Файл: Кирпатовский, С. И. Периодические процессы в нелинейных цепях учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 01.11.2024

Просмотров: 139

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

- 62 -

ао б р а т н о е преобразование подучаѳтоя олѳдующиы обравом:

 

т

 

где

 

 

 

 

 

/(Ѳ) ^ V

(a#•cos№+6,1smi>9) ,

i)= i,2, .... n

 

 

и поскольку

 

 

 

 

 

 

 

2

У " ! /1-

созі)Ѳк) ö»-

Y j ' . x n

ІѲК

,

где

Ѳк-

7 7 1*1 к,

ПИ

■> 7

 

 

 

 

 

=

 

S“0

 

 

 

 

 

 

 

то после

 

подстановки етих выражений получаем

 

 

 

 

 

ЁS

Написанное вш е обратное преобразование необходимо для представ­ ления результата расчета (искомой величины) в форме тригонометрического полинома. Характерная особенность втих преобразований состоит в том, что число гармоник равно числу точек на полупериодѳ и формула обратно­

го преобразования верна лишь

при условии,

что

гармоники не пропускают­

с я . Для функций, симметричных

относительно

оси

абсцисс, не должна быть

пропущена ни одна нечетная гармоника.

также для вывода формулы

Обратное преобразование

иопользуѳтоя

дифференцирования и соответствующего оператора. Продифференцировав о

 

 

 

 

 

 

и)

sr~

 

тп

 

 

 

 

 

 

 

этой целью формулу обратного

преобразования, получим

 

 

 

 

 

 

 

 

7 7 7 +1

/

о,

Г

Е i>- sini)(Ѳ~ѲК)

 

 

 

Отсюда

S

-т ая компонета

 

к=1

i- ö -,

о

б р а

 

А

-

 

 

точечного

и з

ѳ н и я

 

п е р -

в о й

п р

о и в в о д

Ш—

равна

 

 

 

 

 

 

 

 

Гн-

о й

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£ I-

£ г Т /я.

 

 

і> sin. д(Ѳі

Ѳк)

А

 

 

 

 

где

 

 

 

Zк*-о,

 

і>-1

'Os­- ' і (р7*7ar7,+ 7

 

 

 

 

 

 

 

 

ѳ ,-

777•ж+ 7 к'

Г’;•е

 

которой

 

f s '

 

Полученная формула много точней той ,

 

мы воспользовались

в начале параграфа для вычисления

 

тп+1

 

 

теперь

 

 

вычисляет­

 

поскольку

 

 

ся с учетом вначений функции

во

всех

 

 

точках

полупѳриода.

С целью записи уравнений точечного метода в матричной форме, вво­

дя в раоомотрѳние

м а т р и ц у

 

д и ф ф е р е н ц и р о в а н и я

многомерного

 

 

 

d'oo

d o t

 

d o к

 

dom

 

 

 

вектора. В данном случае они

 

/77-мерная:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d w

d / f

 

d/ft

 

d im

 

 

 

 

 

 

 

 

d so

d s t

 

d sK

 

 

 

 

 

 

dm o d mt

d m *

dm m

с

компонентами

 

 

 

 

 

 

-63

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тпЯ(Ь-к) "pus**

 

 

 

 

 

Ё

 

 

 

 

 

 

 

cos- 7 7 7 + /

 

 

 

 

 

 

 

 

 

■

 

> « * №

*

} -

 

st*n ж(5-к) приз*К

 

 

 

 

 

Р-і

 

 

 

 

 

 

 

7 7 7 + /

 

 

 

 

 

 

Теперь компоненту производной

 

 

в виде

 

 

 

можем переписать

 

 

и,

 

следовательно,

 

j/!s =

^

'У'\ ds* 'Jk

 

 

 

 

 

ее ітогомѳрншГ вектор

 

 

 

 

 

Таким

образом,

 

 

 

А » - « / .

производной вычисляется путем умно­

многомерный

вектор

жения многомерного

 

вектора самой функции на скаляр

и)

и матрицу диффе­

ренцирования

D

 

(оператор дифференцирования). Элементами матрицы

D

являются

п о с т о я н н ы е

числа,

а а в и с я щ и е , однако, от

чиола интервалов

m

.

 

 

 

 

 

 

 

 

ния

JАналогичным образом вводится в рассмотрение матрица интегрирова­

 

(матричный

оператор интегрирования), обратная

 

матрице дифферен­

цирования.

Повтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J = X ~ ' ,

и можем написать

J / ( Ш o '(Ѳ) = -jj j f -

Компоненты матрицы вычисляются по формуле

JsK m 2—> $ SLn

m

і)=/

ото поотоянныѳ величины, количество и аначѳния которых зависят только от чиола интервалов. Отмеченное свойство матриц X и J сущест­ венно облегчает раочѳты, т . к . матрицы X и J для различных тп вычи­ сляются единожды и применяются уже готовые.

При пользований точечным исчислением рассмотренный ранее пример может быть записан следующим образом:

Ха)<р+Rt = и ,

где /?=

г°°~ r(t„ ) , г„- г(і)) ■ гккгСі'Х

ияя через

 

 

 

 

 

 

 

- 64

-

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

компоненты

daK %+ Го0 С0=

Uо ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

К-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

diK' Ѵк + г" ' с< =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

и‘ •

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и 2 к=!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U) SK-1

dsK Ц>К+■

rss is =

Us ; '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

777

d,J1K ipК+ Т/я/г L niUm •

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заметим, что воольшинотве случаев удобно вместо обратного преоб­

разования

 

 

у

 

 

 

 

 

 

 

 

коэффициенты поли­

 

 

 

 

 

 

J' (Q) .

 

 

 

 

использовать преобразование, позволяющее вычислять

нома,

 

s

 

W :

 

 

 

 

ѵ

 

 

 

 

 

 

 

 

выралеющего функцию

 

ѵ

 

Для втой цели введен многомерный

вектор

 

и матрица

 

 

 

VJ-f.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о,

 

т ак ,

что

 

S =

 

 

 

 

 

 

 

D

, J

и и/ ,

 

д,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

си

В прилагаемых таблицах приведены матрицы

 

тп -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т =

 

 

 

 

 

 

вычисленные для двух простейших видов тригонометриче­

 

&

 

ских

полиномов

соответственно

 

при

 

2 и

 

4 .

S -

 

В практике

иногда встречаетсяпнеобходимость в опера­

 

6>

 

 

 

J)2

 

 

 

 

J

-кратного) дифференци­

 

торах двухкратного (вообще

 

 

 

 

рования

 

 

и интегрирования

 

2 .

За втими

и другими

 

 

 

дополнительными сведениями о точечном исчислении и

 

 

 

его применении следует обращаться к специальной лите­

 

 

 

ратуре [1 6 ,

 

5 ,

1 7 ].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

65

-

 

 

 

 

 

 

 

 

I

Тригономет рии.

 

 

 

М а

т

р

и ц

ы

0'

 

 

 

 

 

 

м н ого ч л ен

 

 

D

 

 

 

J

 

 

w

 

 

 

d t C O S e + ö ^ i n e

0

 

 

t

0

 

 

- /

 

 

 

0

 

 

Ѳ0~ Oi

Ѳ і -

 

- f

 

 

0

/

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

\

Y -+ a ,co;s9 + â ,sj£ n e

0

- L

 

- J -

 

 

 

1

 

i

 

i

 

!

 

О

-

 

 

' ¥

V S

 

V S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

 

 

 

 

 

- 3

 

' 3

 

Ѳ0~ f f - 4Я-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Oz~ —

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

'

 

/

1

 

 

 

 

 

Vâ

VS

0

 

 

 

 

0

 

v i

~ é

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

a ,c o s G + ß ,s t n & +

o Vz - t

Vz

n

Vz

 

Vz

L

Ш

 

n

 

Tl

1

U

3 ~ 3

3

z

4

 

u

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!

+

й й Ш З Ѳ +öi st'/гЗв

~\fz

о

vz

- t

Ѵг

з

Vz

з

n

Vz

 

/

 

Vz

i

з

u

 

 

 

 

 

 

 

-Vz 1

 

0

3

*

"з

3

0

T

 

г

- p

;

 

 

 

 

 

 

-V z

о

Vz

1

0

 

 

 

 

i

6 0= o ,

ѳ ,= Ц -

 

 

n

Ѵг

1 -

 

 

0

 

 

 

/

 

-Vf

 

 

i3f

/

f

 

 

f

1

g

=2,

а

_

3 x

 

 

Vz

Vz

_

 

 

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

3

u

а Ш - t

 

& І

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

 

 

 

H

\

16. О ЛИНЕАРИЗАЦИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ ПРИ МАЛЫХ ИЗМЕНЕНИЯХ ВЕЛИЧИН

Такого рода задачи встречаются довольно ч аст о . В. качестве примера можно назвать известные из рассмотрения нелинейных цепей постоянного

тока

[1 5 ,

1 - 5 ] , § 40

задачи о стабилизации напряжения. Вторым примером

может

служить анализ

у с т о й ч и в о с т и

в

м а л о м ,

т .ѳ .

при малых

отклонениях

[15, 4 - 2 , 4 - 5 ] . Здесь

будет

рассмотрена

линеари­

зация каскадов с электронной лампой - триодом, а затем с полупровод­ никовым триодом (транзистором), являющиеся основным злѳмѳнтом многих

электронных цепей.

(ри с. 6 ,6 ) , который

Лампа-триод

представляет собой трехполюсник

принято описывать

следующими величинами:

- катод, называемое

£/с - напряжение

на промежутке управляющая сетка

сеточным напряжением;

 

іс - сеточный ток; иа- напряжение на промежутке анод-катод, называемое анодным напря­

жением; - анодный ток.

 

 

 

 

 

-

66 -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Входной величиной является сеточное напряжение, а выходной -

 

 

анодный ток, или напряжение

на нагрузке.

Анодный ток зависит как от

 

анодного, так и от сеточного напряжений:

іа

= /

(Ua. ,Ue)~ La.(иа., ас) ,

 

где

всегда

іа.>0

вследствие того , что ,

как известно, лалта обладает

о д н о с т о р о н н е й

 

проводимостью,

обусловленной эмиссией

 

зле кт

ронов с катода. Анодный ток

увеличивается как

при повышении потенциа­

ла

анода по

отношении катода (увеличение

Ua.

 

) , так и при повшении

 

потенциала сетки относительно катода (увеличение

 

Цс

) . Влияние

Ua.

и

Uс

на анодный ток

іа. -

подобноUc, .но влияние

 

Ua

значительно

слабее,

 

 

 

 

 

 

 

чем влияние

равной

ему величины

. Это

объясняется

тем, что

управляю

щая оѳтка расположена значительно ближе к катоду и поѳтому при дейст­ вии равного напряжения создает много большую напряженность поля £ в промежутке сетка -катод . Влияние обоих напряжений на анодный ток удоб­

 

 

Uco Uc

 

£ Ua.

 

 

іа.(иса)і

но описывать как влияние одного эквивалентного напряжения

где

D

=

+

 

 

,

и поэтому

 

 

- проницаемость

сетки (2>«

1 ) , показывает во сколько раз влия

ниѳ анодного напряжения олабеѳ, чем сеточного. Проницаемость сетки -

один ив

 

 

 

 

 

 

 

Ri

 

 

 

трех основных параметров электронной лампы. Двумя остальными

 

 

 

іа.(ис).

 

 

 

 

 

и крутизна б

анодно-сеточной

являются внутреннее

сопротивление

 

характеристики

 

 

 

 

 

 

 

La. (Ua, ис)

■

 

Рассмотрим

полныйd i aдифференциал= ^ d U aфункции+ ^ -d U c ,

 

 

 

 

dia

 

dUa,

 

 

 

due

 

 

 

 

 

 

 

rSjUc ■

 

 

который можно записать также следующим образом:

 

 

Через

RL = ^d.=

 

 

=

 

 

 

обозначено внутреннее динамическое

 

діа.

діа.

Uc.^const

 

 

 

 

 

 

Uc

, лампыт .е .

Ri (Uc)

 

 

очевидносопротивление, аависитэлектроннойотI

(в

анодной- уцепип р ),а ввеличинал я е м которогоы й па,­

раметр, что видно, в частности , иэ семейства анодных характеристик, представленных на рис. 3 7 ,6 .

Черев iS =

діа.

dig-

dUa

dUp Ua=const обозначена крутизна односеточной х а -

рактеристики, которая эависит как

от

Ua.,

так

и от

Uc

.

Поэтому5(

Ус,

Ua.),

что видно_также ив графика семейства анодно-сеточных характерис­

 

і

тик

 

а( Uc)

, представленных на р и с.

3 7 ,а для

различных

значений.

 

 

 

Ua.—Uof, Uoz,

. -

■ ,

Uok

, . . .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы