Файл: Никитин, Борис Дмитриевич. Векторный анализ учебное пособие для студентов заочных высших технических учебных заведений.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 68
Скачиваний: 0
правой части можно представить как скалярное произ
ведение векторов rot А и |
п0. |
По определению, вектор |
dS = nodS. Поэтому формула |
(24а) примет вид: |
|
Adr= |
JJ |
rot AdS. |
L |
S |
|
Это равенство обычно называют формулой Стокса. Пример. Вычислить циркуляцию поля вектора
А = xi — z2j-\-y2k
по линии пересечения поверхности х2—4—у—z с коор
динатными плоскостями в направлении от точки пересе чения данной поверхности с осью ох. к точке пересечения
поверхности с осью оу.
Решение. Определим линии пересечения данной
поверхности с координатными плоскостями (см. рис. 29). а) В плоскости хоу аппликата z = 0, поэтому в этой плоскости х2 = 4—у или у—4 = —х2—парабола, симмет
ричная относительно оси оу с вершиной в |
точке |
В (0; |
||
4; 0). В первом |
октанте она |
пересекается |
с осью |
ох в |
точке А (2; 0; 0) |
(при у = 0, |
—х?'=—4). б) |
В плоскости |
|
zoy абсцисса х = 0. Поэтому в этой плоскости: 4—у—z=-0
или —г_4'=1—прямая |
линия, |
пересекающая |
оси оу |
|
и oz в точках В (0; 4; 0) |
и |
С (0; |
0; 4). в) В плоскости |
|
zox ордината у=4). Поэтому в этой плоскости: |
х2 = 4—z |
|||
или z—4 = —х2 — парабола, |
симметричная относительно |
|||
оси oz с вершиной в точке |
С (0; |
0; 4) . |
|
|
53
На рис. 29 стрелкой указано данное направление об хода контура (АВСА).
Вычислим искомую циркуляцию поля Г=: Adr при
помощи формулы Стокса |
(24). |
|
£ |
||||
|
|
||||||
С этой целью определим вихрь поля: |
|
||||||
|
|
/; |
J', |
k |
|
|
|
rot |
A = |
д |
д |
д |
= 2(i/4-z)T |
||
дх ’ |
ду ’ |
dz |
|||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
Nьэ |
to |
|
|
|
В качестве поверхности S в формуле Стокса возьмем |
|||||||
боковую поверхность «пирамиды» ОАВС: |
|
||||||
|
|
S = SccA |
Воде + Зове • |
|
|||
По формуле Стокса: |
|
|
|
|
|||
Г = (£ |
Adr= § rot AdSJJ rotAdS-f- |
JJ rot AdS. |
|||||
ABCA |
|
$OCA |
|
SOAB |
|
SqbC |
|
На грани SOca~ вектор dS = jdxdz, поэтому:
rot AdS = 0.
На грани Sqab — вектор dS—kdxdy, поэтому:
rot AdS = 0.
На грани Sobc— вектор |
dS = idydz, |
поэтому: |
||
|
rot AdS==2(y-\-z)dydz. |
|
||
Формула Стокса в нашем случае принимает вид: |
||||
Г~\ |
J |
Adr= |
2 (г/Н-г) |
dydz. |
|
L |
SOBC |
|
|
Вычислим двойной интеграл при помощи повторного |
||||
интегрирования: |
|
|
4(1— |
|
|
|
|
|
|
Г== у Adr= |
JJ |
2(yA~z)dydz=2 j |
dz J tyA-z)dy=> |
|
ABCA |
SQBC |
|
Q |
0 |
42-Q-.
□
54
Чтобы убедиться в отсутствии ошибок в вычислениях, найдем искомую циркуляцию вторым способом, не ис пользуя формулу Стокса.
В нашем примере: Adr—xdx — z2dy -|- y2dz.
На линии АВ: z = 0, dz — Q и Adr~xdx.
На линии ВС: х —О, dx = 0 и Adr[= —z2dy'-\- y2dz.
