Файл: Никитин, Борис Дмитриевич. Векторный анализ учебное пособие для студентов заочных высших технических учебных заведений.pdf

скалярную функцию ср (х; у, z) дает вектор:

т. е. векторное поле 'grad <р не имеет вихрей.

Действительно, применяя формулы (27) и (29), полу­ чим:

rot grad ? = rot yz ср = [yz yz p]

* Символический вектор v часто называют дифференциальным оператором Гамильтона.

62

div rot Л = v rot А = у [V Л ] •

Векторное произведение [ уЛ] есть вектор, перпендику-' лярный каждому из сомножителей, так что [уЛ] _!_ у.

как скалярное произведение двух взаимно перпендику­ лярных векторов.

Приведенные здесь рассуждения нельзя считать строгими доказательствами. С символическим вектором

умы обращались здесь как с обычным вектором,

а это, вообще говоря, неверно. Так например, если на у смотреть как на обычный вектор, то можно заключить,

На самом деле, не всегда гоМ±Л. Поэтому обращение

с символом у требует известной осторожности. Приве­

денные нами выводы формул надо считать точнее мне­ моническими правилами, а не доказательствами. Обос­ нованные выводы этих формул можно привести, напри­ мер, непосредственным подсчетом в проекциях.

Так, формула (30) получается следующим образом:

63

функций:

(UV)' = U'V-]-UV'

можно записать в виде:

(UV)'= (UVC yy-(Ucvy,

где индекс с у функции указывает на то, что при диф­ ференцировании этот множитель считается постоянным.

Например, [UVc y = U'Vс = U'V. А так как у есть оператор дифференцирования, то применение его к про­ изведению [АВ] подчиняется правилу дифференцирова­

ния произведения:

V [АВ] = v [АВ с] + v [АСВ] = v [АВС] - у [^Ас] ■

В векторной алгебре доказывается, что смешанное произведение трех векторов перестановочно', т. е.

А[ВС] = [АВ] С.

Применим эту формулу к правой части последнего ра­ венства и затем воспользуемся формулой (29), тогда получим:

div [АВ]= v [АВ] = v [АВС] — у [£AC] = = [у А] В — [ у В] А = В rot A — A rot В,

что и доказывает нашу формулу.

В .векторном анализе и в приложениях наряду с век­

тором у важную роль играет так называемый оператор Лапласа или Лапласиан, обозначаемый, обычно; бук­

64

(см. форм. 14, с) и формулы (27), (28) и (34), получим:

rot rot А ==; rot [ v А] = [ v [v Л]] = v (V Л) — (v v)А =

= v div А — ДА = grad div А «Д А.

Упражнения

1)Вычислить вихрь поля вектора

А=' ср г,

где ср — скалярная функция.

Ответ, rot ср г — [grad <р - г].

Указание. Воспользоваться методом вывода формулы для div [4BJ; учесть, что rot г = 0.

2)Доказать:

Непосредственным вычислением показать, что поле вихря А не имеет источников и стоков (div rot А = 0).

5)Дано скалярное поле:

ср = 6х3у — 2xz/4 -ф- z4.

66

§ 8. Потенциальные и соленоидальные поля

Определение. Поле вектора А называется потенци­ альным, если существует такая скалярная функция <р (х; у; г), что во всех точках поля выполняется равен­ ство:

тенциалом поля. Например, поле напряженности точечного заряда q:

является потенциальным полем, так как градиент функ­

напряженности. Потенциальное поле имеет ряд прису­ щих ему особенностей.

1) Из определения (36) видно, что потенциальное поле вполне определяется одной лишь скалярной функ­ цией, в то время как произвольное векторное поле опре­

ным свойством потенциального поля. Мы сейчас пока­

жем, что именно всякое безвихревое поле является по­ тенциальным.

Действительно, пусть поле вектора А безвихревое,

т. е. во всех точках поля rot /1=0. Тогда проекция rot А на любое направление равна нулю. Поэтому согласно формуле (28) при любом замкнутом контуре L, лежа­ щем в поле:

Adr

Um - -------= 0,

D(S)-0 s