Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 294

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

444

УСЛОВНО-ГАУССОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

[ГЛ. 11

4. Л е м м а

11.4. Пусть

pg и pg — меры, отвечающие

про­

цессам і

и I

определяемым

из (11.21) и (11.22). Тогда pig — pg

и плотности

 

 

 

ф. © = £ ■ ( '• І>-

задаются формулами

Ф/ (І) = exp

Г

(s>I) +

^4|( s , I) nts (I)

__

 

J

 

B>(s, I)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

_ _ I

f

[ ^ 0 ( s , j ) + 4 , ( s , I ) m s ( I ) ) 2 d z

 

 

2

J

B 2 (s, І)

 

(l) = exP

 

Г ЛО», g) + - 4 i ( s , j ) ms ( I )

, £

I

 

J

 

В2 (s, l)

d l s

 

 

 

 

 

)«,({■)]« .

 

 

 

[40(S, £) + Л,(а, £

+

 

 

 

 

B 2 (s,

g)

 

(11.30)

(11.31)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Из (11.27)

находим

 

 

dh = [A0(t, l) +

A,{t, l)m t (l)]dt +

В (t, l)dWt.

 

(11.32)

Пусть I — (lt, STi), 0

^ Т,—случайный процесс

c

диффе­

ренциалом

 

 

 

 

 

 

 

d l =

B ( t,l)d W t,

| о =

| о .

 

( 1 1 . 3 3 )

В силу предположений

(11.7), (11.8) и теоремы 4.6

уравнение

(11.33)

имеет единственное сильное

решение. Поэтому меры

Pg и pg

совпадают (ср.

(11.33)

и (11.22)).

 

 

меры pg

Абсолютная непрерывность

меры pg относительно

(а значит, и относительно pg) следует из теоремы 7.20. Пока­

жем, что верно и обратное,

pg <С рі-

 

По лемме 11.2

 

 

Рі (Г) = Рі (Г) = М [хе é г)Ф/ (а, ß, £)] =

 

= м[х{| S Г}М (ф, (а, ß, I) 1р \ ) \

= J М[ф, (а, ß, |) | $ ~ } ] і = *

dpg (*).

 

г

 

Поэтому pg -С pg. Формулы

(11.30) и (11.31) следуют

из тео­

ремы 7.20 и леммы 6.8.

 

 

§ 2]

 

 

 

 

 

 

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ

 

 

445

5.

Обозначим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р* (а. ß- І) = Ф, (а, ß,

|)/ф< (I),

 

 

 

и пусть

для

 

каждого

 

что

 

pt ( a , b , x )

обозначает

такой

(измеримый)

 

функционал,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р/(«» ß. і) =

Р/(а, ß, |)| = I

(Р-п.н.).

 

 

 

Тогда, учитывая совпадение мер щ и щ,

из лемм

4.10,

11.2

и 11.4 выводим, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р/ ( а

>ß> £) =

exp

 

-ß(s,’i)

[Q »

(“

.ß> I )

- ms(£ )]dWs-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

o'JJг

4? (s, I)

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

-

2

'д» (sT l)

[Q* («. ß>

I) -

tè)]2 ds * .

(11.34)

Л ем м а

11.5. Пусть ft (Ѳ0, W i , £) —

w" 5-изм ер и м ы й ф у н к ­

ц и о н а л

с М|/>(Ѳ0, W I, £) I <

oo . Тогда

имеет место

с л е д у ю щ а я

ф о р м у л а

(Байеса):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M [ f t

( Ѳ 0 ,

Wi, |

)

| ^

]

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

J

J ft (а,

С, I) рt (а,

с, |) d p w (с) dF*M (а),

(11.35)

 

 

 

 

 

 

 

— ООСf

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

Р\г(’) — в и н ер о в ск а я

м е р а

в

 

и зм е р и м о м пространстве

(Сг,

Ят)

н е п р ер ы вн ы х ф у н к ц и й

Cr =

{cs, O ^ s ^ T } ,

a F% (а) =

= Р{Ѳ0< а | у .

 

 

есть не что иное, как формула Байеса

Формула

 

(11.35)

(7.178), доказанная в теореме 7.23*).

 

 

 

 

 

С л е д с т в и е .

Пусть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ , ( Ѳ 0. Wu i ) =

e x p \i 2 0Ѳ 0 +

S z y l F j ( / / )

 

 

 

где

0

 

^

 

 

 

 

 

 

Тогда

условная

характеристическая

функция

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М (ехр ( і

[ 20Ѳ0+

/=і

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= J

j

ехр

г

 

z0a +

Д] zyc^

Pt (а, с,

|) dpw (с) dF. (а),

(11.36)

—оо

Cj'

 

'

 

 

 

 

/~І

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

ct

— значения

непрерывной

функции

с = (cs,

0 ^

s ^

Т)

в точках tj.

