Файл: Козин, И. В. Элементы теории оптимального обнаружения и приема сигналов.pdf

Л ( г ) =

П т

Vn

(4.2.2)

Ущ

П «=

О

По

леммам 3.3.1, 3.3.2,

3.3.3

последовательности функций

V\n {z)

и Vn (z)

сходятся

(п. в.

Р\, Р) к Н-измернмой и (п. в.

Р1,

Р)

конечной функции

V{z). Согласно лемме 3.7.2, функция

V(z) положительна (п. в.

Р ь Р).

По лемме 3.6.1

с учетом сказанного

П

Тогда

X n(z) =

ут (г) '

\n[Xn{z)]n =

!i\x\Xn { z ) ^ n

j

dt

- f

ч

П[Хх % )

11 <

1п I* - (* )]"< «

\*п (z)-

1]•

Но Х п(z) —у 1

(п. в.

Ри Р),

У„(г)- Vu>(*)

n[X„(z) — 1 ] = л

п

V\п {%)

(г, иа) —(а, и*) ,

ь,

Vk) +

тх

V I

(« -

ь, Vk)-

2«х У

А=1

Ха

2 j

Ч

Ущ{*)

следует

из леммы

3.4.1,

limV

(z, vk) - (а, Ук)

,

.

v k) =

W(z)

г ->■со

ч

[а

0

/7=1

(п. в. Рх, Р), причем предельная

функция W (z)

Н-измерима.

В силу этого

im

Уд (*) 1 2

lim

Ш * ) ]

=

П-*■ со [Уш(*) J

Хд (2)

со

(а —b, vky-

mx (W)

(*) +

гexp

V { z )

(4.2.4)

(п. в. Р 1,

Р), причем функция, стоящая

справа в этом равенст­

ве Н-измерима. Подставляя

теперь формулы (4.2.4) и

(4.2.3)

в (4.2.2),

найдем, что требуемое

равенство имеет

место

почти

Действительно, при сделанных

предположениях A(z) (п. в.

Р j , Р) конечна. По этой причине

из теоремы 1.3.1 вытекает,

( и , v)K = ( K u ,

v ),

получим гильбертово

пространство

Н к . Замыкая множество

элементов RK по скалярному произведению

(«,

v )k _x= ( к ~ 1а, v),

1

i_

j_

женный

оператор К 2

, такой,

что К 2

К 2

= К,

и обратный

ему

положительно определенный

самосопряженный

оператор К

" ,

удовлетворяющий

_ I

—L

этом

об-

равенству" Л'

2 К

2 — К~х ■ При

_ 1

ласть определения

оператора

К

“

совпадает со всем Н к - 1,

область значений

на Н к- 1 есть

все

Н и

(к,

®)А._ ,= (/С _ Т и,

K

T vj

(4.3.1)

_ i_

для любых и и v

из //._ ,.

Следовательно,

оператор

К

2

является

изометрическим отображением

пространства

/ / А._в

1

на И. Оператор К~

в таком

случае

является

изометрическим

отображением

пространства//

на / / , - ъ

На элементах

и и v из RK

{ К- 1и, K - ' v ) K= ( u , v )k _x.

Область

R

всюду

плотна

в

//,_ ,,

область значений опера-

К

А

тора /С-1

на RK всюду плотна

в Нк, поэтому (теорема 1.6.1)

оператор К ~ х

расширяется

до

изометрического

отображе­

ния К

пространства

/ /

t

на

Н .

Оператор К,

обратный

К ~ 1,

является

изометрическим

отображением пространства Н к

на Н к —1

и совпадает

с

расширением

по непрерывности опе­

ратора К с множества Н на все пространство Нк .

Математические ожидания случайной функций (г, v) лля

мер

Р х и Р равны соответственно т, {v) =

(a, v) и m(v) =

(b, v)

при

любом

v £ H . Если

— система собственных элементов-

оператора

К,

а К — собственные

числа, соответствующие

соб­

ственным

элементам

и,,

то

из положительности оператора К

следует,

что система

.{'гМч1 1 образует

ортонормированный

ба­

зис в Я,

а все К > 0 .

Как было отмечено в §

4.1,

(a,

«,)*

<

Г!

(*■

«О2 < 00•

(4.3.2)

v=l

v=l

2

Так

как v 4 £ R K при

любом v,

—

у^- ^ =

У^( а ,

K~'v^ — У ^

(/<—1-uVl a ):

= V K ('■»»

a)

=(]/X ^v,

a)

= l/< 2t;,,

a

к - 1

а система элементов К 2"И*

в

силу

изометричности

опера­

тора

К 2 образует ортонормированный

базис в

Г1 (а> М 2

/С

,

a /„ _ i= ||a |

--1

>

sv = l

v = l

Аналогично

y]Uv,

,

5 (&, Wv)2

v = 1

V = 1

Следовательно,

неравенства

(4.3.2)

означают,

что элементы

а и b принадлежат пространству Ик - \. Разность

а — b также

принадлежит Нк- и и

можно

поэтому

искомый

предел чис­

ловой последовательности

представить

равенством

и=1

v=l

\ a - b

\ - , .

(4.3.3)-

Учитывая изометричность отображения

К ~1, можно этот пре­

дел

представить

и выражением

(b, а)

непрерывен на Н относительно нормы || и ||/c, поскольку

I (6.

и) I =

К

Ь,

к 2

И

\к

К 2 И = 0*1\к- г Ы к

в силу

равенств

(4.3.1)

и

К~ и

=

\/<2 и,

К'2 и) =

(Ки, и) = ||и||2.

Из равенства

(4.3.4)

вытекают

неравенства

IIК ¥к <

II и|||<

(1 + II ft||-!) II и | | ,