Файл: Козин, И. В. Элементы теории оптимального обнаружения и приема сигналов.pdf

Скачать файл (4,93Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.10.2024

Просмотров: 83

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 3.7. Вычисление меры некоторых множеств

Пусть (тМ"=1 — ортогональный, но необязательно нормиро

ванный базис в Нк такой, что ( fl'Wvll^-= Х»]^1, причем К являет ся корреляционным оператором меры Р £ Р Т. И пусть матема тическое ожидание m{v) случайной функции (г, v) непрерывно относительно нормы ||'п||УГ Обозначим через XVv (z) элементы пространства L2 (В), соответствующие элементам из Нв (§ 1.6).

(В рассматриваемом случае пространства Нк и Нв состоят			из
одних и тех же элементов). Справедлива		П т ц , =	1А0
Л е м м а 3.7.1. Если И т Х » =	Х0, 0 < Х „ < о о ,
и 0 < р.0 < с о , а плотность / (х )	имеет конечным	начальный

момент второго порядка о2 -j- тс2, то последовательность функций

	П
v a { z ) =	У ] Pv [ X Vl (г) - т (г»0]в	(3.7.1)
	V - 1

сходится в среднем квадратическом относительно меры Р.

Д о к а з а т е л ь с т в о .	Прямыми вычислениями можно по
казать, что
\[Vn+P{ * ) - v aw Y P m				=
И
	пА~Р
				v\|Jv
	* - i		V =	1
п +р	, 2 2 ,	р — п	/I	I2 2
(п -Ьр)2	, 2 2 ,	р — п	2	I2 2
(п -Ьр)2	Х„\|ч “г	{п + р) п		XvJJ.,
»=1

Отсюда и вытекает справедливость леммы.

Обозначим через V{z) предел последовательности функций

Vn (z).

Л е м м а 3.7.2. Пусть выполнены условия леммы 3.7.1,

причем (x.v = у - , v = 1, 2, ... , и пусть Е —произвольное бо-

релевское множество на числовой оси, а функция f (х) огра ничена и имеет не более, чем конечное число разрывов на каждом конечном промежутке числовой оси (кусочно непрерывна). Тогда

P [ z - . V {z ) £ E \ = \ f ( x ) d x .	(3.7.2)
Е

Для доказательства этого утверждения потребуется

Л е м м а 3.7.3.	Если
	П	nt
<РЯ(0 =	t \ т	2x dx	,	(3.7.3)
<РЯ(0 =	/(* )	^t	,	(3.7.3)

а плотность вероятностей. f (x ) ограничена, кусочно-непре рывна и имеет конечным первый момент, то при любом с>О

lim	f va{ t ) d t = f		lim	f n(t)dt.
« -► С О	О	O	n - со
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Фиксируем		произвольное	0 < е < 1
и представим	в виде суммы ТдСОН- X (0 +				(*) функ

ций, определив слагаемые выражением вида (3.7.3) с интегра

лами по	промежуткам 0	— е£, t	— zt •< а- t -\|- at,
t -\-et iC х	<. со соответственно.	Затем введем	функцию
		«

Функция	^п(х)		имеет единственный максимум в точке
и монотонна справа и слева от этой точки.
Для последовательности чисел
							Г[Д-
				V n + 1[1+ - )
			а„ =■			п I

				/ 2 Г
пользуясь	_L	неравенствами			(стр.	280		[25]),		найдем	предел
					утверждать, что,					если x ^ . t — st
lim ап — е г . Это позволяет
П—-СО			то	найдется	такое		пъ	что	при п >		п± функ
или x ^ t - j - z t ,
ции &п{х)	неположительны.				Но тогда			и	<р\|1+1 (£) — срД^Х^О,
<р"+1 (f) — <р” (7)<0,				е с л и « > л , .		Другими			словами,		функции
«/(£) и <р” (0 образуют монотонно							убывающие последователь
ности.		полуось			на две		области точкой 0 < х 0 < о о .
Разобьем
При х < д :0		f(x)	мажорируется			константой у,				а при	х ^ х 0 —
функцией	i J x 2.		Так как			П

ср;-(0<			sup		—
			—£<0<Б

5 Зак. 389

то	для	t ^ . x 0			t 'f Е /
					t 'f Е /
		ф" ft) < — ■(П‘				М	с	2л*
		‘ II ' '	^	II		Г	с	-7-
				22 Т Л
а	для	t > л-0			/ Ц/
					/ Ц/		.1.	lit
					л		.1.	lit
		?;; (о <	— 7i«‘		г-	i \ 2		2.1- dx
		?;; (о <	— 7i«‘		г-	т	*	— •

2 2 Г /Л

/-е/

Л/“

После замены переменной интегрирования по формуле х = -^-

получим						п__ 1_
					II	п__ 1_
t+zt	Л,	_	nt		II	, 2	1—8
t-et	т )	е			-+1			1	T ' V ’ <
t-et	т )	е	2~х	~ =(*Г		Л I		1	T ' V ’ <
	t \2		2~х	dx / П
						2	‘ 1-f-s
			< ( т )		г (	л	- 1)-
Вследствие	этого		для	t < х 0
а для t > х 0			? "(* )< Т.		если	«. > 4 ,
а для t > х 0

? « (* )< - jr . если » > 4 .

