Файл: Акулич, В. К. Зубчатые передачи текст лекций по разделу курса теории механизмов и машин для студентов-заочников машиностроит. специальностей.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 01.11.2024

Просмотров: 31

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Г л а в а 3 . СИНТЕЗ ПЛОСКИХ ЗУБЧАТЫХ МЕХАНИЗМОВ

§6 . Основная теорема зацепления (Теорема Виллиса)

Те о р е м а. "Нормаль в точке соприкосновения эле­

ментов звеньев, образующих высшую пару качения и скольжа-» ния. делит межосевое расстояние на части, обратно пропор­ циональные угловым скоростям".

Для доказательства теоремы рассмотрим произвольную точку касания "К " сопряженных профилей ск. —сС и J$ -J&

( рис. 17) . Через точку "К " проведем общую нормаль к сопря­ женным профилям п. - п. и общую касательную “С - Т

Точку "К" можно рассматривать, как две слитных точки — и К ^. Скорости этих точек можно найти из зависимостей:

V, 0К( 10,к) ;

Каждую из этих скоростей разложим на нормальную и каса­ тельную составляющие:

у

« v .

 

+

- V

+ v

Т1

v ,

VNE

V .

 

N1

 

 

ТЕ

Непременным условием ^ушесгвования зацепления является равенство нормальных составляющих скоростей, т.к . только в этом случае будет обеспечен непрерывность контакта,

т-е-

.

A . ' V V

.В

противном случае профили будут либо отставать,

либо внедряться друг в друга. Из выполненных на рис.17 Построений определим нормальные составляющие скоростей.

Рассмотрим для этого дЬе Пары прямоугольных треугольник Ков: '

31

32.-

I А» ‘

Из подобия треугольников следует, что;

 

V ,ш . •* №

 

 

Ун» ш O g N ,

 

Откуда получаем»

 

 

 

 

 

VN1

 

о ,

к

 

 

 

v

8 J ? k * a

° Л .

 

«

0. К

 

'

 

 

1

 

 

 

V

.V,

O jK

 

w .

o s n 2

 

ЫЦ

£

 

 

Приравняв правые часТй,

будем иметь:

 

 

 

 

-

O g ^ g ..

 

 

 

«

е

O N ,

 

Из Подобия треугольников /aO^'N^ P ^ a O^N^P

имее*'”

 

 

Ш

,

Q g P

 

 

 

0 , N j

 

о , р

 

Следовательно,

 

в

,

ЧТО и требовалось

дока-

зать.

 

 

 

 

 

Точка "Р ", делящей межосейое расстояние

На

части, обратно пропорциональные угловым скоростям* явля­ ется мгновенным центром вращения В относительном движе­ нии звеньев 1 и 2 и в теории заЦепйения называется п о ­

л ю с о м з а ц е п л е н и я . Молюс зацепления опреде­ ляет радиусы—векторы Центроид й относительном движении

звеньев 1 й 2 .

 

 

(

W i

,

1 .

С л е д с т в и е '

1 .

МрЙ

LjQ к jjT

г

 

полюс зацепления перемешаеТйй по межосевой Линий.

С л е д с т в и е

2 .

При

I

*

 

Полюс

зацепления является неподвижной .точкой,-а центроиды пред­ ставляют собой окружности, называемые Начальными. При передаче вращения начальные окружности перекатываются друг по другу без скоЛЬжёНйй,' все время касаясь в полюсе

33

зацепления " Р ', причем:

cJi

±1

где П

и Г, 1Л

радиусы начальных

окружностей

V\M

. WU,

(начальные радиусы)

 

 

С л е д с т в и е

3 . Произвольно

выбранному профи­

лю зуба одного колеса соответствует вполне определенный сопряженный профиль зуба парного колеса. При этом сопря­ женные профили являются взаимоогибаемыми кривыми.

Анализируя значения касательных составляющих скоро­ стей точки Контакта, можно заметить, что V Tj ^ ■ Это рзначает, что контакт двух Профилей происходит со

скольжением, скорость которого равна:

$

=-V81

. Касательные

составляющие* скоростей

можио определить из тех же треугольников:

 

V T1

KN*

V ,г&

J<N|

или

 

О, К

V.

