Файл: Митропольский А.К. Лекции по дифференциальному исчислению.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 87
Скачиваний: 0
38 |
Дифференцирование функций |
[гл. III |
||||
что после сокращений дает: |
|
|
|
|||
|
|
dy _ |
1 |
|
|
|
|
|
dx |
1 |
— х- |
|
|
2. Продифференцировать функцию |
|
|
||||
|
|
у - In (х+/Т+^). |
|
|||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
dy = |
1 |
• |
Л 4- |
х |
= |
1 |
dX |
Х _|_/1 4- |
-Т" /14-Л2/ |
/Т+х2 ’ |
|||
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ |
||||||
Найдем производную показательной |
функции |
|||||
У = аи,
где основание а есть некоторое положительное число, а пока затель и — некоторая дифференцируемая функция незави симой переменной х:
u = f(x).
Логарифмируя (*), имеем
In у — и In а.
Применяя затем формулу производной сложной функции, ходим
1 |
dy |
, |
du |
—= In |
а—г, |
||
у |
dx |
|
dx |
откуда |
|
|
|
d (au) |
,,, |
du |
|
-4-4 = au In a-j—. |
|||
dx |
|
|
dx |
В частности, если |
а = е, |
|
|
то |
|
||
|
|
|
|
d(eu) = е„ du_ |
|||
|
dx |
|
dx |
Наконец, если в (9) положим
на
(8)
(9)
и = х.
то получим
d(ex) |
(Ю) |
dx
Дифференцирование показательной функции |
39 |
Таким образом, производная показательной функции |
|
У = ех |
(**) |
равна самой этой функции. |
функ |
Функция (**) (или у = Сех) является единственной |
|
цией, не изменяющейся при дифференцировании. |
|
Зная формулу производной показательной функции, мож но показать, что формула производной степенной функции имеет место и для иррационального показателя.
Так как
ц _ glnu ,
ТО |
|
, п du |
,du |
<7 (u").: |
d(e”lnu) |
||
dx |
= —4,------ = еп m “ — -5— = |
пип-у -у—. |
|
dx |
и dx |
dx |
|
Выведем теперь формулу производной |
сложной показа |
||
тельной функции |
|
|
|
где и и v — функции независимой переменной х. Логарифмируя данную функцию, получим
In у — v In и.
Дифференцируя левую и правую части этого равенства по х,
находим
у dx |
dx |
' |
и |
dx ’ |
|
|
или, умножая на у и переставляя слагаемые, имеем |
|
|
||||
d(u°) |
,, .du |
1 |
. |
dv |
(Il) |
|
—— vuv~l -y |
k Uv In U J- . |
|||||
dx |
dx |
1 |
|
dx |
■ |
' |
Таким образом, чтобы получить производную сложной пока
зательной функции, надо сначала дифференцировать ее, пред полагая показатель постоянным, потом надо дифференциро вать, предполагая основание постоянным, и, наконец, оба эти результата сложить.
Формула
d (ех) |
|
показывает, что скорость изменения показательной |
функции |
в любой точке пропорциональна значению функции |
в этой |
40 |
Дифференцирование функций |
[гл. Ill |
точке: |
чем большего значения функция уже |
достигла, тем |
быстрее в этот момент она растет, т. е. показательная кривая
У = ех
(черт. 11) имеет в точке х = 0 наклон, равный 1, в точке
Черт. 11
х— 1 — наклон, равный е = 2,718 . . ., в точке я = 2, — на клон е2 — 7,389 . . ., и так далее.
Примеры. L Продифференцировать функцию
§ 4] Дифференцирование тригонометрических функций 41
Имеем
dy __ (ехе~х) (ех+ е~х) — (ех— е~х} (ех — е~х}
d^~ |
|
(ех _|_ е~Х)2 |
= |
__ |
+ |
+2exe~-r~e~2jf |
4 |
|
(е*-|-е-х)2 |
(е*-|-е~л)2 |
|
2. Найти наклон касательной к цепной линии |
|||
а \ |
a t |
|
|
у = — \е |
+е |
|
|
в любой точке (черт. 12). |
|
||
Цепной линией называет |
|
||
ся кривая |
провисания |
|
|
гибкой однородной |
тя |
|
|
желой нити, подвешенной на концах. Имеем
§ 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
При выводе производной функции y = sinx
(черт. 13) применим общий способ дифференцирования функ ций.
Давая независимой переменной х приращение Дх, полу чим наращенное значение функции
у -ф \у = sin (х + Дх).
Вычитая из наращенного значения функции ее прежнее значение, найдем приращение функции
Дг/ — sin (х -f- Дх) — sin х.
42 Дифференцирование функций [гл. III
Замечая) что разность синусов двух углов равна удвоен
ному произведению косинуса полусуммы этих углов на синус их полуразности, приведем Аг/ к виду:
. |
х-\-йх-\-х.х4-йх — х |
о |
COS |
. |
Дх\ . Дх |
. |
||
Ау = 2 COS--- |
-~2—1 |
Sin--- |
—2------- |
= 2 |
X 4- |
sin |
||
Возьмем отношение приращения функции к приращению независимой переменной:
2cos P+-2J sin —
Ду
Дх
Y
Разделив числитель и знаменатель правой части на 2, при ведем это отношение к виду:
|
Ду |
|
, |
, |
. |
|
sin |
: |
, |
|
|
cos |
/ |
д®\ |
|
|
|
||||
|
Дх |
\ |
ж 4- |
-о- |
—л— |
|
||||
|
|
1 |
2 |
/ |
Д® |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Переходим к пределу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
.. |
Ду .. |
|
|
/ , |
|
|
|
|
. |
Дх |
|
|
Дх\,. sin-2~ |
||||||||
lim~p = hmcos |
ж + -7>- hm - . |
|||||||||
Дх—Дх—0 |
|
\ |
|
2 /Дх—о |
_ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
При Ах->0 первый множитель |
правой |
части равенства |
||||||||
стремится к cos х. В самом деле, |
в |
силу непрерывности функ |
||||||||
ции cos х, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim cos |
жф -=- |
= cos |
|
|
|
|
|
= соэж; |
||
Дх—о \ |
2 / |