Таким образом, последовательность функций ер" (£), а> сле_

довательно, и последовательность функций <р„ (£), мажорируют ся суммируемой функцией, что и доказывает лемму.

Докажем теперь лемму 3.7.2. На основании-леммы 3.2.1

P \ z £ H : V { z ) > c } = lim	lim P [ z £ H : V n { z ) ^ c p), (3.7.4)
c \c	п-^со

где ср — некоторая числовая последовательность, стремящаяся убывая к числу с. Для рассматриваемой меры Р

P \ z £ H - . V n( z ) ^ c p\ =

= \ f ( x ) ( ^ r Y dx	exp	- - Jr У \ zl\ d z> • ■• dz"=
2-х		- - Jr У \ zl\ d z> • ■• dz"=

^2 * k= l

= \ / w ( - & V d x

I rfZj ...

(3.7.5)

если положить

	/	Ф Ь
(	п	\	п
п	т r X I	2	т X I	2 ^
	h=l		"Ри П г Уft=1, г* > СР’
2х '~п~ Z i Zk			"Ри П г Уft=1, г* > СР’
			при	4 < Ср.
			ft=l
Функция <f>(l/ ф	zi	суммируема на		тогда и толь
\ р	<*=1

ко тогда, если функция ? ("|f ~ ^ ~ r) r n~' суммируема на поло жительной полуоси. При этом '

. . . dz n =

со	___
= S„ j* < f ( y 2 j L r)r*-'dr,
где Sn — площадь сферы единичного		радиуса. Так как
	П
s„	2тТ
s„	( т ) '
	( т ) '
то с учетом (3.7.6) и (3.7.7)	при t =	~ - r 2

Гшх X

пУ ! z i \ dzi ■■■ dzn= jfsm

п=1

п п

2	2	2
	п £ т х.	1

г I ~Т

Благодаря этому и (3.7.5),

_н_	_	n t _
tT	е	2х d t.

(3.7.6)

(3.7.7)

			J l ___ ______	n t
P l z £ H : V n( z ) ^ c p)=--	f ( x ) d x - ^ r j	-	t 2 e	2x dt,
J	A - 2 2 2	Г	2 / u
			c„

или на основании теоремы Фубнни

P [ z £ H : Va{z)

dt ■

2” Г Ц

По доказанной лемме предел последовательности по п под ынтегральных функции можно внести под знак интеграла. Это позволяет написать равенство

lim P [ z £ Я: Vn { z ) > c p\ =

dt	lim	2Л* dx_
dt	lim	■ t
		■ t
которое с учетом	леммы 3.6.1 и формулы Стирлинга		можно
записать в виде		СО
		СО
lim P [ z £ H : Vn(z )> c p} = j‘ f ( t ) d t .			(3.7.8)

После подстановки выражения (3.7.8) в равенство (3.7.4) най дем, что

СО

P \ z £ H \ V ( z ) > с}=--^ f ( x ) d x .

Так как мера Р счетно-аддитивна, а а-алгебра борелевских множеств на числовой прямой порождается всеми полубесконечными промежутками, можно распространить это равенство и на произвольные борелевские множества.

Г л а в а 4

ОБНАРУЖЕНИЕ И ПРИЕМ ИЗВЕСТНЫХ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ НЕГАУССОВСКОЙ ПОМЕХИ

§ 4.1. Условия задачи

В литературе подробно исследована задача обнаружения и приема ’известных сигналов на фоне гауссовской помехи. В ряде практических ситуаций, однако, гауссовская модель по мехи оказывается мало подходящей, поскольку в них заметно сказывается влияние случайного изменения дисперсии помехи от одного акта обнаружения или приема к другому. В этих си туациях целесообразнее использовать для помехи и аддитивной

смеси помехи и сигнала распределения вероятностей, задавае мые плотностями вероятностей вида (3.1.1). Частично такая задача уже рассматривалась [22]. В этой главе дается ее полное решение.

Как было показано в первой главе, оптимальные по байе совским критериям процедуры принятия решений полностью определяются отношениями правдоподобия, вычисленными для всех возможных комбинаций пар вероятностных мер, соответ ствующих гипотезам. Очевидно, если все меры одного и того же типа, то достаточно вычислить отношение правдоподобия для любых двух из них. Обозначим эти меры Р\ и Р. Будем считать, что они принадлежат семейству Рд, и определяются соответственно плотностями f\n {z\, ..., zn) и fn (z\, ..., zn) вида (3.3.1) и (3.3.2).'Для простоты положим, что выполняются не равенства (3.4.1), а плотность f(x) ограничена и кусочно-не прерывна. При этих предположениях и будем искать отноше ние правдоподобия для мер Р\ и Р.

§ 4.2. Общее выражение для отношения правдоподобия

Обозначим отношение правдоподобия через Л(г). Т е о р е м а 4.2,1.

(п. в. Р1, Р), причем функция W(z) определяется леммой 3.4.1,

афункция V(z) — леммой 3.3.1.

До к а з а т е л ь с т в о . На основании теоремы 1.5.1 для рас

сматриваемых мер

Л (z)— lim

ТХ-f

почти всюду на Н относительно каждой из мер Р\ и Р. Введя

обозначения

[(z, и*) — (b , £//,)]=

[(z, vk) — (а, Ук))'2’ k