Файл: Козин, И. В. Элементы теории оптимального обнаружения и приема сигналов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.10.2024

Просмотров: 76

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

(z)-V„(z)}2/Mdz) =

н K

= 2 (a2 —{—m x ) (Л

h =l

 

2

+ 4

n

 

т к ) >

ft = l v = l

V = 1

A

) 2

i l (**(a - *>■7fr),; (^ ■• «, X

 

h = 1

v = l

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

ОA \2

+

 

^ + - ?

2

 

( /C"1 (a _ 6 )’ /"

)К

( W ' ♦■ ),- ■ -

A-l

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

V = 1

 

 

 

 

A = 1

 

 

<

( ° 2 +

o

 

 

'4m2.

 

+ + I r J

 

 

K - * * I ъK

+ ^W~ ll^"1^а~ Ь^к + (t^k)Ti il< :> be1K~1(a-

b)!U-ъ ■

+

- ( ^ j T

l l ^ l ^

^

+ ж И ^ 1(a -^)»A--

 

если г]„-»-0 при n-+oо. Доказательство этих 'неравенств не пред­ ставляет особого труда, поэтому мы его опускаем. Таким об­ разом,

^2

V(z) = 7^ TJ f ( z - t ) d t

(4.5.6>

11

(П. в. Ри Р).

Если в качестве пространства Н выбрать пространство L2[t\, t2] всех функций с суммируемым по Лебе'гу квадратом на промежутке [Д, t-Ц, то в качестве разложения единицы Et и эле­ мента w, необходимых для вычисления функции V(z), в этом случае можно взять семейство проекторов, определяемое ум­ ножением на функцию

п ф f 1 при *, < т < t, 1 0 при х > t,

и элемент из L2[t\, t2]— эквивалентный единице на промежутке

[*ь Ы-

79

§ 4.6. Вероятности ошибок для оптимальных процедур бинарного приема и обнаружения сигналов

Обозначим через У(г) натуральный логарифм отношения правдоподобия. Согласно теореме 4.2.1 и § 4.3,

W (z) -\- 9 iirt

 

У(г ) = тх ----------vjz)-------- •

(4-6Л)

Оптимальные процедуры бинарного приема и обнаружения сигналов в рассматриваемом случае заключаются в сравнении случайной величины У с тем или иным критическим уровнем Уо и принятием решения в пользу нулевой гипотезы, еслиУ<1/о и в пользу первой гипотезы, если У > у0. Если имеет место ну­ левая гипотеза, но У>г/0, то при такой процедуре совершается ошибка первого рода. Если же У<уо, в то время как справед­ лива первая гипотеза, совершается ошибка второго рода.

Прежде чем вычислять функцию распределения вероятно­ стей случайной величины У, найдем вначале функцию совме­

стного

распределения вероятностей F{v,

w) случайных вели­

чин V’

и W.

пределом в среднем

Случайная величина V совпадает с

квадратическом относительно меры Р последовательности слу­ чайных величин

 

П

I/ (г) — JO*. 2

Vk)I2

h=1

(лемма 3.3.1), а случайная величина W — с пределом в сред­ нем квадратическом относительно меры Р последовательности случайных величин

Wn (z) = (г’ Vk) - (a^ Vk) (а - b, v k). (4.6.2)

А = 1

(лемма 3.4.1). Применяя лемму 3.2.2, можем поэтому написать,

что

 

 

 

W{z) <да) =

F(v, w) = P [ z £ H : V { z ) ^ v ,

= lim 13mP \ z £ H : Vn(z) < vp,

\V(z) ^ . w p }.

p>|o П—=°

 

 

 

Пусть P { A / x \ — вероятностная мера

на (Н , Н), порождае­

мая плотностями

вероятностей

П

 

 

 

 

 

fa (^1.

• • • , Znjx) =

U f A

/ "а — ' ^

 

 

 

К,?/-

X ехр.

т к

К -(* ,

е.,)12

“27

 

 

 

 

 

 

30

Fn (v, да)— функция совместного распределения вероятностей случайных величин Vn и Wn для меры Р\ %(t)— характери­ стическая функция промежутка х д (0 — характери­ стическая функция промежутка ш < / < ш + Ада. Тогда

Fn (у, да -f Ада) — Fn (v, да) —

 

=

J f ( x ) d x

j

x[V„{z)]XA W n(z)]P(dzlx).

