Файл: Кильдишев, Г. С. Анализ временных рядов и прогнозирование.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 01.11.2024

Просмотров: 122

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

Н а рис. 1.5-2 изображена в з а и м н а я корреляционная

функция,

построенная

д л я

 

сопоставления

'количества

введенных

производственных

мощностей на конец года в

цементной

промышленности

С С С Р

с выпуском

цемента

[29] . И з

рисунка видно, что наибольшее значение

вза­

имная корреляционная

функция

принимает

на

третьем

и

четвертом

сдвиге. М е ж д у

вводом

мощностей

и

наи ­

большим

эффектом от

их

 

использования

существует

временной

лаг в три года. Только на четвертый

год пос­

ле

введения

мощностей

можно

ожидать

наибольшего

прироста

в производстве

цемента.

 

 

 

 

 

 

1.0 -

 

 

 

 

 

 

 

 

о.л

'

0 ' 2 J 4 S 6 7 S

Г

Рис. 1І0.2.

Из различных разновидностей случайных процессов лучше всего изучены так называемые стационарные слу­ чайные процессы. Случайные процессы, протекающие во времени приблизительно однородно и имеющие вид не­ прерывных случайных колебаний вокруг некоторого сред­ него значения, причем ни средняя амплитуда, ни харак ­ тер этих .колебаний не обнаруживают существенных из­

менений с течением времени,

называются

с т а ц и ­

о н а р н ы м и

[ 6 ] . Всякий стационарный процесс

можно

рассматривать

к а к процесс,

неопределенно

долго про­

д о л ж а ю щ и й с я

во времени. В

связи

с этим

при проведе­

нии исследований в качестве начала отсчета можно вы­ бирать любой момент времени. При этом на любом ин-

16

т е р в а ле времени д о л ж н ы

быть

получены

одни и те

ж е

характеристики .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Условия стационарности

заключаются

в

следующем:

 

1) M [ | / ] = c o n s t

;

 

 

(1.5.3)

 

2 ) . r h

(Ш=п,(х),

 

 

 

(1.5.4)

где

-z=ti—tj.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из формулы (1. 5. 4)

видно,

что

величина автокорре­

ляционной функции

не

зависит

от

начала

отсчета,

а

только от п р о м е ж у т к а

т,

т. е- числа сдвигов.

 

 

Одним из важнейших свойств стационарного случай­

ного

процесса является

э р г о д и ч н о с т ь ,

состоящая

в

том,

что к а ж д а я отдельная

реализация случайного про­

цесса

является к а к

 

бы

полномочным

представителем

всей

совокупности

возможных реализаций

[ 6 ] . Отсюда

для

эргодичеоких

процессов

основные

характеристики

можно приближенно вычислять не по нескольким его ре­ ализациям, как это делается в общем случае, а по ка­

кой-либо одной реализации,

взятой за достаточно боль­

шой

промежуток времени.

 

В

экономической практике -в большинстве случаев

приходится иметь дело со случайными процессами, име­

ющими вполне определенную

тенденцию

развития

во

времени. Такие процессы называются

н е с т а ц и о н а р -

н ы м и. Характеристики нестационарных

случайных

про­

цессов меняются во времени,

т- е. зависят

от начала

от­

счета. В ряде случаев нестационарные случайные про­ цессы на определенных интервалах времени условно мо­ гут быть приняты за стационарные. Поэтому для ана­ лиза экономического развития достаточно использовать предположение, что процесс является стационарным в течение определенного периода m начиная с момента t0 и будет оставаться стационарным еще в какой-то проме­

жуток времени /. Такие процессы исследовались,

напри­

мер, в работах [12], [35] и были названы [t0,tn,t]

про­

цессами. На них были перенесены без существенных из­ менений все основные выводы теории стационарных слу­ чайных процессов.

Особенностью экономического развития является тот факт, что случайные процессы в экономике как бы раз­ биваются на некоторую систематическую, составляющую и случайные отклонения от нее. Это находит свое выра­ жение в том, что временные ряды часто представляются

Б И Б Л И О Т Е К А ' Г : О Д £ К

в виде

суммы:

 

УіЧ(П+Ы,

 

 

 

 

(1.5.5)

 

 

 

 

 

 

 

где f(t)

— некоторая

неслучайная функция

времени;

s; — случайная

величина с

пулевой

средней

и дис­

персией D [е(].

