Файл: Тупиков, В. А. Ошибки в решении конкурсных задач на вступительных экзаменах по математике.pdf

Данное же уравнение надо решать следующим образомПереносим члены уравнения в одну часть:

cos х (2 sin 2х — 1) — cos х sin 2х = 0.

Выносим общий множитель cosx за скобки:

cos х (2 sin 2х — 1 — sin 2х) = 0

или

cos х (sin 2х — i) = 0.

Приравниваем последовательно каждый сомножитель нулю:

cosх = 0; sin2 x — l = 0.

Затем решаем полученные уравнения.

38. Тригонометрические уравнения часто решают нера­ циональными способами.

Примеры.

1) Уравнение

sin х + cos х = О

приводили к виду

sin х + sin (90° — х) = 0.

По формуле суммы синусов находили

2 sin 45° cos (х — 45°) = 0 и т. д.

Данное уравнение можно решить проще, так как оно является однородным относительно sinx и cosx. Все члены уравнения делим на cos х (cos х ф 0). Получаем

tg х + 1 = 0; tgx = — 1;

х= — х - +

2)Решая уравнение

■ Sin(-T + Xj

Затем все члены приводили к функции sin х. А было бы гораздо удобнее данное уравнение переписать

1 + tg2 х — tg2 л: — tg х = 1 — tg2 x

или

tg2а: — tg x = 0.

Дело свелось к решению неполного квадратного уравнения. Для рационального решения тригонометрических урав­ нений полезно знать теоремы об условиях равенства двух одноименных тригонометрических функций. Необходимыми и достаточными условиями равенства двух одноименных

тригонометрических функций являются:

sin а = sin р, если а — р = 2кл или а + р = (2k + 1) я;

Те, кто не знал этих теорем, уравнение tg (б* + 5) _ ,

tg (Зх -|- 5)

переписали так:

Решение получилось очень длинным. Если восполь­ зоваться условием равенства двух тангенсов, оно будет значительно короче. Перепишем данное уравнение в виде

tg (5х Д 5) = tg (Зх + 5),

48

отсюда

5х + 5 — (Зх + 5) = fat; kn

Х~ ~2~‘

39.Экзаменационные письменные работы показывают, что абитуриенты избегают применения формул преобразо­ вания произведения тригонометрических функций в сумму при решении тригонометрических уравнений и пользуются другими формулами, приводящими к нерациональным

решениям. Однако на ряде примеров можно убедиться, как просто решаются некоторые уравнения, если восполь­ зоваться формулами преобразования произведения тригоно­ метрических функций в сумму.

Пример 1. Решить уравнение

sin х sin Зх = -i-.

Р е ш е н и е . Пользуясь формулой

sin a sin р = [cos (а — (5) — cos (а -f Р)[,

. данное уравнение заменим равносильным:

(cos 2х — cos 4х) —

cos 2х — cos 4х — 1 = 0; cos 2х — (1 -]- cos 4х) = 0;_

49

50

Продолжения решения не последовало. А стоило немного поразмыслить над равенством (2) и возникло бы заключе­ ние: равенство (2) возможно лишь при условии

| sin 20л; = 1;

Таким образом, решение уравнения (1) свелось к реше­ нию системы (3). Находим:

1) 20л: = -J- + 2тл; * =

2) 12* = - - J- + 2шг, х = - - ^ + ^ .

На основании определения решения системы уравнений составим равенство

"40" + 1 оП — — "24 + “ б-1

51

Итак,

41. Из-за недостаточных навыков в преобразовани суммы тригонометрических функций в произведение ответы в геометрических задачах, решаемых с помощью тригоно­ метрии, оставались неупрощенными. Так, ответ к задаче, где требовалось определить площадь боковой поверхности пирамиды, был записан в виде

52