Файл: Козин, И. В. Элементы теории оптимального обнаружения и приема сигналов.pdf

при л > л 0 \а — a J

< 8а,

т. е.

1 — 8 < - ^ - < l + S , и функция

f [~t~) оказывается непрерывный внутри

промежутка 1 — 8, <

< t <: 1 + 82 Для

3>~ (1 + с)а »

'

Представим /„

/

в

я

в виде суммы 1„ = /„ +

/„ +

1п '■

1-5,

/ ; =

0

(3.6.3)

1 + 5,

(3.6.4)

/ л =

\ f ( ^ n i i ) d t ,

J

\

/

1-8а

/ « ' =

\ f l ^ A v n W t ,

(3.6.5)

J

\

/

1+5,

4

монотонно

единственный минимум при £,„ = 1 —— , причем

убывает для t < tUr Выберем

из условия— < 8,. Тогда при .

1 — 64<

1 ------ , и функция Fn(t) монотонно убывает в

промежутке

— о,, в силу

чего

Функция

Fn{ t ) ^ F n{ \ - \ ) .

(3.6.6)

/=■»(!-8.) +

-^ -In л = ( 1 - 8 , ) -

1 - ^ - ]1 п ( 1 - 8 0 - 1 ,

рассматриваемая относительно

аргумента п,

монотонно возра­

стает с ростом

п. Если 84 =

— In (1— 8,) — Вр то

84 > 0

для

О < 8 1< 1 . Очевидно, всегда найдется такое

По^>1Ц, для

ко­

торого

85=84 + - ^ 1п (1 -

81) > 0.

При п ^ п2

для достаточно

большого

я, видим,

что существует такое

и такое

■/] > О,

для

которых Fn(1 — 8,)>т] >

0 при лю­

бом п ^ п 2’. Принимая

во внимание

это и формулы

(3.6.6) и

(3.6.1), имеем

<Pn {£) < ;

- e

-1ГЧ

l/-л

(3.6.7)

0 < / я <

т ,> -

2 / я

J / ( ^ ) Л .

а после замены

переменной

интегрирования по формуле х =

а-п

-J-— неравенства

0 < / п< :

1 ( 1 --М 2 £?" Т *

п'^2|А т1

из которых сразу

следует, что Нш/п = 0, поскольку

lim ап =

= а > 0.

п-*<х>

Л-*-СО

^in = exp |

^ZT4~J

и монотонно возрастает при

tln. Так

как lim t )n = 1 и tln < 1

Л —Ш

для любого п > 4, при п > 4 функция

— /у, (£) монотонно во­

монотонно возрастает и функция

— Fn {t) +

In п, и можно

написать, что

4 - рп(0 + — 1п я >

ГТ87 ^

(1 + §2) + 1

S2 In п.

Рассматривая

функцию

1+ ■^»(l +

8j> +

п(1 + ®г)In П

относительно

аргумента п,

нетрудно установить, что она мо­

нотонно убывает с ростом п. Следовательно,

Fn (1 +

82) +

-~Г In « > r f

182 -

1п(1 + У1.

Поскольку §9 >

0,

0.

З3 = 82 — ln ( l - f 83) >

А так как величина -^-1п п

может быть сделана сколь угодно

малой, то существуют такие пх и т)>0,

что при

--тг-Щ

(3.6.8)

'Ря ( * Х 2 ]Лг

справедливую при

для любого ^ > l + o 2i которая вме­

сте с формулой (3.6.5)

приводит к неравенствам

&

I

“ Т 1— dx.

(3.6.9)

о < 1 Л<

1

2

.1

—р

имеет единственный

максимум при х ш—

Функция —

— ~ г г^п< а поэтому

монотонно возрастает

при

х < х ы. Если

4U +

82) ’

то л.

"

1 + 83

. Следовательно, при таких л функ­

,и

1

п

а,

2 Tl~Jr~

возрастает в промежутке

ция ~^е

монотонно

< f^."57 ,

и вместо

неравенств (3.6.9)

получим неравенства

0 < / - <

(1+5,Г"

- т ч < 1+8->

I „ = J ?n(t)dt =

2

- Т ‘

е

dt —

О

О

Г

^

- ( т - 0

(«),