Файл: Митропольский А.К. Лекции по дифференциальному исчислению.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 89
Скачиваний: 0
50 |
Дифференцирование функций |
[гл. III |
Дифференцируя гиперболический тангенс (черт. 18)
Черт. 17 |
Черт. |
18 |
т. е. производная гиперболического тангенса |
равна |
единице |
минус квадрат гиперболического тангенса. |
|
|
Пусть дан гиперболический ареасинус |
|
|
у = Ar sh х |
|
|
(черт. 19), следовательно, |
|
|
sh у = х. |
|
|
§ 6] |
Дифференцирование 'гиперболических функций |
51 |
Дифференцируя обе части равенства, имеем
и, следовательно,
d Ar sh х |
1 |
_ |
1 |
1 |
|
(31) |
dx |
ch У |
|
■/ 1 ф- sh2 у |
>/ 1 —f— х2 |
’ |
|
|
|
Черт. 19
т. е. производная гиперболического ареасинуса равна едини
це, деленной на |
квадратный корень |
из |
единицы плюс икс |
||
квадрат. |
|
|
|
|
|
Подобным же образом |
|
|
|
|
|
rf Аг ch х |
1 _ |
1 |
_ |
1 |
. |
dx |
sh у |
у ch.^ _! / Х2 _ 1 ’ |
1 > |
||
т. е. производная гиперболического ареакосинуса равна еди
нице, деленной на квадратный корень из икс квадрат |
минус |
||
единица. |
|
|
|
Наконец, |
|
|
|
dArthx _ |
1 - |
_ 1 |
f , |
dx “"1-th2 у |
1— x2’ |
|
|
4* |
|
|
|
52 Дифференцирование функций [гл. III
т. е. производная гиперболического ареатангенса равна еди нице, деленной на единицу минус икс квадрат (черт. 20).
Производные обратных гиперболических функций можно также найти непосредственно, дифференцируя по х тожде ства:
Air sh х = In (х -f- Y1 + х2),
Ar ch х = In (x -j-]/ x2 — 1),
Ar th x = In /IdzA. z r 1 — x
(См. «Краткие математические таблицы»).
§ 7. УРАВНЕНИЯ КРИВОЙ В ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
Нахождение уравнения кривой по данному свойству ее часто бывает более удобным не при помощи выражения этого свойства через текущие координаты х и у, а путем введения третьей — вспомогательной — переменной t, через которую можно отдельно выразить абсциссу х и ординату у любой
точки кривой.
Полученные таким путем два уравнения
х = <р(О
!/ = 'Ф(0 J |
(34) |
|
§ 7] Уравнения кривой в параметрической форме 53
[так же, как уравнение «/ = /(•*)] могут служить для построе
ния и исследования кривой, так как при каждом значении t
эти уравнения определяют положение соответствующей точки кривой.
Переменная t называется параметром, а уравнения (-34) называются параметрическими уравнениями кривой.
Переход от уравнений кривой в параметрической форме к обычному — явному или неявному —• виду уравнения кривой делается путем исклю чения из двух уравне
ний (34) параметра t, что можно сделать, напри мер, решив одно из этих уравнений относительно t и подставив, получен ный результат в другое.
Параметрические урав
нения кривой |
особенно |
|
часто встречаются в ме |
||
ханике при |
исследовании |
|
траектории |
движущейся |
|
точки, положение кото |
||
рой зависит от |
времени t, |
|
а потому |
и координаты |
|
являются функциями от t. |
||
Определив эти функции, мы и получим параметрические уравнения траектории.
Параметрические уравнения окружности.
Всякая точка окружности может быть определена как точка пересечения этой окружности с радиусом, проведенным из центра окружности. Положение же радиуса определяется
углом, |
образуемым радиусом |
с осью абсцисс. Взяв этот |
|
угол t |
за параметр (черт. 21), |
находим |
|
|
х — Xo — rcosi, |
у — y0 = rsint. |
(*). |
Таким образом, параметрическими уравнениями окружности будут
х = х0 + г cos t,
(35)
У — Уо + r sin t-
Для перехода к обычному уравнению возведем урав нения (*) в квадрат и сложим. Имеем
(х — х0)2+ (у — i/o)2 = r2cos4 4-r2sin2^ = r2.