 

 

 

 

 

 

 

Функцию f(t),

характеризующую

детерминирован­

ную составляющую

временного

ряда, называют

т р е н -

д о м. Тренд о т р а ж а е т влияние

на уровень

экономичес­

кого явления некоторых постоянно действующих

факто­

ров, специфичных дл я каждого

явления.

 

 

 

Случайную составляющую е;, в ы р а ж а ю щ у ю

отклоне­

ния от

тренда,

называют с л у ч а й н о й

к о м п о н е н ­

т о й - Случайная

компонента о т р а ж а е т

действие

случай­

ных факторов на уровень экономического

явления.

Применение

методов теории

случайных

процессов

д л я анализа экономических временных рядов в значи­ тельной мере связано с проблемой исследования случай­ ной компоненты е/, ее сравнения с другими случайными величинами, о б л а д а ю щ и м и известными свойствами, и вычисления статистических характеристик случайной компоненты и т. д. Это объясняется тем, что при крат­ косрочном и в определенной мере при среднесрочном прогнозировании результаты прогнозов тесно связаны со случайной компонентой, в то время как при долгосроч­ ном прогнозировании основное значение имеет опреде­

ление тенденции и взаимосвязей

между

факторами [31] .

Д л я случайной компоненты

при вычислении автокор­

реляционной функции формула (1. 5-

1) упрощается и

принимает вид:

 

 

 

 

 

n —X

 

 

 

г . , ( т ) = .

^ г

-

- - •

(1-5.6)

1 = і

Соответственно для вычисления взаимной корреля­ ционной функции между случайными компонентами и zi формула (1.5.2) преобразуется в

 

 

n-t

Et Z | + T

 

 

 

 

2

 

 

г

( т ) =

т ^

-

^ -

—

•

(1-5.7)

Е , Г ,

1 /

п-х

2

п-х

а

 

 

 

/

2

е,

2

z t n

 

 

18

Д а л ь н е й ш и м обобщением стационарных случайных

процессов являются процессы со

стационарными прира­

щениями. Случайный процесс ^

называется

процессом

со стационарными приращениями,

если при любом фик­

сированном временном

сдвиге т

процесс

—%і-х ) яв­

ляется стационарным.

Очевидно,

что любой

стационар­

ный процесс является одновременно случайным процес­

сом

со

стационарными

приращениями, но не

наоборот-

М о ж н о

ввести

более

общее понятие случайного

процесса

£( со

стационарными

я-ми приращениями, для

которого

 

A-lt

=

I , -

nb-r

+ С

п і ^ - -

+ ( - 1 )

(1.5.8)

представляет

стационарный

случайный

процесс

[11,

кн.

1].

 

 

 

 

 

Например,

если рассматривается случайный

процесс

со стационарным вторым приращением, то он о т р а ж а е т изменение такого экономического явления, .которое раз­

вивается в среднем с постоянным

ускорением.

 

 

Наиболее актуальными

(с точки зрения

экономичес­

ких исследований)

з а д а ч а м и в области

временных рядов

являются

 

задачи

сглаживания

и

разложения,

а т а к ж е

прогнозирования.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кратко

сформулируем

эти

задачи:

 

 

 

{tji}

1. По

имеющейся

реализации

(временному ряду)

некоторого случайного

процесса

t,t

требуется

определить

наилучшим

(в определенном смысле) образом оценку

не-

•которой

неслучайной

компоненты

(тренда)

f(t),

являю ­

щуюся

в к а ж д ы й

фиксированный

момент

времени

средним значением случайной величины ^ и о т р а ж а ю ­

щую

основные

закономерности

в поведении

исследуемой

характеристики

во

времени.

 

 

Решение

задачи

сглаживания, т. е. построение ста-

 

 

 

 

Л

 

 

 

тистической

оценки f(t)

для

истинного,

неизвестного

нам

тренда

f{t)i\a

основании

имеющейся

реализации

{г/г}

исследуемого

процесса It,

позволяет

продвинуться

в решении

таких

актуальных

проблем, как проблема

р а з л о ж е н и я

и проблема

прогнозирования.

 

Проблема разложения заключается в подробном ана­ лизе и классификации влияющих факторов на главные (регулирующие) и второстепенные (случайные), а за­ тем внутри главных на эволюционные, периодические, сезонные и т. п. Что касается проблемы прогнозирова-

*2

Смотрите также файлы