Файл: Никитин, Борис Дмитриевич. Векторный анализ учебное пособие для студентов заочных высших технических учебных заведений.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.04.2024

Просмотров: 71

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

откуда следует, что по

любому замкнутому контуру L:

<j>

Adr = 0,

а это возможно только в случае, когда Л=0 или когда

подынтегральная функция есть полный дифференциал некоторой функции ь (х, у, Z), т. е. существует такая

функция

<р , что_ЛоУ=

а это и значит, в силу фор­

мулы13,

глава I, что А = grad<p.

Таким образом, отсутствие вихрей является необходи­ мым и достаточным условием потенциальности поля-

4) Достаточным условием потенциальности поля яв­ ляется равенство нулю -циркуляции поля по любому замкнутому контуру, лежащему в поле. Действительно,

пусть по любому контуру § Adr — О.

Тогда, как только

l

_

что было показано (в конце пункта 3), A—grad<f>, т. е.

поле А потенциальное.

Условие f Adr = 0 не является необходимым для по-

L

тенциальности поля. В потенциальном поле может быть

J Ad г =£ 0. L

Так, например, поле магнитной напряженности линей­

ного тока

от

-

—

—

H=='^+f

 

 

не определено в начале координат 0

(0, 0) (на провод­

нике). Во всех других точках это поле потенциально; для него:

<P = 2/arc tg-J-.

Действительно,

 

 

, У

grad 2/ arc tg

 

grad-

— 21 grad arc tg x- = 21---------Д— =

 

x

1 _L —

 

 

1+ *y

— 21x2 * grad у - у grad x _

41

~ х’+у2

X'

У1’

Но циркуляция по окружности х?-\-у2 — г2 не будет рав­ на нулю. В самом деле, в точках окружности имеем:

68

x2-f-(/2=r2 = const и поэтому:

xdy—-*ydx=

2S О,

где S— площадь круга. Здесь

мы воспользовались из­

вестной из теории криволинейных интегралов формулой]

S = (j) (xdy—ydx) . (см. форм. 39, с) .

L

Отличие от нуля циркуляции по выбранному нами кон­

туру как раз и обусловлено тем, что во внутренней точ­

ке контура — в начале координат—поле не

определено.

В качестве упражнения рекомендуем читателю дока­

зать, что во всех точках, где Н определено,

rot Н=0.

Рассмотрим еще одно векторное поле, так называе­ мое соленоидальное, или трубчатое поле.

Определение. Поле вектора А называется соленой*

дальним,

или трубчатым, если в каждой

точке

поля

div Л = 0.

Или, имея в виду физический смысл div Л, мож­

но сказать, что соленоидальное поле — это

такое

поле,

в котором нет источников и стоков.

Примером соленоидального поля является поле вих­ ря вектора А.

Действительно, нами было показано в предыдущем параграфе что: div rot Л =0.

Основное свойство соленоидального поля состоит в том, что в нем векторные линии не могут нигде ни начи­ наться, ни кончаться; они могут уходить в бесконечность или быть замкнутыми.

Для доказательства этого свойства выделим в пола так называемую векторную трубку — часть объема в поле, ограниченную векторными линиями (см. рис. 33). Пересечем эту трубку двумя поперечными сечениями Si и S2 и рассмотрим замкнутую поверхность, образо­ ванную сечениями 32 и частью боковой поверхности

трубки Sg, заключенную между Si и S2. Пусть V озна­ чает объем, заключенный в нашей поверхности S. Тог­

69

да по теореме Остроградского имеем;

f AdS= ЛУ div AdV .

 

s

v

 

Но по

определению

соленойдальнего поля: div Л =«0,

поэтому;

 

 

 

 

f

AdS = 0.

 

 

s

 

 

Так как S = S14~S2-f-S<5, то

 

f AdS = Д AdS + Л AdS-+ Л AdS=0 .

S

Si

s,

s6

n

Рис. 33

На боковой поверхности трубки вектор А±п0, поэто­

му во всех точках поверхности

произведение AdS = 0.

Поэтому:

 

ГГЛ AdS = 0.

Si S,

Так как направления нормалей к Si и к S8 здесь бе­ рутся внешними по отношению к замкнутой поверхно­

сти S, то по отношению к направлению положительного обхода контуров Sr и S, эти направления противопо­ ложно ориентированы^ _

Выбирая на S2 направление нормали п0= — п0, полу­ чим

(J AdS = ЭД "SdS, s'

где S2 означает поверхность S2, но направление норма­ ли изменено на противоположное.

70

Последнее равенство показывает, что поток соленои-

дального поля через любое поперечное сечение вектор­ ной трубки имеет одну и ту же величину. А так как по­

ток Jj AdS

пропорционален числу

векторных линий,

s

через поверхность S,

то, следовательно,

проходящих

через любое поперечное сечение трубки проходит одно и то же число векторных линий. Это и означает, что век­ торные линии не возникают и не пропадают.

В заключение отметим без доказательства, что зна­

ние вихря и дивергенции поля в каждой точке неко­ торого объема и наличие еще некоторых сведений о по­

ле на границе объема позволяют определить поле в лю­

бой точке объема. Таким образом, вихрь и дивергенция поля вектора А достаточно полно характеризуют поле вектора А.

Глава III

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОСНОВНЫХ ВЕЛИЧИН ПОЛЯ

ВКРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ

§1. Криволинейные ортогональные координаты

Пусть в некотором объеме V декартовой системы ко­ ординат задана тройка функций:

« = fi (х; у; z),

v = f2 (х;

у, z),

w = f3 (х;

у,

z).

(30)

Каждой точке All

(xj; z/i;

zj из

объема V эта

тройка

функций ставит в

соответствие тройку чисел:

 

 

(*ь

t/ь zj),

r^i=/2 i;(*

«/ь

zi),

 

 

= ft

*(ь

yr,

zO.

 

 

 

 

Предположим далее, что функции

f2;

f3

непрерыв­

ны во всех точках объема V и таковы, что система урав­

нений (30) имеет

единственное решение

относительно

неизвестных х; у, z:

 

 

 

 

 

 

 

х = ^(и; v; W),

 

 

у; пу), z = <р3 (и;

о; w). (31)

Каждой тройке чисел

(u; v; w) из области, значений

функций ft, f2, f3 тройка

функций

(31)

ставит

в

соот­

ветствие единственную тройку чисел х; у; z—коорди­ нат некоторой точки М(х; у; z): При этом мы предпола­

гаем, что если системой (30) координатам точки М (х; у; z) ставится в соответствие тройка чисел (и-, о; w ), то и

системой (31) тройке чисел (и; о; ну), ставятся в соот­ ветствие координаты той же точки М (х-, у; z). Таким образом, системы функций (30) и (31) устанавливают взаимно однозначное соответствие между декартовыми координатами точек из V и тройками чисел и; у: w

72

Смотрите также файлы