Файл: Никитин, Борис Дмитриевич. Векторный анализ учебное пособие для студентов заочных высших технических учебных заведений.pdf

Скачать файл (4,77Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.04.2024

Просмотров: 66

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Таким образом,

JJJdivA(Al)dv^-^ AdS,

что и доказывает наше утверждение.

Пример. Вычислить поток поля вектора:

А = хуЧ + х2у] + -у ~k

через замкнутую поверхность х2'-\-у2z2 = R2 (сфера).

Решение. Воспользуемся формулой Остроградско го (21):

dlv = 4 (^2) +	(Х?У) + 4(4) = 2 + У2 + 2-
Тогда по формуле	(21):

/7= §AdS = ^(x2+y2+z2)dxdydz = 8 m(x2+y2+z2)dV,

8	V				V,
где Vi — объем шара, лежащий в первом октанте.
Перейдем к сферическим				координатам			(см. форм.
36 с):
х = р cos ? sin 0, у = р sin ср sin 9,						z = р	cos 9,
П=8 УСУ				те/2	х/2	R
П=8 УСУ		р2р2sin9tZptfcprf9 =.8 [			d9 [	d? f p4sin9dp =
	и,	о	о		6
			5	‘
Пример.		Вычислить поток электрического					поля то

чечного заряда q, помещенного в начале координат, че рез поверхность сферы, не содержащей внутри себя на

чала координат.

Решение. По предыдущему

£==^-7.

По формуле (20) имеем:

dlvT-dlv^r-з£+г 4(£)-зА-З £ - О,

и по формуле Остроградского (21):

/7 = <jj bdS= JJJ div 7:4/17 = О s v

(читателю рекомендуется сравнить этот ответ с ответом примера стр. 26).

Пример. Тело Т лежит в первом октанте, ограничено координатными плоскостями и поверхностью, заданной уравнением:

г2 = 4 — х — у.

Вычислить поток поля вектора

А = х2 • I + г2/

через поверхность, ограничивающую тело Т.

Решение. Найдем линии пересечения данной поверх ности с координатными плоскостями (см. рис. 21).

С плоскостью хоу: 4—х—у —;0 — прямая линия.

Сплоскостью yoz: г2 = 4—у — парабола.

Сплоскостью zox: z2 = 4—х — парабола.

	Рис.	21
Для вычисления	потока	воспользуемся	формулой
Остроградского (см. форм. 21).
В нашем случае:
div Л ~4- х2 +		z2A- 4~ 0 = 2х,
ох	'оу	'dz	’

и следовательно,

	2	4-z3	4-y-z3
П = JJJ 2xdxdydz = 2 J dz J			dy J xdx=\9~^.
J V	0	0	0
Чтобы убедиться в отсутствии ошибок в				вычислениях,
найдем искомый	поток непосредственным			вычислением

поверхностных интегралов.

Данная поверхность состоит из четырех частей:

5 = SABC 4- Sboc + Saoc + SAob •

Поэтому

П= П Ads+ fJ-AcZS-b		П ArfS + И AdS.
АВС ВОС	АОС	АОВ

Вычислим каждый из этих интегралов:

а) интеграл по поверхности АВС заменим суммой двой ных интегралов аналогично тому, как это сделано в ре шении примера на стр. 28:

П AdS= £[		x2dydz-\- П 'z2dz dx 4-			Jf	Q ■ dxdy=
ABC	ABC			ABC	ABC
	= JJ	(4 — у — z2ydydz + П z7dzdx\
	ВОС			AOC
б)	на поверхности		ВОС вектор dS — ~ idydz				(на	зам
кнутой поверхности			вектор dS направлен			по	внешней
нормали),
поэтому
	AdS — (x2i-}- z2j)			(—idydz) = —x2dydz=0
(на поверхности ВОС абсцисса х=.0).
	Таким образом,
			Я	= 0.
			ВОС
Аналогичным		образом		вычисляются и	два	другие		ин
теграла:
		П AdS = - П z'dzdx;
		АОС		АОС
	JJ AdS =0			(здесь вектор dS А.		А) .
	АОВ

Следовательно:

П == JJ (4 —у — г2)2 dydz 4-				JJ z2dzdx — JJ z2dzdx =*
ВОС			АОС	АОС
*	4“Z	(4		со
		(4	— z2-y)2dy = 19-^5 .
о	о

Упражнения

Г) Вычислить дивергенцию вектора напряженности магнитного поля:

—27 — ■—

н= -р-(- yi + xj),

создаваемого током I, протекающим по бесконечно

длинному прямому проводу.

Ответ, div Н = 0.

2)Вычислить div(r2c), где с — постоянный вектор.

Ответ. div(r2c) =;2(/с).

3)Вычислить поток поля вектора

А= xyi A-yzj + xz k

через часть поверхности шара

		х2+уЧ-22 = 1.
заключенную в первом октанте.
/1	ГТ	3
Ответ. П = -jy к.
4)	Вычислить поток поля вектора

А = yz i + xzj 4- xyk

через боковую поверхность пирамиды с вершиной в точ

ке М (0; 0; 2), основанием которой служит треугольник

О(0; 0; 0) А (2; 0; 0) В (0; 1; 0).

Ответ. 77 = ~.

§4. Циркуляция поля

Вдальнейшем мы всегда будем пользоваться пра вой системой координат (см. рис. 3, с).

Условимся еще в следующем. Пусть, в плоскости Р (см.

рис. 22) дан некоторый замкнутый контур. Одно из двух направлений на нормали к плоскости Р примем за

положительное п. Тогда за положительное направление обхода контура L примем то направление, в котором на до вращать правый винт, чтобы направление поступа

тельного перемещения винт^ совпадало с п.

		Рис. 22	Рис. 23
Пусть	теперь дан		произвольный (не обязательно
плоский)	контур L.
Натянем		на него некоторую гладкую поверхность S
(см. рис.	23)	и одно из направлений п нормали на S при

мем за положительное. Тогда за положительное направ ление обхода контура L примем то направление, в кото ром надо вращать правый винт, чтобы поступательное

перемещение винта было направлено в сторону п. Приступим теперь к установлению понятия циркуля

ции поля.

Дадим сначала формальное определение циркуляции поля, а затем выясним ее физический смысл. Пусть

в поле вектора А выделен некоторый замкнутый контур L (см. рис. 24). Разобьем этот контур в положительном

направлении на участки:

М^М2, М2М3, М3М4, MkMk+i, •••,

На каждом из этих участков построим вектор прира

щения радиуса-вектора:

A rk = г (МЦ и) — г (ЛЬ)

и вычислим сумму скалярных произведений векторов Д(УИй) и Arft:

Гп = f А(ЛЬ) A	= f A (ЛЬ) A rk cos ,
Л=1	Л=1

где п означает число разбиений, a ък—угол между век

торами A (Mk) и A гk.

Циркуляцией Г поля вектора А по данному контуру

L называется предел		интегральной суммы Гп, когда
все A	;
	r=;lim	£ Д(ЛЬ)Аг

(причем, естественно, предполагается, что этот предел существует).

По аналогии с другими, известными читателю, пре

делами интегральных сумм, написанный выше предел называют также криволинейным интегралом вектора А

по замкнутому контуру и обозначают символом <Jj Adr.

Таким образом, по определению:			L
Таким образом, по определению:
Г=Пт	А (Мк) А гk = Ж’ Adr.		(22)
д^°^1		1
Теперь установим	физический	смысл	циркуляции.

Предположим, что вектор А физически изобража

ет погонную силу, т.		е.	силу, отнесенную	к единице
длины.	произведение		A (ЛЬ) A rk будет	изображать,
Тогда
примерно,	величину	силы в точке Mk; умножив ее на

cos <рА, мы получим проекцию этой силы на направление

Ага. Таким образом, каждое слагаемое:

*^()ДгЛГ й =Д(ЛЬ)Агй cos <pft

представляет проекцию силы на направление ДгЛ.

В пределе вектор Д rk		в каждой точке М направлен
по касательной к контуру L в			сторону	положительного
обхода. Поэтому:
Г= (£Л(/г=Пт		S A(Mk)&rk		cos
J	&гь -> О	Asl
	R
в нашем случае	представляет		алгебраическую сумму
сил, действующих на контур по			направлению касатель

ных к контуру (см. рис. 25).

Рис. 24

При этом положительные слагаемые А )*(Л4 Д rk cos <рЛ (когда —острый угол) вращают контур L в положи

тельном направлении, а отрицательные слагаемые (ког да — тупой угол) вращают контур в отрицательном

направлении.

Если Г^>0, то контур L будет вращаться в положи тельном направлении. Если Г<^0, то контур L будет вра щаться в отрицательном направлении.

Если Г = 0 (что может быть, когда поле во всех точ ках контура L перпендикулярно к L или сумма отрица-

тельных и сумма положительных слагаемых одинакова), то контур L вращаться не будет.

Таким образом, циркуляция поля по данному конту ру характеризует вращательное движение, вращатель ную способность поля на данном контуре L.

Примечание. На рис. 24 контур L расположен в плоско сти. Это сделано лишь для большей наглядности изображения. Приведенные рассуждения остаются справедливыми и в случае, когда контур L не плоский.

Существенно отметить, что циркуляция данного по ля зависит не только от формы контура, но и от его ориентации в поле.

Пример. Вычислить циркуляцию поля вектора

A=yi

по контуру окружности

х2+ (у — Ь)2 = Ь2.

Решение (см. рис. 26).

dr = idx'-\- jdy

kdz;

Л =,iy;

Adr~.ydx-,

В нашем случае L — окружность. Напишем ее урав нение в параметрическом виде: x=bcost; y—b'A-b sin t,