Файл: Козин, И. В. Элементы теории оптимального обнаружения и приема сигналов.pdf

Скачать файл (4,93Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.10.2024

Просмотров: 74

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 2.4. Об унитарной эквивалентности двух операторов

В теоремах 1.3.2 и 1.3.6 условия ортогональности мер выра жены через операторы Q t и А\, обладающие одинаковыми свойства*™. Эти операторы не заданы непосредственно, а оп ределяются через операторы Q, К я А, В. По этой причине же лательно выявить более конструктивную связь Qi с оператора ми Q, К и А] с операторами А, В. Очевидно, при этом доста точно ограничиться тремя операторами А\, А и В, поскольку связь между операторами Q b Q и К такая же.

Будем считать, что оператор С удовлетворяет условиям с), если он линеен, определен на всюду плотном в Я линейном мно жестве М, переводит это множество на всюду плотное в Я множество L и для любых и, и £ М удовлетворяет равенству

(ВСи, Cv) — (u, v)

с ядерным положительным оператором В.

Операторы, удовлетворяющие условиям с), существуют. В качестве такого оператора может быть, например, взят опера

тор В-'/* (лемма 2.7.3).	А и В — ядерные положитель
Т е о р е м а 2.4.1. Пусть	А и В — ядерные положитель
ные операторы. Оператор	С удовлетворяет условиям с),

оператор С*. является сопряженным с оператором С. Опе ратор А { ограничен относительно нормы ||v |в тогда и

только тогда, если, ограничен относительно нормы j| || опе ратор С*АС. Если один из этих операторов ограничен относительно соответствующей нормы, то оператор С*АС расширяется до унитарно эквивалентного оператору

Это расширение единственно.
Д о к а з а т е л ь с т в о .				Выполнение оператором С условий с)
позволяет применить к				нему теорему 1.6.1. По этой теореме
оператор		С	может быть расширен до изометрического ото
бражения С			пространства Н на пространство Нв-					и v Q M
Пусть		оператор Ах ограничен. Для любых и ^ Н
			{А,Си, Cv)w=(ACu, Cv),					(2.4.1)
так	как	при этом С и £ Н в и Cv — CvQH. Далее, в силу изо-
метричностн			отображения С
			(А^Си,	Ctj)b =		(C_1.41Ch, v).		(2.4.2)
Сравнивая (2.4.1) и (2.4.2) и						учитывая,	что С- 1Л , Сн £ / / ,
если	и £ Н ,		приходим	к выводу, что элемент АСи принадле
жит	области		определения		оператора, сопряженного			с С в Я.
Поэтому
			( С '^ С и ,		v)	(С*АСи,	%>)

при любом uQM и любом v £ A I. Поскольку множество М всюду плотно в Н, отсюда вытекает, что

' С - 1А £ и = С*АСи.

Для любого « £ / / левая часть этого равенства принадлежит Н.


Следовательно, оператор С*АС определен		на всем Н и ото
бражает его в Н. Областью определения		Л, является Н в _
При этом	оператор С отображает Н на Нв .		Таким	образом,
операторы	Л, и С*АС унитарно эквивалентны.		Оператор С*АС
является	расширением по непрерывности	оператора		С*АС,

а поэтому определяется единственным образом.

Пусть теперь оператор С*АС ограничен. Тогда неравен

ство	\|\|^ < \|\|С Д 4 С \|! \|К ^ ,
	\|\|^ < \|\|С Д 4 С \|! \|К ^ ,
эквивалентное	на L неравенству
	(А-о, v) < \|\| С М С \| (Bv,			-о),
может быть расширено		вначале с L	на Н, а затем с Н на Ив.
При этом для любых и.		н v из Нв
l(«,	U < 1	!U1 « 1д <	«	III« На II IU•

Отсюда следует существование ограниченного оператора Л, такого, что

(“ , ®)д = И|И, v)B.

Для завершения доказательства теоремы остается восполь зоваться доказанной уже первой ее частью.

§ 2.5. Связь между пространствами Нв, Нв_ х и L2(B)

Для дальнейшего необходимо выяснить смысл элементов пространства Н в. Это будет сделано в данном параграфе.