) См. также замечания і и 2 к этой теореме.

446

УСЛОВНО-ГАУССОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

[ГЛ. 11

§3. Доказательство теоремы об условной гауссовости

1.Докажем предварительно следующее предложение, явля­ ющееся ключевым при доказательстве теоремы 11.1.

 

Т е о р е м а

11.2. Пусть

вы п о лн е н ы

 

у с л о в и я (11.5) — (11.11)

и

с вероятностью 1

у с л о в н о е р а с п р е д е л е н и е

 

 

 

 

 

 

 

Рь (а) = Р(Ѳ0< а | Іо)

 

 

 

являет ся

га у с с о в с к и м , с парам ет рам и

 

 

 

 

 

 

пг0 = М(ѲоІ|о). Yo= М [(Ѳ0 — m0)2i y ,

0 < у 0< о о

(Р-п. н.).

 

Т о гда

у с л о в н о е

р а с п р е д е л е н и е

 

 

 

 

 

G a {а, с и

... ,

сп) =

Р {б0 <

а, IF, ft) <

с„ ... ,

IF, {tn) <

ся \ Т \ )

 

Іо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

являет ся

га у с с о в с к и м д л я

л ю б ы х t, 0 ^

t x ^

^

tn ^

/, и п =

=

1, 2, . . .

 

этой

теоремы

существенно

опирается

 

Доказательство

на представление (11.36) для условной характеристической функции.

Из (11.36) ясно, что для доказательства теоремы доста­ точно было бы показать, что для почти всех © мера pt (а, с, £) d p w {c) d F ^ ( a ) является гауссовской. Однако непосредственная

проверка этого факта затруднительна.

Применяемый далее метод доказательства основан на том, что Pt (а, с, I) аппроксимируются подходящим образом подо­

бранными

функционалами р(Л (а, с, £), для которых

ln J

lim

J

exp Ii

z üa + ^

z /c(

pW(a, c, Q d p w {c)d F h (a)

—oo

N Cj-

( L

/=1

^

 

оказывается (Р-п. н.) квадратичной формой относительно z 0, ..., z n. 2. Осуществление намеченной программы начнем с преоб­

разования ІпрДа, ß, 1) к более удобному виду.

Учитывая обозначения (11.14), (11.15), (11.18), положим

 

Ai (t, j)

 

г

t

 

 

 

gi f t І)

Ф/ (І)

j

Ф5 1(£)äo(s,

Qds +

 

В (t, l)

 

 

 

+

 

 

 

m ,(Ö}.

(11.37)

 

 

g2 ft

I) !

AAt' ^ ф г 1® ,

(11.38)

 

 

 

 

 

B(t, l)

 

 

 

 

gs.(t,

D =

-1

I).

(11.39)

 

 

®r‘(Ö ^ ft

§3]

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ

 

44?

Тогда из (11.17) находим, что

 

 

 

 

 

4x §-[Q<(0O) W lt

l ) - r n t m

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

=

gi (t, І) +

e0g2 (t, i) +

(t, I) J g 3 (s, I) d w x(s).

 

 

 

 

 

0

 

 

В силу (11.34) это позволяет 1пр,(Ѳ0, Wh g) записать в сле­

дующем виде:

 

 

 

 

 

 

 

1пр,(Ѳ0, U7„g)=

jg,(s,|H-ft(s»E) Ѳо+ g3(u,l)dWl(u)

dWs-

g i(s , S) +

g2(s. E) 00+

J

£з(и>E) dWi {и)

ds.

(11.40)

 

 

 

о

 

 

 

 

По формуле (11.28)

 

 

 

 

 

 

dWt = dW2(t) +

4

^

- [Ѳ, -

mt (i)] dt,

 

 

где винеровский процесс W2 не зависит от винеровского про­ цесса Wx. Используя это обстоятельство, легко с помощью фор­ мулы Ито установить, что

в з ( “ .

äWiЕ) (и)

X J g3 (s, £) dW, (s) -

J g 3(s, 1) J g2(и, DdWu) dW, (s) (11.41)

0

 

Аналогично,

 

X J £ з (« , E)

(s) ~ J £ 3 (5,

5

(11.42)

J gg(u, g) du dWx(s).

0

0

0

 

Смотрите также файлы