Файл: Воробьев, Е. М. Уравнения математической физики (некоторые вопросы, связанные с уравнением Гамильтона-Якоби и волновым уравнением) учеб. пособие.pdf

J .оовпадает о пространсткнг D

Действительно,

пусть

» Покажем, что

У =*(-А+1) У, Очевидно, достаточно докавать это для

На инвариантности

S

относительно*преобразования Фурье, суще

отвования

F

, определенного на S

в равенства {18) сле-

дует,что в качестве У

можно взята г V

» гае

В анализе доказываются следующие свойства преобразования

Фурье функций ив

:

j

1)

Существует Sобратное преобразование F

, опредеден

•ое на

S

• причем

^ « ^ - ^ / е 1

^ ^

( 1 5 2 )

2)

J

J

А

=

fE(ty(p)J*(Fyj(ptip

£"

Rh

( 1 6 ) -

(равенотво Пароеваля)

3) Пусть Dj

- оператор дифференцирования

по J

-ой ко

динате, Uj

- оператор умножения на j

-ю координату.

Тогда

-LDjF^Fuj,

{11-0

UjF

-

IFDj

ci7

Ив последнего свойства непоЬредственно следует,

что

Определение*

Пространством

называется

пополне­

ние пространства

,5*

по норме;

Задача. Доказать.

.' (Ц"} .. <ояно от.т;.чес-снить с

Итак, оператор -Я" определен и, в силу изонетричнооти,

не­

прерывен на плотном подмножестве ^

пространства Wz. (R,

J .

Следовательно, преобразование Фурье р

может быть по непреры

ности продолжено на вое

( & П )

!

Fy&GmF%

,

(23)

/7-» ос

где { y^J-

- произвольная последовательность элементов

из S

,

оходящаяоя к

У <S

( £ . " ) •

^

Определение. Изометрический оператор

определенный формулой

(23), называется преобразованием Фурье в

Корректность этого определения очевидна. Продолжая по непре­

рывности оператор, определенный на 5" формулой

(15), видим,

что

оператор

F

имеет обратный оператор

W*(R.n)~*

W^lPf')

Действительно,

обозначая чере,. /

непрерывное

продолжение

ода*-

ратора (152) на. V z Y £ * V . имеем V

S

раторав^, F и F

, отсюда следует, что FF^J'

FF-J.

т.е. F ~F

Таким образом, справедлива

Теорема 3.

Преобразование Фурье F'. Wz

(£.")•— W^(R

является изометрическим изоморфизмом.

Примечание.

Пусть У>{х)-£ Wz7z%

4 S .

§ 5. Двойственность

пространств Wz &)*

(R.^) ,

Теорема 4. Пусть /

е W/feV, f €

^f^JJ//)

последовательности функций из S t сходящиеся к J-

и у?

соответственно. Тогда существует предел

К

on

при J

, что я требовалось доказать.

Замечание. При к = 0 , T # e . -f £

,

Ц ( К * )

интеграл (25)

оовпадает о интегралом Лебега.

^

Предложение I . Справедлива оценка:

| J f W » | « W » l < l l - f l l ( y « l l * l l c - .

( 2 6 )

Я*1

Доказательство. Пуот»

*5 Э "f| -* "f, 3 Э

У

1а неравенства Кошн-Буняковокого следует

| J f W y ( x J j . | = u r a |

J V ^ W J r k

— >

.

Предложение 2,.

Яри фиксированном

интеграл (25

определяет ограниченный линейный функционал на пространстве W£

Доказательство.

••'

Ограниченность данного линейного функционала следует из

(26).

Определение. Пусть * € W,"(Rh),

W^M,

S ^ ' - f ,

'

-w

Назовем интегралом произведении Функций f

» f