Файл: Никитин, Борис Дмитриевич. Векторный анализ учебное пособие для студентов заочных высших технических учебных заведений.pdf

Где угол t, при положительном обходе окружности, из­ меняется от 0 до 2тг Тогда:

Г='$Adr= $ydx= —ф (&'+&sin t)b sin tdt =— -b7.

A=yi окружность будет вращаться в отрицательном на­ правлении (по направлению движения часовой стрелки).

Если та же окружность будет расположена в плоско­ сти у —<Ь, то вектор А в любой точке окружности будет

торому контуру L тесным образом связана с некоторым вектором, называемым вихрем или ротором поляь

Определение. Вихрем поля или вектором rot А назы­ вается вектор, определяемый следующим символическим определителем:

48

или в раскрытом виде (разложив определитель по эле­

«вихрь» или «вращатель». Читается: ротор А. Иногда в

литературе встречается другое обозначение этого век­ тора: curl А, Читается: кёрль А, что означает «локон»,

«завиток»).

Пример. Найти вектор rot А поля вектора

A = xyzi 4- (х +, У'+ z)/—х2уИ.

Xyz;. х'4“ У + z; —х2У2

Раскрыв его по элементам первой строки, получим:

rot А = —z (2x2z/-|—1) +J(-4/'+ 2хг/2) +^(1—xz).

Связь вихря поля с циркуляцией поля устанавлива­ ется теоремой Стокса, являющейся, как и теорема Остро­ градского, основной теоремой векторного анализа.

Построим в поле вектора:

Л —А х i А у jЦ- A z k

некоторый замкнутый контур L и «натянем» на него не­ которую поверхность S (см. рис. 28). Тогда оказывается справедливой следующая теорема.

Теорема. Циркуляция поля вектора А' по контуру L

.равняется потоку вихря поля через поверхность S, на­ тянутую на контур L:

частные производные первого порядка от функций Ах, Ay, Az — непрерывны.

Доказательство. Выберем на контуре L поло­

жительное направление обхода и в точках поверхности

Рис. 28

S — положительное направление нормали п0, как это указано в начале § 4 (см. рис. 28). Пусть поверхность S дана уравнением z= <р (х; у). Заменим каждый из трех криволинейных интегралов, входящих в циркуля­

цию:

Г= §Adr = (|) Axdx+ § Aydy + (f Azdz, L L L L

интегралами по поверхности S. Для интеграла ф Axdx

это можно сделать следующим образом.

Пусть I и а есть проекции на плоскость хоу контура

L и поверхности, S соответственно. При этом, мы пред­ полагаем, что поверхность S пересекается любой пря­ мой, параллельной оси oz, не более чем в одной точке. (Более детальные исследования показывают, что от это­ го условия можно освободиться). Интегрирования по контурам I и L отличаются лишь тем, что на контуре

I аппликата z—o, а на контуре L аппликата z= я (х; у).

50

Таким образом,

дынтегральная функция есть сложная функция от х и у.

Ах{х\ у; Т(л; у)) = Р(х; у),

поэтому (см. форм. 22, с)

dxdy из о на соответствующую и равную ей на поверх­

ности S площадь dS cos 7:

перпендикулярен к поверхности г =: ф (х; у) в каждой точке (см. форм. 21, с) и, следовательно, он коллинеарен

вектору нормали

По = i cos а Ч- / cos Р +, k cos 7

к поверхности.

Поэтому проекции этих векторов пропорциональны:

4^- : cos 8 == — ] : cos 7.

Внесем эту замену в двойной интеграл, тогда оконча-

телнно получим:

Аналогичным образом получаются и следующие две фор­ мулы:

Складывая эти три равенства, получим формулу Стокса в координатной форме:

d г = (|) Axdx -|- Aydy -|- A%dz =

L L

Нетрудно заметить, что здесь в интеграле по поверх­ ности S множители при проекциях нормального вектора

п0 являются как раз проекциями вектора rot А (см. форм. 23а). Поэтому подынтегральное выражение в

52