Файл: Кирпатовский, С. И. Периодические процессы в нелинейных цепях учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 01.11.2024

Просмотров: 130

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

- 31 -

ѳ) определяем действительное значение начальных фаз внесением поправки на фазу

ü p = P è ~ p (n)

во все вычисленные величины. При атом очевидно:

<pzs = &</>'•

V = f (n) + й<р = !>} '■

рі= р,(п)+ й р ;

- f j n>+ Д р ;

л р ;

и т .д .

Эта операция соответствует

размещению оси вещественных под углом р^

я напряжению, заданному

в

условии задачи.

 

Изложенный ѳдѳсь численный способ расчета оказывается наиболее эффективным, поэтому другие формы расчета здесь не показаны. В прин­ ципе, расчет талой цепи может быть выполнен также в численной форме

способом

итерации [ 5 ] , в численно-графической форме

Ц11І

способом

сложения характеристик НЭ и ,наконец ,в аналитической

форме

с предвари­

тельной

аппроксимацией характеристик НЭ.

 

 

При пользовании методикой необходимо иметь в виду возможность не­ однозначного характера зависимости величины, сравниваемой с заданной, от определяющей величины. Эта зависимость может иметь ѳкстоемѵмы. В рассмотренном нами примере могла оказаться неоднозначной зависимость

и (Uz

 

 

 

 

 

 

 

 

)і .

О РАСЧЕТЕ ИНЦ,

НЕПРИВОДИМОМ К ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ЗАДАЧЕ

 

 

9 .

о

­

Расчет

ИНЦ резко

усложняется

как с

увеличением числа

н е с

к р а т и м ы х определяющих величин,

так и с увеличением числа з

к -

в и в а л ѳ н т н ы х

источников.

Примеры таких цепей представлены

 

на рис. 21 а , в , г , д , а

на р и с.

21, 6

покавана для сравнения

цепь,

расчет

которой приводится к элементарной задаче в результате преобразования . треугольника линейных сопротивлений в звезд у , показанную на рис. 2 1,6 пунктиром. Для цепи (д), очевидно,возможно линейное преобразование, приводящее эту цепь к схеме цепи ( в ) .

Расчет любой из зтих цепей, ва исключением представленной на рис. 2 1 , 6 , не может быть выполнен по описанной в п .Ѳ методике. Для

 

- 32

-

Q.

5.

6

юс расчета необходимо применять метод последовательных приближений в форме итерационного процесса или в форме минимизации нѳвявок. Крат­

ко напомним сущность и особенность итерационного способа решения урав­ нений, излагаемого в курсах вычислительной математики (приближенных вычислениях), например [ 8 ] .

Пусть дано

уравнение

4 1 х)=0 .

 

Представим

его в форме, пригодной для итераций:

 

x + -f(x)-x = 0 ,

x= (f(x),

где <f(x) = x + ffx ) .

Пусть I Х ^ = Оо есть грубое аначѳНиѳ корня, а х ">=о/,і х (=(Уі і...іХ%л- последующие приближения его еначѳния. Тогда можно составить последо­ вательность чисел:

- 33 -

 

 

 

 

 

 

а,

=

(f(a0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ог

(f(a,) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

;

 

 

 

 

 

Если

Qfn стремится

 

ün = (p(а,,-f) ■

то

этот предел

удовлет­

 

к пределу

при п + со ,

воряет равенству:

 

 

а п

 

 

 

„);

 

 

 

а=рСаа) = Lim а„=

 

 

 

 

 

короче,

 

 

, т .е .

 

Ltm(p(an-t)=y(lirna„-,)= ср(Uma

 

 

 

предел

 

 

будет корнем уравнения. а„ , а,

,

21

Е с л и

п р е д е л

с у щ е с т в у е т ,

то числа

 

• • • ,

Оп

являются

приближенными вначѳниями

корня, стремящимися

 

(7

 

 

к его

точному ѳначѳнию

а

при

п

 

. В этом

случае итерации

сходятся.

 

 

 

Основная неприятная особенность способа состоит в том, что итерацион­ ный процесс может быть расходящимся или медленно сходящимся. Сущест­ вуют приемы для обеспечения сходимости итераций или для улучшения сходимости. Этой проблеме посвящена обширная литература (например, В , 1 7 ]) . Здесь мы лишь дадим начальное представление о причине рас­

ходимости и об изменении схемы итерационного процесса с целью обеспе­ чения сходимости. Обратимся к графической импострации описанного вы­

ше итерационного процесса. На рис.

2 2 ,а

построены зависимости

и

уг(х)

, Ха на рис. 2 2 ,6

и

у,_(х.)

.

Очевидно, корень

уравнения

=у(х)

находится в точка пересечения

графиков этих зави­

 

симостей. Ход итерационного процесса наглядно представлен пунктирными прямыми перехода от предшествующего приближенного значения корня к

последующему.

видно, что для функции

вида

Уа(х)

итерации схо ­

 

Из

рисунков

 

д ятся ,

а для функции вида

Уі(х)

- расходятся. Доказано (например,

[в]),

что условие

сходимости

выражается

неравенством:

\у>'(х)

І < /

 

 

во б л а с т и к о р н я . Воспользоваться зтим неравенством

иногда затруднительно, так как о б л а с т ь к о р н я эаранѳе неизвестна (корень еще предстоит найти). Если обнаружена расходимость итераций, то чтобы обеспечить сходимость,принимают в качестве неиз­ вестного другую переменную. В электротехнических вадачах ето означает, что если итерации для нахождения тока (напряжения) расходятся, то следует перейти к отысканию напряжения (т о к а ). При таком приеме зам ѳ-

*

- 34 -

нн переменных,

навиваемом изменением схемы итераций, функция

f (я)

наменяет

овой

неблагоприятный вид

У>і(х)

на благоприятный вид

Уа (х).