Если В является ядерным положительным оператором, то область R B его значений на И является всюду плотным в Н

множеством и. на ней существует самосопряженный положи тельно определенный оператор В-1, обратный оператору В. Областью значений оператора В-1 является все Н. Действи

тельно, поскольку оператор положителен и ограничен, он бу дет самосопряженным и i = 0 не является его собственным значением. Благодаря этому (стр. 575 [26]) область RB будет

всюду плотной в Н. Из положительности оператора В выте кает и существование на RB обратного оператора В -1. В про

тивном случае нашелся бы ненулевой элемент а £ Н, для ко торого Ви = О и (Ви, и) = 0. Оператор, обратный самосопря женному, также является самосопряженным. Положительная определенность оператора В-1 является следствием свойств

спектров его и оператора В.

Замыкая	множество	элементов	R B по		скалярному про
изведению
	( и ,	=	v )	,
получим гильбертово пространство / /			г	Из	сепарабельности
пространства	Н вытекает	сепарабельность пространства И t

(стр. 82 [17]).

Оператору В соответствует единственный самосопряженный

1 1

и обратный

ему

положи

оператор В 2 такой,

что В 2В 2 = В ,

тельно определенный

самосопряженный оператор

2 ,

удо-

влетворяющий равенству

_ 1

В -1.

При

этом область

2 В

определения оператора

2 совпадает со всем

/ /

р область

значений

на П _х есть

все Н и

, .

(и,

v )b_x = [ b ~ J u, B ~ Tv)

(2.5.1)

для любых и и v из Н

{

(стр. 24

[18]).

Следовательно, опе-

_ j_

ратор В

1 является

изометрическим

отображением простран

ства Н

, на Н (стр.

121

[1]).

Оператор

В 2

таком

случае

является

изометрическим

отображением

пространства

на

И в-1,. ■

все элементы

пространства

/ /

j являются в то же

Если

время и

элементами

пространства Н (стр. 16 [18]), элементы

пространства Н в

не

обязаны

принадлежать

смысл

их

требует специального пояснения. Обозначим через Н* про

странство, сопряженное с Н,			а	через //*_ , —пространство,
сопряженное	с Н	х.
Т е о р е м а	2.5.1	Оператор	V,	ставящий в соответствие

каждому элементу v £ H элемент F' (и) = (и,				v) из Н*, рас
ширяется	до	изометрического отображения		V	простран
ства Ив	на	пространство H*B-i.	При этом для		любых F'
и F" из Fi*B-\
Л		{ y ~ lF ', V~lF")B =	F' (вр"),		(2.5.2)
Л					*

г1е В — изометрическое отображение пространства /Ув_i на

3 З а к . 3S9

I	y\
HB- 1, порождаемое оператором. В, определяемым на эле
ментах F' £Н * равенством
	BF' — Bv.	(2.5.3)
Д о к а з а т е л ь с т в о .	На элементах из Н*	определим
скалярное произведение
(F:,	F")* = F'(BF").	(2.5.4)

Билинейная форма, стоящая справа в этом равенстве, оче видно, удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведе

ния,

поскольку

(F',

F')* = {Bv,

v) > 0

для

любого F '£ H *,

отличного от нулевого.

Замкнув УУ* отно

сительно скалярного произведения (Д', F")*, получим гиль

бертово пространство Н*. Для

любых

и F" из Н *

(BF\

BF")b _ x— {Ви,

v) = (F\

Д")».

(2.5.5)

Из

равенства (2.5.3) вытекает-, что

образом Н* при

отобра-

женин

все RB. Но R B всюду плотно в Н

a Н*

В является

всюду

плотно

УУ*. Благодаря

этому

формула (2.5.5) позво-

ляет

расширить

оператор

до

изометрического

отображе-

/ч

;J;

/Ч

из Н* при

ния В

пространства Hi на Нв -\- Функционал F'

надлежит

Н в- ь

самом деле,

для

и(*Нв-\

/ 1

F'(a)\ =

\(u,

v)\ =

2 я,

В~ v

■||и|1д-1 И ,щ-

Поэтому,

если

последовательность

элементов ип£ Н в - 1 схо

дится по норме ||«||д _1

и £ Н в - 1,

то,

поскольку

Д'(«) =

= (»,

® )в-ь где w £ H B-i,

lim

F'(ua) =

lim (ид,

та)

, =

(и, та)

П - + о*

П - * СО

Следовательно, для каждого Д'£/У *

равенство (2.5.4)

расши

ряется на любые Д"

из /У), т.

е принимает

вид

уЛ.

(Д',

Д")* = Д' (BF").

(2.5.6)

Пусть

теперь

Д '— произвольный

элемент

из Hi. В И* най

дется

последовательность

элементов

Д„, сходящаяся сильно,

а потому и слабо,

в /У*

к Д .

В таком случае, согласно (2.5.6),

| Дп (и) — Дт (и) | -> О

при

любом u £ H B-i,

что позволяет расширить равенство (2.5.6)

путем

предельного

перехода на

все элементы Д '£ Н \.

Докажем теперь, что пространства Jit	и Н в*- 1 состоят из
одних и тех же элементов. Если	то, как только что

видели, в Я* найдется фундаментальная последовательность

функционалов

Frl(u),

сходящаяся

функционалу F' (и) на

Ив - 1. Поскольку

Я («) =

(«,

wn)B- U

Fm{u) = {u,

то

отсюда вытекает,

что последовательность элементов wn из Н в - \

фундаментальна

в смысле

слабой сходимости в Я г _1. В силу

слабой

полноты

пространства

Яв_ ь

нем существует эле

мент w, являющийся слабым пределом.

Теперь можем напи

сать,

что при любом

и £ Н в-г

F' (и) = lim Я (и) =

(и, w)B- i ,

-*■ оо

т. е. Я £ Я * _ ь

Следовательно,

Я * с Я ^ _ 1. Пусть теперь F ' £

£ Н в -\.

Это

означает,

что

найдется

w £ H B-\, для

которого

F' (и) = (я, ®)в_1

при

любом

Множество R B — всюду

плотно в FIB^\t

поэтому

можно

выбрать

последовательность

элементов

£ R B, сходящуюся

по норме \w \B-.\

к элементу w. При этом

для

каждого

ti £ H B-i

lim (и,

wn) — F' (и).

Л-► °о

Но по формуле (2.5.1)

( u ,w n)3- i = ^ B

2и, В

2дал) = («,

B~'wn) = F ' (и)£Н*,

так как B~lwn£Ff.

Таким

образом,

последовательность эле

ментов F'n(и) из Я* сходится

при каждом и £ Яв _i к пределу

F' (и). По этой

причине

(Fm -

Я ,

F"T ~

[Fm -

F'n\ (BF") -

при

любом

Я '£ Я |,

т.

последовательность

элементов

Я. 6 Я 1

слабо

фундаментальна. В силу

слабой полноты про

странства

Н\

предел

этой

последовательности

принадле

жит

Я 1.

Следовательно,

Я д- iC

Я*, чем и доказывается совпа

дение множеств

элементов Я *_х

и И*.

Формулами

V,d = F',

F>{ii) =

{u,

введем отображение

V пространства Я на Я*.

Это отображе

ние, очевидно, является

взаимно-однозначным. Для любых v'

и v"

из

zr")B =

(Bv',

v") =

(BF',

v ") = F"(BF') =

(F",

F')* = (Vv‘,

Vv"f-

Смотрите также файлы

Коломников, В. П. Динамика объемов и продолжительности производства продукции.pdf

Колотуша, П. В. Интенсификация солодовенного производства.pdf

Комаров, М. А. Буримость горных пород и ее учет в техническом нормировании обзор.pdf

Комелова, Г. Н. Сплит. Дубровник.pdf

Константинов, Б. П. Гидродинамическое звукообразование и распространение звука в ограниченной среде.pdf

Файл: Козин, И. В. Элементы теории оптимального обнаружения и приема сигналов.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно