Файл: Козин, И. В. Элементы теории оптимального обнаружения и приема сигналов.pdf

§ 4.4. Вычисление функции W(z)

Элементы а и b принадлежат области

определения

опера-

_

_ i _

j _

тора К

2 ,

а оператор К 2

является

самосопряженным

в

Н.

Следовательно, при любом v £ H

1

1 \

/ 1

1

и

(v,

а) = \ К 2 v,

К

2 a); (v,

b) = { K 2v,

К

2 Ь

|(т), a ) K H |J a ||/rl, |(г», Ь) | < |И Д | &Ц*-,-

Это позволяет расширить функционалы

— (a,

v) =

(v,

а)

n m(v) = (b,

v) = {v, b)

на все Н к и утверждать,

что в Нк най­

дутся единственные элементы wa и wb, для которых

т \ (“г») = (v, w a)Kt

т (г») = (г;, w b)K.

(4.4.1)

при любом v £ H K. Для v ^ H

('v , w a)K= Hm(xi,

®flnV=Hm( w,

Kwan) = (v, K w a),

Из равенства

К

а) =

(г), K w a)

теперь получим, что a = K rwa

или

wa = K~1a.

Подобным же образом найдем, что

w b= K~lb.

Подставив эти выражения

в равенства (4.4.1),

получим для лю­

бого v £ H равенства

mx{v) = {v,

К-'а)к , m ( v ) = ( v ,

К~'Ь)к , (4.4.2)

m l (v) = (Kv, a)K-i, m{v) = (Kv, Ь) -

(4.4.3)

Случайной функции (z, v) для

меры Р соответствует началь­

ный момент второго порядка

B{v,

v ) ~ K ( v ,

v)2=

= 1МРл + К

K -lb)K'

(4.4.4)

По этой причине каждый элемент пространства Нк принадле­

жит и пространству Н в (§

1.6).

Меры Рх и Р в рассматривае­

мом случае

эквивалентны

(следствие (4.2.1)

и принадлежат

определенность оператора

(теорема

2.3.6).

в. Р и Р)

Функция W(z) определена

в § 3.4

как предел (п.

последовательности функций

(z) = 2

(а _ Ь, щ).

(4.4.5)

Wn(z) = {z, wn) — {a, wn),

если положить

(а — b,

vk)

. X*

ft= l

или с учетом формулы (4.4.1)

я

/_

Vk

Vk

w* = V j * " > - * ) >

h=l

Поскольку -^|=- == К

2

Vk = AT-1AT2 v k, элементы ZC2

6 /?*• об-

2

/X

разуют ортонормированный базис в /Z^-i,

оператор /С-1

явля­

ется изометрическим отображением

пространства Н к-1 на про­

странство Нк и совпадает с ЛГ-1 на /?/с,

система

элементов

•р=г образует ортонормированный

базис

в пространстве Z/^..

А так как К~х {а —

то можно утверждать,

что

после­

довательность

элементов wn из Н сходится по норме прост­

ранства Н к к

элементу

ррх{а — Ь)£НК. Из равенства

(4.4.4)

при этом вытекает, что

последовательность элементов

wn схо­

дится по норме пространства

Н в к

тому же элементу

w =

= К~' (а— Ь). Согласно § 1.6,

можно

теперь утверждать,

что

сти может быть взята Н-измеримая функция

<2, w>. Следова­

тельно,

W(z) = <2, та> — (К~'а,

w)K

(4.4.6)

(п. в. Р,, Р). Или,

приняв во внимание

изометричность ото­

бражения К~\

W (г) =

<2, К~х{а — Ь)>— (а — b,

а)к-1

делом (п. в.

Р,,

Р) последовательности функций

(г,

К -1[a — b]n) = (z,

\а — Ь]в)к^

для некоторой последовательности

[а — Ь\п элементов

из R Ki

сходящейся

по норме пространства Н к-i, допустимо также вы­

ражение

W(z) = (z, [ a - b \ ) K_t - ( a - b , а ) ^

(4.4.7)

Пусть оператор

С0 определен на всюду плотном в Н ли­

нейном множестве

М и удовлетворяет равенству

(КС0и, C0v) = (и, v)

значений

оператора Со на М всюду плотна в Н, то С0 являет­

ся изометрическим отображением пространства Я на Нк -

Пусть

E i— заданное

на конечном промежутке [/], ?г] раз­

ложение

единицы (стр.

214 [1]) и w — элемент из Н, неортого­

межутков А», k — \, ...,

п, и составим сумму

Co£^w

ш

= 2 <г’

>2 Аь

h ■=1

определив функции <z, -тгр—

от z согласно

§ 1.6.

Если ввести функцию

C0£Jfc®

/». (z;

t) = _ , <г

(4.5.2)

II £A'O'I

ft = i

где ХдА(0 — характеристическая

функция

промежутка

Дй, то

сумму f n(z) можно представить

в виде интеграла

№ ) = _[/«(*; .О***-

*I

от z.

Этот интеграл является Н-измеримой функцией

Выберем теперь второе разбиение промежутка

[г^, t->] па п'

промежутков Д; и составим интеграл /„'(z)

Если обозначим

С0ЕЛw

'С0£ Л'да

/

Фа =

1£Д/™|| ’ ф^

воспользуемся равенством (3.1.2), примем

во внимание

равен­

J<2, v>Pl {dz) = ( /С Ч

v)K, v £ H Ki

Н

J<2, v> P{dz)= (K~'b,

v)K, v £ H Ki

H

ний найдем,

что

2 + <

Аа -

J { /„ ( 2 ) - '» '( z ) № ( d z ) = 2 -

н

А—1

2 2

2 (Ф а.

Ф’г)кДА^ +

А=1/=1

(=1

+ 4 2 ( Я “Ч

Ф*)^*—2 2

2 ^ * ' Ф ^ /Ч ^ Ч Фа)дг X

А =1

А =1 i= l

л'

+

X (^(

Ч

+

2 (^ Ч

1=1

п1

(4.5.3)

+

2

-

2 {К-'а,

_*=1

i-i

Обозначим ■»)„=

шах Д*, *)„, =

шах А! и 7|ln=m ax

(v)„, т)я,), Учи-

1<А<л

1<1<л'

Й=1 /=1

из равенства

(4.5.3) получим оценку

f \In{ z ) - I „ { z ) y - P , { d z ) < c [-nuv

' (4.5.4)

н

Аналогичным

образом найдем

i \In{ z ) - I n ’{z)Y-P{dz)Kc^n.

(4.5.5)

н

мер Р д и Р к

функции

I (z). Это вытекает из неравенств

Г

п

J

(*> - V. и ) 1 р (dz) = (os+ ml)

У ]д2 -

/1=1

+

4т 2,.

-i2

<

Xh

^

(о2 +

п'х)

-Чп

4/«2.

+ ■

I2