Иввѳстно

(например, [ 5 ] ) ,

что в качестве искомого следует принимать

ту величину (например,ток

или напряжение),

к оси которой ивгибаѳтоя

характеристика. Очевидно,

в цепи с одним НВ, с монотонной характерис­

тикой, имеющей постоянный знак кривизны, вопрос обеспечения сходимос­

ти решается

просто, но все усложняется

для Ш с немонотонной характе­

ристикой иди

при наличии нѳокольких НВ

с характеристиками

р а з ­

л и ч н ы х

типов. Здесь приходится искать подходящую схему итераци­

онного процесса, иногда прибегая к комбинированным системам

искомых

(часть токов, часть напряжений), для чего необходим опыт и индукция. Некоторое представление об атом будет дано при рассмотрении примера.

Заметим, что разработаны различные виды итерационного метода: простая итерация, итерация по Зѳйделю, итерация по методу Ньютока, метод наискорѳйшѳго спуска [ 8 , 5 , 1 7 ].

При расчете сложных НЗЦ часто прибегают к итерации по Ньютону или по способу наискорѳйшѳго сп уск а , несмотря на большую сложность

этих

способов , что объясняется лучшей сходимостью (почти неизбежной

для НЗЦ и неизбежной для ЛВЦ).

рио.

Покажем применение способа простой итерации на примере цепи

2 1 ,6 , причем сначала воспользуемся методикой, разработанной в

[1 8 ] .

Составим уравнение по методу контурных токов:

- 35 -

 

 

 

 

 

 

 

(2.t

)І т+o?j Іл

È , ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и запишем их

решение

^ з'іі

 

 

 

 

 

 

èz ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

1

 

äfi-Ä

+

О25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В2 — Ytf É j + Ytz Ёг г

,

(

£z) (£z+ä-i)-3f Е,+ (Л, -і-ЗзУСЛі+Лз)-^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

jLf +£&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

І Ш-

(a,i-3z) (Si+Z^-З І

(3-1+£з)(£2.+£з) -£ з'Â

Yzt È/'V Yzz'Ëz

 

в

которых

вое

 

коэффициенты являются функциями соответетвующих_тонов.

 

Зададимся

нулевыми приближениями модулей всех

сопротивлений

-2°

(

І

=

“

1 ,

 

2 , 3)

И8

 

уътъъв.З.смин^£і

^

3-іыаксI

определяемого

с помощью

 

 

 

 

 

 

& мин

 

 

 

 

 

 

 

 

рио.

 

2 3 ,а через углы

 

и

<Умакс

,

как

^ Tnz bgoC

.

Можно,

 

например, взять

3.L'0,= тп£■tcj(9І.'И,±?.

+

01

ыок$ ^ .

Принятые імодули

 

0? £ г”)

 

определяют

соответствующие

нулевые

приближения токов

[°}

, а

по

 

ним

 

также нулевые

 

приближения фаз сопротивлений

У /а>

(р и с. 2 3 ,6 ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

Затем,

подставляя

в выражения для токов

контуров,

находим их

нулевые

приближения

и j / ° ) , которые

позволяют

вычислить

первое

приближение токов

ветвей. Последние позволяют найти первые
« ^ 3
uJ3, ,l*
3 (*)
- J,f (*>. -
-J‘ з3
Изложенный выше метод имеет ту ценную особенность, что для на­ чальных фае неизвестных величин берутся не произвольные значения, а довольно жестко определяемые их модулями, поскольку вычисления ведут­ ся черев комплексы сопротивлений. По меньшей мере, метод поаводяѳт на первом-втором шаге найти начальные приближения величин, в каждой ив которых фаза хорошо согласована с модулем. Метод предназначен для ручного сч е т а , а вычисления коэффициентов А или У требует немалой работы, что является недостатком. Для ручного счета может оказаться
целесообразней комбинированный способ, состоящий в следующем. Получив одно-два приближения по ранее описанному способу, продолжить далее
s l *
Er U/*= и } * - ~ і ,(л-

приближения комплексов

всех

- 36 -

сопротивлений. Далее циклы повторяются

в соответствии

оо

следующими итерационными формулами:

 

 

 

 

\7(к)

тС*1) _

у (*). р л. у

р

JД

'г/

г /

'2

Ёг , где

до надлежащего сближения значений искомых величин.

Если процесс окажется расходящимся, что легко заметить, то сле­ дует изменить схему итерации, перейдя к процедуре нахождения напряже­ ний. С этой целы) придется составить уравнение цепи по методу угло­ вых напряжений и , решив е г о , записать в итерационной форме:

 

 

 

(к) ТгМ р ,

j

 

^j (k) г-

 

 

-L

+ -L

+ .L

 

(K)’оСЗ

"'

Eg (к)

*

 

 

 

3,м-Щ к)+J £Г/ 7'cZ./

 

!£}

г - И ,

оГ/

7 ^ К 5 М

£ ? -л2°+ Ц

(*•?г—г

 

 

 

 

« г

оГз

кроме написанного

итерационного

Для процедуры вычислений,

необходимы

еще следующие

операции:

 

 

 

 

 

 

 

г л Г"

-E '+ A z -E f

уравнения,

Смотрите также файлы