 

(4.6.3)

 

0

 

H

 

 

V„(z)

 

 

 

 

 

 

Последовательность

функций

сходится почти

всюду

на FI относительно меры Р \ А ! х \ к величине

х (стр. 49

[28]).

Относительно этой же меры последовательность функций

Wn(z)

сходится

почти

всюду

на Н к гауссовской

случайной величи­

не с математическим

ожиданием

— ||а — bfK-i

и

дисперсией

\\a - b Lк- i

т,

.

Поэтому

на основании

теоремы о

предельном

переходе

из (4.6.3) получим равенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(v,

да + Лда)— F(v,

да)

 

 

 

 

 

 

\ f W dx

 

J

 

х\а — ЬГк-х X

 

 

 

 

О

 

 

w

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Xexp ] -----

2л: Iя —ЬЦ^,-,

 

 

dt .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

из которого следует, что

 

 

 

 

 

 

 

 

F(v,

да)

j /wdxj'7s/TjT%:7x

 

 

 

 

0

 

 

—со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X expl —

 

v

 

 

j

 

 

(4.6.4)

 

 

 

 

 

 

2л-|| а - Ь Гк _,

 

 

 

 

а плотность

распределения

вероятностей

для

V и

W

 

 

(

 

_

 

 

 

тх

(® + lk -* ll£ _ i)2

 

 

 

 

 

 

 

ехр

 

 

 

 

a — b f

 

 

 

 

 

 

 

/(-у, да)=

 

 

у

 

 

 

 

 

\ т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при v >- О,

 

О

 

-

 

 

 

 

 

 

 

при v < 0.

Эта плотность позволяет сначала

написать

выражение

 

 

 

 

 

 

 

 

( (у + з а « - < _ , ) 8 '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I t m г || а

— b |

 

 

для плотности распределения вероятностей случайной величи­ ны Y, а затем, использовав обозначение

,6 З а к . 389

81

 

 

Ф

 

е

~ate.

 

(4.6.5)

 

 

W

V2* 1

 

 

 

написать и выражение

 

 

m.v и Я — 6 ||

 

 

 

 

 

ty

 

 

 

 

/(*)Ф

 

dt

(4.6.6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,'-i

 

для функции

распределения

вероятностен

этой случайной ве­

личины.

 

 

 

 

 

 

 

Аналогичным образом находятся и выражения

 

V

W

/^

 

 

 

[ V , w) —

 

■exp.

t n r z 2

f ( t ) d z

 

2t\\a- b \ f x

S

*

 

(4.6.7)

 

 

U

—4со

 

 

для функции совместного распределения вероятностей V и W

относительно меры Р1 и

 

 

 

 

 

 

 

 

О ’ -

-

- Ь\?к _ х

 

Л , O ') = у

+ j

f i t )

Ф

 

dt

(4.6.8)

иУ*тЛа ~ ь\\к- \

для функции распределения случайной величины У относитель­ но меры Р1.

Формулы (4.6.6) и (4.6.8) дают возможность сразу же на­ писать выражения для вероятностей ошибок, соответствующих оптимальной процедуре приема и обнаружения сигналов. Дей­

ствительно, поскольку функция Fy(y)

непрерывна, то

вероят­

ность ошибки первого рода

 

 

 

P0 =

P { z £ H : Y ( z ) ^ y 0} =

l - F y (y0) =

 

1

J / (О®

 

dt,

(4.6.9)

2

 

VtnijcII я — Нк-1

 

 

О

 

 

 

а вероятность ошибки второго рода

 

 

Р\ =

Р\ 1* б И : У(г) < уо} = Fiy (у0)=

 

 

СО

 

 

 

 

(ОФ

 

dt.

(4.6.10)

 

О

V"tmx \\a— b\\K_ x

 

 

 

 

 

§ 4.7. Вероятности ошибок для неоптимального бинарного приема и обнаружения сигналов

Пусть расчет приемника осуществляется в предположении, что помеха имеет чисто гауссовское распределение вероятно­ стей с нулевым математическим ожиданием и корреляционным оператором К, а в действительности она имеет гауссовское

•распределение со случайной интенсивностью. Вычислим вероят­

82

Смотрите также файлы