о , к

 

 

 

 

Теперь скорбеть скольжений будет!

v t f

Теоретически профильнЫмй кривыми могут быть самые

различные кривые из Ьёмейства рулетт. Практически же вы­

бор прбфильйых кривык определяется требованиймй кинемати­ ческого, fltikaMinledkbt'Oi технологического и эксплуатационного харак+ера. ПоэтоМ)г-й' МаШккостроенйи иепбльзуетея толь-»

- 34 -

 

ко несколько видов кривых, по которым очерчиваются профи­

 

ли зубьев: эвольвента окружности,

циклоидные кривые, дуга

, окружности,

 

 

 

 

1

Эвольвентное -зацепление,

предложенное

в

1 7 6 4 г .

 

Л.Эйлером, получило в современном машиностроении преиму­

 

щественное распространение.

 

 

 

 

 

§7 . Эвольвента окружности, ее свойства и уравнения

 

Если прямая линия перекатывается по окружности без

 

скольжения, то любая точка этой прямой описывает

 

э в о л ь в е н т у о к р у ж н о с т и

(р и с .18 Ь .

 

Окружность, ПО которой перекатывается прямая

П ~ ГЬ

 

образующая йвольвенту, называется

о с н о в н о й

 

О х р у Ж Й о С Т Ы О (

) .

 

 

 

-зЬ

■ f

Радиус-вектор ОУ произвольной точки ' У ' эвольвенты равен:

Г*.

 

• р

* ----------J L — ,

( а )

 

 

V

 

где

— угол профиля эвольвенты в

точке гу ',

®г*,

радиус

основной окружности

( основной радиус)

Углом профиля эвольвенты в данной точкв называется острый угол между касгтельнрй к эвольвенте и радиусомвектором, проведенным в данвую точку.

^Из условия образования эвольвенты следует, что

С С = УС . С ppyroPi сторокы:

с Г с * ^ ( в у

“

у с

Приравняв правые части, получим:

*

Откуда:

Функция

t d

 

получила название

э в о л ь в б Л й О Й

ф у н к ц и и

кли И Н В О Л К>

т ы \_П.У’ой-у

-

<& ц '

• Значения инволют приво­

дятся к справочниках. СлейЬвателько,

 

 

й

* O l v d U :

(б)

 

 

Sf

?

 

Угол В и

. назыЙНетсн эвОЛьвёнтным углом Профиля

в точке 'у*'. Уравнений (а) й. ( б ), рассматриваемые совме-'

стно,

явлйютсй урабнёйиямй эвольвенты в полярных коорди-

патах

в параметрической форме (параметр - угол профиля

СС м

 

) •

■« 36 ••

Эвольвента является разверткой, основной окружности.

Угол ■?,. » 0 (.

+ c t

называемся углом развернутости

эвольвенты. Ч

1

 

Из условия образования эвольвенты вытекают следующие

еесвойства.

1. Эвольвента начинается на основной окружности (в точке Cq) , где она сопрягается с радиусом. В другую сторо­ ну эвольвента безгранична. Эвольвента имеет правую и левую

ветви (С Э ^ й С д Э ^ ), 2 . Йормаль к эвольвенте, проведенная в любой ее точ­

ке, является касательной к основной окружности, причем точка касания есть центр кривизны, а расстояние по нормаль

от

эвольвенты

до точки

касания - радиус кривизны

эвольвен­

ты

в

данной точке (

= С У ).

 

 

 

 

3 . Две одноименные эвольвенты одной и

той

же окруж­

ности

являются

э к в и д и с т а н т н ы м и

(равно­

отстоящими) , Расстояние межйу ними по нормали равно ду­ ге основной окружности, заключенной Ыёжду началами эволь­

вент

( МУ =

С 1 С ) .

 

 

 

,

 

4 . Форма эвольвенты завиойт только От велйчйны радик­

са основной

окружности. В пределе, при

Р

ь

эвольвента

обращается в прямую линию.

 

 

8 8 . ЭвольвентНое зацепление и его

свойства

 

С в о й с т в о

1*

ЁСЛИ профиль зуба одного колеса

очерчен по эвольвенте, то й п'рофйЛь зуба парного колёса

также должен быть эволь.Вентным,.

 

 

 

Пусть профиль зуба Первого колеса очерчен по эволь­

венте

Э . ,

образованной При Перекатываний прямой rt - п

по основной

окружности

В

, а профиль зуба Парного ко­

леса очерчен по некоторой кривой Пл. Допустим-, что профи­ ли касаются в произвольной точке *КГ (рйс.3.9). Нетрудно

доказать, что профильная кривая

зуба

второго

коЯеса

должна быть эвольвентой

основной окружности

«

Согласно теореме Виллиса, нормаль

Я. «Чх

К двум

сопряженным профилям при

1

(U}tt З ь

Должна Прохо-

- »7 - -

Смотрите также файлы