Файл: Митропольский А.К. Лекции по дифференциальному исчислению.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 90
Скачиваний: 0
§ 4] Дифференцирование тригонометрических функций 43
второй же множитель стремится к 1:
lim |
Sin-T |
1. |
|
Ьх |
|
||
Лх—О |
|
|
|
|
2 |
|
|
[См. Введение (5)]. Таким образом, получим |
|
||
d sin х |
’ |
(12) |
|
dx |
|
||
т. e. производная функции z/ = sinx равна cosx.
Так как все тригонометрические функции могут быть вы ражены через одну какую-нибудь из них, то, найдя производ ную синуса, легко получить производные остальных тригоно метрических функций.
Найдем производную косинуса |
(черт. 13). Имеем |
|||
|
|
у = cos х — sin |
----- ж). |
|
Следовательно, применяя формулу производной сложной |
||||
функции, |
получим |
|
|
|
d cos x |
|
= cos |
---- 1)= — sin ж, (13) |
|
dx |
dx |
|||
|
|
|||
т. е. производная функции у = cosx равна — sin х. Производная тангенса (черт. 14) находится по формуле
производной частного. |
Имеем |
|
|
|
||
Следовательно, |
|
|
|
cos2 x 4~ sin2 x |
|
|
dtgx _ |
cos x cos x — sin x (—sin x) |
|
||||
dx |
|
cos2 x |
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
1 |
|
(14) |
|
|
= |
|
COS2X |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
.1 + tg2* |
|
|
||
Наконец, при выводе производной котангенса (черт. 14) |
||||||
заметим, что |
|
|
|
|
|
|
|
у = ctgx = |
-----х |
|
|
||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
d ctgx |
1 |
тс |
|
|
____ 1 |
(15) |
dx |
„! |
|
|
sin2 X |
||
|
COS2 I |
—=----X |
> |
|
— (1 + ctg2x) |
|
|
\ |
2. |
|
|
||
44 |
Дифференцирование функций |
[гл. ПГ |
Применяя формулу производной сложной функции, по лучим:
d sin и |
du |
dx |
— COS u-т— |
dx |
|
|
Черт. |
14 |
|
|
|
|
d cos u |
|
|
du |
|
|
|
dx |
= — Sin U-7—, |
|
|||
|
|
|
dx ’ |
|
|
|
d tg и |
I |
du |
,, . |
, |
, |
-.du |
-ST “гзетгг-О+'е!“>37. |
||||||
d ctg и |
1 |
du |
/1 |
i |
i |
9 a du |
-dT-^-^dV^-O+^^dV
(16)
(17)
/IOV
<18>
(19)
§ 5] Дифференцирование обратных тригонометрических функций |
45 |
||||||||
Пример. |
Продифференцировать функцию |
|
|
||||||
|
|
|
У = In tg -J-. |
|
|
|
|||
Здесь сложную |
функцию |
можно |
разложить в |
цепь из трех |
|||||
звеньев: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z/ = lnu, |
u = tgo, |
v = ^~. |
|
|
|
||
Таким образом, |
для отыскания производной от у надо |
взять |
|||||||
производную от |
логарифма |
и — tg-^-, умножить ее на |
произ |
||||||
водную от тангенса |
а = -^-и на производную от |
. Имеем |
|||||||
£у = 1 |
. |
1 |
. |
1 = |
1 |
х |
1 |
|
|
dx |
, |
х |
„ х |
2 |
„ |
, х |
sin х |
|
|
|
tg -2- |
cos2 |
|
2 sin -2- cos -y- |
|
|
|||
§5. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Найдем производную от функции
у — arc sin х
(причем-----1-< arc sinx<-y) (черт. 15).
Согласно определению этой функции, имеем
sin у — х.
