 

 

 

 

 

 

k“—

 

 

 

k = l

п

Оп+Р)2 /г=1

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(п+Р)п

 

 

 

 

 

 

 

м [ [ У п+р- у пу - ) = Ч ^ + К ) . ^ ^ .

 

В силу свойств чисел

и А0

 

 

 

 

 

П + р

 

 

 

 

 

 

 

 

У ( K - h ) < с < O O ,

2 ^ ~ Хо)

< С < оо,

Ad

v'k

п+р

 

h=l

п

 

 

 

fe=--l

 

‘I■

 

 

 

 

 

У *

 

 

4

&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И = 1

 

 

Vn {z)

 

 

Поэтому последовательность функций

сходится в сред­

нем квадратическом относительно каждой из мер Ру и Р. Обо­ значив теперь через Fk(z) функции <z, щ > и повторив дока­ зательство второй части леммы 3.3.1, получим требуемый ре-' зультат. Аналогичным образом доказывается

Л е м м а 3.5.2. Если

пара мер Р,

и Р принадлежит се­

мейству Р/7х„, то последовательность функций

I

=

(3.5.4)

 

fc=l

 

57

■сходится в среднем квадратическом и почти всюду на Н отно­ сительно обеих мер к (п. в. Р\, Р) конечной Н-измеримой функ­ ции Vi (z).

■Связь между'функциями V(z) и Vi(z) устанавливает

Л е м м а 3.5.3. Если пара мер Р, и Р принадлежит се­ мейству Р/Тх0, то

V 4 2 )= W (2 )

(п. В. Ру, Р).

Справедливость этого утверждения вытекает из равенств

 

п

 

Р У , (>,->'.)

 

Н=Л

 

п

(1-1

 

Л Г [ ( ^ - Х 01/1Л}2] =

 

 

П

 

 

X/; —Хц

 

 

 

Xft

-(•■+** 4 У

 

 

поскольку

 

 

 

к=1

 

 

 

 

У (>^-^о)2< с 1< со ,

ft=i

 

< С < оо,

h*= 1

 

 

 

л

Х*-Х0\2^ Со <С

ч Ь

х* -

х0 < С 3<С»

 

А = 1

Xft

J j

Ч

 

 

ii=i

 

 

для любых /г.

Характер сходимости третьего типа квадратичных форм

устанавливает

Если

пара мер Р, и Р принадлежит се­

Л е м м а 3.5.4.

мейству Р/т),0, то

последовательность функций

Un (г) = тх

^

Xft —Х0

(3.5.5)

 

.сходится (/г. в. Р], Р)

к ti-измеримой (п.

в. Ри Р) конечной

.функции U (г).

 

Равенства

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

 

ИJSIk = 1

х* — х0

<г,

г/А> Р, (dz) = ^

| К — Д I,

 

 

 

п

 

п

Xft —Х0

 

 

Xi. —Хп

 

<2,

 

P{dz) = ^

 

 

Vh>4

 

Яй = 1

сходимость ряда

У I

— Х01 и неравенство infXft> 0

обеспечи-

вагот сходимость

й=i

ftbl

функций

(п.

в. Р,, Р) последовательности

58

 

п

 

 

 

 

V Хь —Xfi

< z .

 

Поскольку

s=i

 

 

 

 

 

n+p

 

n + p

 

 

—д

и

<2, Vky

<

 

h=/i

 

 

 

 

k—n

 

 

 

 

 

s

 

последовательность функций

Un {z) сходится (п. в. Pi, Р). При

этом предельная функция U(z)

почти всюду конечна относи­

тельно каждой из мер и Н-измерима.

 

§ 3.6. Вычисление предела последовательности функций

С распределениями вероятностей семейства Pv тесно свя­ зана предельная формула, которую устанавливает

Л е м м а 3.6.1. Пусть ап^ 0 , П т ап — а > 0 и f (х) —непре-

Л-»- 00

рытая в окрестности точки х = а плотность вероятно- сшей положительной случайной величины,. Тогда

!1” Ш

г А ' f w

( т ) Т е *р { - & }

= / ( “)•

 

 

о

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Изменяя

переменную

интегрирования

по формуле t — ~Y и вводя

обозначения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3-6.1)

 

/=■„ (0 = ^ — (l — Д-) !п г — 1 — Д

«,

(3.6.2)

получим равенство

 

 

 

 

 

 

 

 

со

О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

f ( x ) в

 

 

 

 

Непрерывность

функции

окрестности,

а (1—

< [a(l + s)

при

некотором

0 < s < l

обеспечивает непрерыв­

ность функции

/ ( — ) в окрестности

 

 

 

 

ап

 

 

г

!+Th- ■

 

а

 

 

 

Поскольку

a =

lim ап, то при 3 =

-ру— найдется такое п0, что

 

 

л —»-со

 

 

1 ■'

8

 

 

59

Смотрите также файлы