Файл: Никитин, Борис Дмитриевич. Векторный анализ учебное пособие для студентов заочных высших технических учебных заведений.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.04.2024

Просмотров: 72

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

В § 4 мы отмечали, что циркуляция поля существен­

но зависит от ориентации в поле плоскости, в которой

расположен контур L.

Поэтому:

<£Adr

Ijm Z-----

Z>(S)-0 S

вычисляется в предположении, что контур L, изменяясь,

все время находится в выбранной плоскости. Этот пре­

дел характеризует вращательную способность поля в точке М именно в направлении плоскости Р.

Вопрос о существовании предела (25) и способа его вычисления решается следующей основной теоремой о вихре.

Теорема. Пусть в некоторой окрестности точки М поля вектора

Л =;Лд- i —f- Л у j -J— Л z k

все частные производные первого порядка функций Ах, Ay, Az непрерывны. Тогда

§Adr

lim -L_ ■ ■■

D(S)-0 S

в точке М существует и численно равен проекции век­

тора rot Л на направлении нормали к плоскости, в ко­ торой расположен контур L (см. рис. 31):

§Ad~r

lim

-Ц— = прПа rot Л ,

(26)

D(S)-0

°

 

(при этом предполагается, что направление п0 и направ­ ление обхода L приняты положительными).

Действительно, зафиксируем в поле вектора Л про­

извольную точку М, проведем через

нее произвольно

выбранную

плоскость

Р и

окружим точку М

произ­

вольным контуром L, лежащим в Р.

Пусть S

означает

площадь, ограниченную контуром L.

Тогда,

согласно

формуле Стокса (24), имеем:

 

 

<fA dr

JJ rot~AdS

J f (rot A)n dS

lirrr —------ = lim

$— ==riim —-------,

D(S)->0 S

D(S)—0

d

D(S)->0

 

58

где (rot/l)„ означает проекцию вектора rot Л на направ­ ление нормали пп к S, и предполагается, что направле­ ние «о и направление обхода L выбраны положитель­ ными.

Согласно известной теореме о среднем значении ин­

теграла:

_

 

_

 

И (rot Л) я dS =.S (rot Л (С))п,

 

s

 

 

где запись

(rot Л (С)) „

означает, что эта проекция бе­

рется в некоторой внутренней точке С области S. Поэ­

тому:

 

 

 

 

ilm

Цт S(r°,:T<c»»

 

D(S)-0 d

D(S)-0

S

Но при Z)(S)->0, когда область стягивается к точке М, очевидно, и внутренняя точка С -> М, и в силу непрерыв­ ности функции (го1Л)п, мы имеем:

lim (rot Л (С) )п = (rot Л (2И))-.

Тогда:

_

 

<6

Adr

—

 

 

(Г°‘Л (МП"'

Рис. 31 Рис. 32

ф Adr

Из формулы (26) и из физического смысла Нт - -----

D(S)-0 S

легко усмотреть физический смысл вихря (rotЛ) поля.

Пусть перпендикуляр

к плоскости,

в которой рас­

положен контур L, параллелен вектору

rot Л : п0 II rot А.

59

Тогда:

ф Adr

lim —-------= пр~ rot A~ | rot A | .

D(SbO S

Для_ других направлений na. не параллельных вектору rot Л, величина

<§Adr

lim ------= 7Z/7- rot A = I Г01Л I COS (rt0 rot Л) < I rotA |-

£>(£)-•■ О S

Следовательно, вектор rot А направлен no перпендику­ ляру к плоскости, в которой вращательная способность поля наибольшая. Численное значение (модуль) векто­

ра rot Л характеризует вращательную способность поля в точке плоскости Р, перпендикулярной вектору rot Л.

Пример (см. рис. 32). Пусть твердое тело Т враща­

ется с постоянной угловой скоростью со около непод­ вижной точки. Требуется определить вихрь поля скоро­ стей точек этого тела.

Решение. В

нашем случае вектор Л = v =[<or],

или в координатной

форме:

«Гу, шг), г(л,у,г)):

г; у; £

®Х> шу>

х; у; z

= I (г о)у — у <ог) 4 / (х о>2 - z шх) -|- k (у шх — z Шу).

Согласно определению:

 

г,

J’

k

 

i;

р,

k

—

д

д

д

 

_d_.

_d_.

d

rot и =

дх ’

ду ’

dz

—

dx ’

dy’

dz

 

 

г'у,

 

 

гшу—-ушг, xwz-Z4>x ушх—хш

= (шх ~Ь шл')

 

J ("у 4" шу) 4~ & (®г 4~ Шг) — 2<о •

При вычислении написанного здесь определителя мы

60

предполагали u> =;const. Поэтому, например,

Таким образом, rot v — 2 со ,

что вполне согласуется

с указанным выше физическим

смыслом вектора rot Л.

§ 7.

Символический вектор v (набла).

Оператор Лапласа

А (дэльта).

Основные формулы векторного анализа

В предыдущих параграфах мы ввели понятие векто­

ра grad ср,

характеризующего скорость изменения ска­

лярного поля; скаляра div4 и вектора rot А, характери­ зующих плотность источников и вращательную способ­ ность векторного поля. Были указаны формулы для вы­ числения этих величин в декартовых координатах:

grad ср = r A- -\-j А-+

4г",

6 т

дх

1

J

ду '

dz ’

—

дА

+

 

 

 

дА.

div А =

дх

А + -А

 

'

ду

 

'

dz ’

 

 

Z;

/;

 

k

.-г

д

 

д

;

д

rot Д —

дх

 

ду

-~-

 

 

 

дг

 

Дх; Xv; Д2

Известным ученым-физиком и математиком Гамиль­

тоном было замечено, что

все

эти

(и многие другие)

операции можно записать кратко при помощи следую­

щего символического вектора

(читается «набла»):

—

—

— д .

— д ,

-г д

V

и—

4

/

~1— ”4

&"5— •

v

 

дх

1

J

ду

дг

Сам вектор у? не имеет реального смысла, но ре­ зультат применения его как оператора к скалярным или векторным функциям дает вполне реальную физи­

ческую величину. Так, например, произведение v на

61

Смотрите также файлы