Взяв производные от обеих частей по х, получим
cos у' ^7 1;
откуда |
|
dy _ |
1 |
dx |
cos у |
Но
cos у = 4- V1 —.sin2 у = 4- V 1 — х2,
где перед корнем берется знак +» так как Для главных зна
чений арксинуса cost/ положителен, ввиду |
того что у лежит |
||
в первой или четвертой четверти. |
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
d arc sin х |
I |
1____ |
/9П\ |
dx |
~ + /Г^х2 ’ |
( } |
|
46 |
Дифференцирование функций |
[гл. III |
т. е. производная арксинуса равна единице, деленной на квад ратный корень из единицы минус икс квадрат.
Пусть теперь
у — arc cos х.
Тогда
х = cos у = sin (-J- — у}
и, следовательно,
----- У — arc sin х,
или
arc cos х arc sin х = .
Откуда
arc cosx = —— arc sin х.
§ 5] Дифференцирование обратных тригонометрических функций 47
Таким образом,
d arc cos х |
d arc sin x |
dx |
dx |
или |
|
d arc cos x |
1 |
(21)
iZ 1 — X2 ’
Черт. 16
т. e. производная арккосинуса равна минус производной арк синуса.
Если
|
r/ = arctgx |
(причем---- < arc tg х < |
(черт. 16), |
то |
tgz/ = x. |
|
48 |
Дифференцирование функций |
[гл. |
III |
|||||
Взяв производные от обеих частей по х, получим |
|
|||||||
|
|
(l + tg’^)-gr=l, |
|
|
||||
откуда |
dy |
_ |
1 |
|
_ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
dx — 1 + tga у ~ 1 + • |
|
|
|||||
Следовательно, |
|
rfarctgx _ |
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
dx |
|
. |
1+^’ |
|
|
|
т. е. производная арктангенса |
равна |
единице, |
деленной |
на |
||||
единицу плюс икс квадрат. |
|
|
|
|
|
|
||
Если |
|
у = arc etg х, |
|
|
|
|||
то |
|
|
|
|
||||
x = ctgt/ = tg (-^----- у). |
|
|
||||||
|
|
|
||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—y = arctgx, |
|
|
||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aretgx-f- arc etg х = -^- ; |
|
|
|||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arc etg х — |
---- arc tg x. |
|
|
||||
Таким образом, |
|
daretgx_ |
1 . . |
|
||||
dare etgл_ |
|
|||||||
|
dx |
~ |
|
dx |
' — — Г+х*> |
|
|
|
т. e. производная арккотангенса равна минус производной арктангенса.
Применяя формулу производной сложной функции, полу чим
d arc sin и |
|
1 |
du |
(24) |
|
dx |
/1 — u2 |
dx ’ |
|||
|
|||||
d arc cos и |
|
1 |
du |
(25) |
|
dx |
/1 — M2 |
dx ’ |
|||
d arc tg и |
1 |
du |
|
(26) |
|
dx |
~ 1 + иг dx |
’ |
|||
|
|||||
d arc etg и |
1 |
du |
|
(27) |
|
dx |
1 +u2dx |
|
|||
§ 6] |
Дифференцирование гиперболических функций |
49 |
Пример. Продифференцировать функцию
у = arc sin
Имеем
^L = |
1 |
dx |
X2 |
|
1
Показать, что ту же самую производную |
|
dy _ |
1 |
dx |
1 -р х2 |
имеют функции:
у =± arc tgjij, |
«/=-^-arctgr|^, |
|
|
|||
1 |
. 2х |
1 |
|
1 — х2 |
. |
|
^ = -TarcsinrTTa, |
«/=-2~ arc cos |
|
|
|||
§ 6. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ |
ФУНКЦИИ |
|||||
Дифференцируя гиперболический синус |
|
|
|
|||
|
, |
ех—е~х |
|
|
|
|
|
sh X =---- 2----- > |
|
|
|
|
|
(черт. 17), находим |
|
|
|
|
|
|
|
dshx |
2 |
а |
|
|
|
|
dx |
’ |
|
|
|
|
т. е. производная гиперболического синуса равна гиперболи ческому косинусу.
Подобным же образом,
d ch х |
ех — е~х . |
|
(29) |
—л— ==---- о----- = sh х, |
|||
dx |
2 |
’ |
|
т. е. производная гиперболического косинуса равна гипербо
лическому синусу.
4