На линии СA: у = 0, dy = 0 и Adr—xdx. Поэтому:
Г— \ Adr= f AdrA- j Adr-j- J Adr=>
АВСА AB ВС CA
= J |
xdx -|- J —z2dy + y2dz .-J-. j |
xdx. |
|
||||
AB |
|
ВС |
|
|
CA |
|
|
При интегрировании по линии АВ х |
изменяется |
в |
|||||
пределах от 2 до 0. |
|
|
|
|
|
||
При интегрировании по линии СА х изменяется в пре |
|||||||
делах от 0 до 2. |
|
dz = —dy |
и у |
изменяются |
в |
||
На линии |
ВС z—4—у, |
||||||
пределах от 4 до 0. Следовательно, |
|
|
|
||||
0 |
|
0 |
|
— у2] |
|
2 |
|
Г= j xafx-f-' |
J [—(4—у)2 |
dy '4- J xdx = |
|
||||
2 |
4 |
4 |
|
|
|
0 |
|
|
(16-8y-f-2y2) |
|
|
9 |
|
||
= J |
dy = 42-у- |
|
|||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
Упражнения |
|
|
|
||
1) Найти |
циркуляцию |
вектора |
А = yi—xj вдоль |
||||
замкнутой кривой, образованной осями координат и пер вой четвертью астроиды
2 2 2
х3+у3=г3
в направлении от начала координат к точке пересечения астроиды с осью оу.
Ответ. Г — Ч—тс г2.
1 10
У Казани е. Перейти к новой системе координат р и <р:
х = р cos3 ср; у = р sin3 <р.
55
2)Вычислить циркуляцию поля вектора А= (x3-$-y)i-j-
+(#34~х)/ вдоль окружности радиуса Д с центром в на чале координат в направлении движения часовой стрел
ки.
Ответ. Г = 2~ R2.
3) Вычислить циркуляцию поля радиуса-вектора
г =xi ~\~yj -j- zk вдоль линии АВОА, где АВ—винтовая
линия:
х— acost; у = asin/; z == bt;
Аи В — точки, соответствующие значениям параметра t =0 и t=;2 г. ; о — начало координат; ВО и ОА — от резки прямых линий.
Ответ. Г — 0.
4)Доказать:
a)rot г = 0;
б) |
rot ч |
=°; |
|
|
в) |
rot |
(f (г) • г) — 0. |
|
|
5) |
Найти |
циркуляцию вектора |
|
|
|
Л — (х— 2z) i 4- (х.ф-Зг/ -ф-z) j |
+ (БхД-у) k |
||
по контуру треугольника АВС; А (1; |
0: 0); В (0; 1; 0), |
|||
С (0; |
0; 1) |
в направлении от точки А к точке В — к точ |
||
ке С. |
|
Г =; — 3. |
|
|
Ответ. |
|
|||
|
|
§ 6. Физический смысл вихря поля |
||
__ В § 4 |
было показано, что циркуляция поля вектора |
|||
А по данному контуру L
Г = (j) Adr
L
характеризует вращательную способность поля на дан ном контуре L. В этом параграфе мы введем понятие величины, которая характеризует вращательную способ ность поля в точке поля. С этой целью: 1) зафиксируем
вполе вектора А произвольную точку М (см. рис. 30);
2)проведем через точку М произвольно выбранную
плоскость; 3) окружим точку М произвольно выбран-
56
ным замкнутым контуром L, целиком лежащим в плос
кости Р, и вычислим циркуляцию поля вдоль этой ли
нии
Г = Adr.
L
Отношение
Г |
L |
|
S ~ |
S ’ |
|
где 5 — площадь, ограниченная |
контуром L, характе |
|
ризует вращательную способность |
поля на контуре L, |
|
отнесенную к единице площади. Если при |
изменении |
контура L отношение -р- не изменяется, то |
это отноше |
13 |
|
ние и будет характеризовать вращательную способность
поля в точке М в направлении |
выбранной нами |
плос- |
г |
изменяется при |
измене |
кости Р. Если же отношение |
нии контура L, то за характеристику вращательной способности поля в точке М в направлении плоскости Р
мы примем предел отношения |
Г |
когда контур |
. |
|
|
L стяги- |
|||
вается к точке М, т. е. величину: |
|
|
||
<£ |
Adr |
. |
|
(25) |
Um |
S |
|
||
O(S)-0 |
|
|
|
|
57