54 |
Дифференцирование функций |
[гл. III |
||
то |
Если центр окружности совпадает с |
началом координат, |
||
параметрическими уравнениями окружности |
радиуса о. |
|||
будут |
. |
2 |
|
|
|
х = a cos t, |
у— a sin t. |
|
|
|
Легко проверить, что параметрическими уравнениями эл |
|||
липса будут |
y — b sin t; |
|
||
|
х = a cos t, |
|
||
действительно, |
|
|
|
|
|
— = cos= sin Л |
|
|
|
|
a |
о |
|
|
Возводя в квадрат и складывая, получим |
|
|||
|
а! |
Ь2 |
|
|
|
Циклоида (от слова «цикл» — круг). Циклоидой назы |
|||
вается кривая линия, описываемая некоторой точкой окруж
ности круга, катящегося без скольжения по данной прямой.
Из этого определения очень просто получается парамет рическое изображение циклоиды.
Пусть дан круг радиуса а и прямая, по которой катится круг слева направо (черт. 22). Положим, что в некоторый момент замеченная на окружности точка М оказалась точ кой О касания окружности с прямой. Эту точку примем за
начало координат, данную прямую — за ось абсцисс и пря мую, перпендикулярную к данной прямой,— за ось ординат. Замеченная на окружности точка М по мере того, как круг катится по прямой, будет описывать циклоиду.
Возьмем какое-нибудь положение катящегося круга, и пусть для этого положения точка М, описывающая циклоиду, будет иметь координаты х и у, а точка А будет точкой каса
§ 7] Уравнения кривой в параметрической форме 55
ния круга с осью абсцисс. Обозначим через t угол поворота
рассматриваемого положения круга.
Выразим теперь абсциссу и ординату точки М в функциях
угла поворота t. |
отрезком пря |
Абсцисса х геометрически представляется |
|
мой ОВ: |
(**) |
х—ОВ = ОА — ВА. |
Так как по условию круг катится по прямой ОХ без сколь
жения, то отрезок прямой ОА будет равен длине дуги окружности МА:
ОА=^уМА.
С другой стороны, как известно, центральный угол, выражен ный в радианах, показывает, сколько раз радиус окружности откладывается в дуге. Таким образом,
и, |
следовательно, |
^MA = at |
|
||
OA = at. |
(***) |
||||
|
|
||||
Проведя МВ перпендикулярно |
ОХ и |
DC параллельно ОХ, |
|||
находим |
|
|
|
||
|
|
BA = DC = a cos |
---- ; |
||
но так как |
cos(—a) — cos а, |
||||
то |
|
||||
|
|
|
|
||
|
cos |
---- = cos |
---------= sin t |
||
и, |
следовательно, |
BA = a sin t. |
(****) |
||
|
|
||||
|
Подставляя (***) |
и (****) |
в (**), |
имеем |
|
|
|
х = а (t-sint). |
|||
Ордината у геометрически представлена отрезком ВМ:
у = ВМ = BDDM.
X
DM — a sin \t —
56 |
Дифференцирование функций |
[гл. III |
и так как
sin(— а) = — sin а,
то
sin (t - -у) = — sin f-y- — t\= — cos t,
и
DM = — a cos t.
Таким образом,
у = a (1 — cos t).
Черт. 23
Совокупность двух выведенных уравнений
х = a(t — sin t),
(36}
y = a(\ — cos t)
и представляет собой параметрическое изображение цик лоиды.
Исключая t из уравнений (36), мы можем, получить урав нение циклоиды в обыкновенном виде, дающее непосредствен ную связь между х и у.
Астроида (от слова «астрон» — звезда). Внутри непод вижного круга радиуса а катится без скольжения по окруж
§ 7] Уравнения кривой в параметрической форме 57
ности другой круг с радиусом, в четыре раза меньшим. Точ ка М катящегося круга описывает кривую, называемую аст роидой (черт. 23), уравнение которой
2 |
2 |
2 |
3 |
3 |
3 |
(37)
Это уравнение можно написать в виде
i 1
з3
Таким образом, х и у можно рассматривать как катеты
1
з
прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна а (черт. 24). Обозначая через
t острый угол, получим
1 |
1 |
11 |
|
3 |
3 |
3 |
3 |
х |
=а cos t,y |
= a sin t, |
|
или
х= a cos31,
у= а sin31.
Таким образом, мы по лучили параметрические уравнения астроиды.
В тех случаях, когда уравнения кривой даны в параметри
ческой форме |
|
х = <р(/), г/ = ф(/), |
|
производная функции y = f(x) по независимой |
пере |
менной х находится по формуле: |
|
dy |
|
_ jLL |
(39) |
I W ~ (t) ~~ dx • |
|
dt |
|
Например, .для циклоиды (36) имеем |
|
<р'(/) =а(1 — cos/), i|?(/)=asin/ |
|
и, следовательно,
f'W
