Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 292
Скачиваний: 0
§ 3] |
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ |
453 |
||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
м ехР І 2 |
2^(00, Wi, |
I) |
|
|
|
|
/=0 |
|
|
|
|
||
|
П—1 |
|
|
|
|
|
: |
ехР I г" ^ г і |
Ф /7.(I) |
( J |
Ф Г ' (ЮSo (s, І) rfs + |
||
|
1=0 |
|
о |
|
|
|
|
+.1 |
|
|
X |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
X М ехр |
П—1 |
ѳ0+ |
{ |
Ф ГЧ ю м *. |
І)й Г і(5) |
|
1=0 |
||||||
|
|
|
|
|
||
Применяя к правой части (11.52) замечание к теореме 11.2,
находим, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М ехр |
і ^ |
zßtj |
t\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
l=o |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— exp |
/=0 |
|
£)— i |
2 |
zkziVki(t,i) |
(11.53) |
||||||
|
|
|
|
|
ft, /=0 |
|
|
|
|
|
|||
где II Yft/ (^> I) II — некоторая |
неотрицательно |
определенная |
сим |
||||||||||
метрическая |
матрица. |
|
|
|
|
zn из |
(11.53) следует, что |
||||||
В силу произвольности г0, z h |
|
|
|||||||||||
условное |
распределение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Р (Ѳ<0 ^ |
ßo, .. •, |
0<п< а „ | |
3~\) |
|
|
|
|||||
является |
для |
любых t0 < tx< ... |
< t n^ . t |
|
и п = 1 , 2 , |
... |
гаус |
||||||
совским. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема доказана. |
0 |
s ^ |
tQ< ... |
< tn^ t . |
|
|
|||||||
З а м е ч а н и е . |
Пусть |
|
|
||||||||||
Тогда |
условное |
распределение |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Р (ѳіо< а 0........ e,n < |
a „ i ^ |
s’5) |
|
|
|
||||||
также является (Р-п. н.) |
гауссовским, |
что |
вытекает |
из гауссо- |
|||||||||
вости распределений Р(Ѳ5^ а , Ѳ/о^ а о ^ |
. . . |
a tn ^ |
a n \ |
|
|||||||||
454 |
УСЛОВНО-ГАУССОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ |
[ГЛ. 11 |
4. Для нужд задач фильтрации, интерполяции и экстрапо ляции условно-гауссовских процессов особый интерес предста
вляют параметры т < = |
М ( Ѳ і І @ ~t) |
и Y / = М [ ( Ѳ , — m lf \ & r \\ услов |
ного распределения |
(а) — Р (Ѳ, |
а\ &~\). Их можно было бы |
найти, отыскав явный вид входящих в (11.53) элементов бt (t, £)
иуk{(t, I).
Вследующей главе будет показано, однако, что для оты скания параметров т„ у, (а также других характеристик условно-гауссовских процессов) проще поступить иначе, вос пользовавшись общими уравнениями фильтрации, интерполяции
иэкстраполяции, выведенными в восьмой главе.
Г Л А В А 12
ОПТИМАЛЬНАЯ НЕЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ, ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ КОМПОНЕНТ УСЛОВНО-ГАУССОВСКИХ ПРОЦЕССОВ
§1. Уравнения оптимальной фильтрации
1.Пусть (Ѳ, £) = (Ѳ,, g1), 0 ^ . t ^ T , — непрерывный случайный процесс диффузионного типа с
dQt = [а0 (t, g) + a, (t, |) Ѳ,] dt + bx(t, g) dWx(0 + b2 (t, g) dW2(t),
|
( 12. 1) |
dlt = [A0(t, g) + A, (t, g) et]dt + В (t, I) dW2(t). |
(12.2) |
Будем предполагать выполненными условия (11.4) — (11.11), сформулированные в предыдущей главе. Тогда, если условное
распределение |
|
(а) = |
Р (Ѳ0 |
ö| g0) |
является (Р-п. н.) |
гауссов |
||||
ским, |
N (т0, у0), |
то |
в |
соответствии |
с теоремой |
11.1 |
условное |
|||
распределение |
|
(а) = |
Р (Ѳг ^ |
а\ |
также будет гауссовским, |
|||||
N{mt,yt)- Поэтому, если МѲ< < оо, |
|
то один из пара |
||||||||
метров |
этого |
распределения — апостериорное |
среднее nit — |
|||||||
= М(Ѳ(I ^*!) — будет |
|
оптимальной |
(в |
среднеквадратическом |
||||||
смысле) оценкой |
|
по |o = fe, |
Знание второго^параметра |
|||||||
этого распределения |
— у, = |
М([Ѳ,— mtf |
\&~\) — дает |
возмож |
||||||
ность находить |
величину ошибки фильтрации |
|
|
|||||||
|
|
|
Д ,= |
М (Ѳ ,-т ,)2 |
(=М у,). |
|
(12.3) |
|||
В приводимой ниже теореме 12.1 находятся уравнения, ко торым удовлетворяют mt и yt. В силу условной гауссовости процесса (Ѳ, g) эти уравнения оказываются замкнутыми.
Важно подчеркнуть, что теорема 12.1 содержит как частный случай уравнения фильтрации, выведенные в случае схемы Калмана — Бьюси в десятой главе. При этом, если в схеме Калмана — Бьюси процесс (Ѳ, g) был гауссовским и, как след ствие этого, оптимальная фильтрация оказалась линейной, то
§ и УРАВНЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ 457
Для того чтобы воспользоваться результатом этой теоремы, надо найти условия, при которых выполнены предположения (8.6) — (8.8), входящие в ее формулировку (остальные предпо ложения выполнены в силу (11.4) — (11.11)). В рассматриваемом
нами случае эти условия (8.6) — (8.8) сводятся |
к следующим: |
|||||
|
sup |
МѲ? < оо, |
|
|
(12.12) |
|
|
о<г <г |
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
J |
M[ß0(s> ?) + |
fli(s, i)0 s]2ä?s< |
оо, |
|
(12.13) |
|
о |
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
J М {20s [flo (s, |
l) + щ (s, |) Ѳ,] + |
[b] (s, l) + bl (s, |
£)] )2 äs < |
oo, |
||
° |
|
|
|
|
|
(12.14) |
T |
|
|
|
|
|
|
J М{Л0(з, g) + |
Л, |
(s, |)e,}2rfS < oo . |
(12.15) |
|||
0 |
|
|
|
|
|
|
Для выполнения этих условий, а также |
чтобы иметь воз |
|||||
можность утверждать, что X = (xt, 5F,) и X = |
(xt, STt), |
|
||||
являются квадратично интегрируемыми мартингалами, потре-
буем выполнения следующих условий: |
|
||
для всех X е |
Сг, |
|
|
т |
\a l ( t , x ) \ ^ L , |
I Л, (*, *) К L; |
(12.16) |
+ |
+ |
|
|
J |
(12.17) |
||
о |
|
|
|
|
МѲо < |
оо. |
(12.18) |
Для доказательства достаточности этих условий установим предварительно справедливость следующей леммы.
Л е м м а 12.1. В предположениях (12.16) — (12.18)
М[ sup Ѳ/]<оо. |
(12.19) |
О<f <г |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Положим
Tjv = inf {^: sup6s^iv},
