§ и УРАВНЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ 463
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
В силу (12.29) и (12.30) mt и у, удо |
влетворяют уравнениям |
|
|
d m t = y |
^ y ’^ |
{äh — (A0(t, D + A ^ t, l ) m t)dt], |
(12.36) |
Yr |
ѵД (<• I) \2 |
(12.37) |
B(t, |
l) |
решения которых, как нетрудно проверить, задаются форму лами (12.34), (12.35).
В рассматриваемом случае формулы (12.34) и (12.35) можно было бы получить непосредственно из формулы Байеса (11.35),
не обращаясь к общим |
уравнениям фильтрации |
для условно |
гауссовских |
случайных |
процессов *). |
|
Действительно, |
если |
у0 > |
0, т0 |
в силу (11.35) |
|
Р (е < а |9 г 5 )= М {х 1в<„| |*Н ) = |
|
|
|
|
_і Г 2яу |
I |
|
|
|
А\ (s, І) |
'dW, |
|
2уо |
|
0 |
В (s, 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Г ГА, (s, 1) |
|
|
|
|
|
|
|
+2 |
JJ |
L в (S, ё) |
ds I da. |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Отсюда |
следует, |
что |
условное |
|
распределение |
Р ( Ѳ ^ а |5 г |) |
обладает |
плотностью |
|
|
|
|
|
dP (ѳ< а I ѵ \ ) |
V 2яу0 ехр |
(« - Щ) |
|
|
da |
|
|
2у0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
Д |
I ^ |
W |
{a~ m A m d t s |
|
Ai (s>I) (а — ms (%)) ds |
|
В (s, l) |
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(12.38) |
С |
другой |
стороны, |
условное |
распределение |
Р ( Ѳ * ^ а |^ |) |
является |
гауссовским: |
|
|
|
|
|
|
|
dP (Ѳ< |
а I Г)) |
|
|
|
(a~m tf |
\ |
|
|
|
da |
|
у |
|
exp |
(12.39) |
|
|
|
|
2яу( |
2yt |
I ‘ |
*) При этом выводе уравнений для т{ и можно отказаться от пред положений (12.15) и (12.16).
464 |
|
ФИЛЬТРАЦИЯ УСЛОВНО-ГАУССОВСКИХ ПРОЦЕССОВ |
|
[ГЛ. 12 |
Приравнивая |
|
в (12.38) |
и (12.39) члены при а и а2*,1 получаем |
|
|
|
|
|
і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2ѴГ |
_± Г( Д ( s, ё) \2 |
|
(Р-п. н.), |
|
(12.40) |
|
|
|
о |
В (s, I) |
) ds ■ |
|
|
|
|
|
|
|
Iі |
|
|
|
|
|
|
|
т, |
< А, (s, І) |
|
|
2 J |
V |
s- l)tns (l)\2 |
öfs : |
(Р-п. и.). |
(12.41) |
- 2 - 4 - , |
В (s. І) |
dWs + |
|
|
в (s, і) |
Y0 ^ |
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из (12.40) непосредственно следует формула (12.35). Если же |
теперь учесть, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
JW7 |
_ |
dls —Ио (s, I) + Aj (s, l) ms (Hl ds |
|
|
|
|
äWt-------------------- в Ш ) |
|
- |
|
|
то из (12.41) получаем требуемое представление (12.34). |
(12.35) |
Если |
Р(уо = |
|
0 ) > 0 , |
то для |
вывода |
формул (12.34), |
следует |
вместо |
|
распределения |
Р ( Ѳ ^ а ||0) |
рассмотреть гаус |
совское |
распределение |
РЕ( Ѳ ^ а |£ 0) с |
параметрами |
т\ — тй, |
Yo= Yo + |
8> 8 > |
|
0. |
Тогда |
соответствующие |
величины |
|
nft и у| |
будут |
задаваться |
формулами |
(12.34), |
(12.35) с заменой у0 на |
Yo==Yo + e> в которых затем |
надо сделать предельный |
переход |
при е I 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ |
2. Единственность решений уравнений фильтрации. |
|
|
Совпадение а-алгебр £Г\ |
и & ~ f ' w |
|
|
1. Для условно-гауссовского процесса (Ѳ, | ) апостериорные |
моменты |
mt — М (Ѳ, | Ѳ~\) |
и |
yt = М [(Ѳ, — mtf | SF\\ удовлетво |
ряют, |
согласно теореме |
12.1, |
уравнениям (12.29), (12.30). Сле |
довательно, эта система уравнений имеет ^-согласованное
решение = O ^ t ^ T ) . В этом параграфе будет пока зано, что непрерывное решение этой системы единственно. Таким образом, решая эту систему уравнений, мы действи
тельно |
будем |
получать |
моменты mt и yt условного распреде |
ления |
Qt. |
12.3. Пусть выполнены условия теоремы 12.1. |
Т е о р е м а |
Тогда |
система уравнений |
dx (t) = |
[aQ(t, l) 4- öi (t, l) X {t)\ dt + |
b2(t, |
i ) + y(t)Al (t, D |
4- |
|
B2 (t, |
(Л) (t> І) + Ai (t> ЮX (/)) dt], |
У (t) = 2at (t, g) у it) -f Ь\ 0f, |
(12.42) |
l) + Ы(t, l) - |
|
b2 (t, D в (t, D + IJ^AHU D Y |
(12.43) |
|
В И D |
|
|
§ 21 |
|
ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ |
465 |
решаемых |
с |
начальными |
условиями х(0) = |
т0, у( 0) = уо |
( | т 0| < ° ° , |
О ^Ѵ о < °°). |
имеет |
единственное |
непрерывное, |
^-измеримое |
при каждом t решение, |
0 ^ t <1 Т. |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть |
у At) |
и y2(t), |
— два |
неотрицательных непрерывных решения уравнения (12.43). Тогда
I<У2\(0 t— У2 (0 I < |
|
|
s ) |) i ^ ( s) - ^ ( s ) I ds + |
J О 0- ^ |
|
|
Г |
A](s, !) |
|
|
|
|
|
(12.44) |
+ |
ß2 (S| I) [у1(s) + У2 (s)] IУi (s) — у2 (s) I ds. |
Обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
|
M s , | ) |
|
\ |
лг (s, £) |
|
rAs, Ю= Д і fli (s, l) | + |
A, (s, l) ) + |
[yx(s)+y2(s)]. |
Тогда неравенство (12.44) перепишется |
в следующем |
виде: |
|
|
t |
|
|
|
|
|
I Уі (t) — У2 (t) К |
J ГI (s, |
l) I y x(s) — y2 (s) I ds. |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Поэтому в силу леммы 4.13 |
|
|
|
|
|
|
P{yAt) = |
yi(t)} = |
\, |
0 |
|
|
|
и в силу непрерывности |
решений |
у At), |
У2Ц) |
|
|
|
Р{ sup |
I Уі (t) — y2(t) l = |
0> = |
1, |
|
|
0<f<T |
|
|
|
|
|
|
что и доказывает единственность непрерывного решения урав нения (12.43).
|
Пусть теперь |
xx(t) и x2(t) — два |
непрерывных решения урав |
|
нения |
(12.42). |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
x x(t) — x2 (t) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
M 5>l) |
|
л , |
, |
УA) Ai A, l) |
|
|
|
J |
a, (s, l) |
-f |
|
[xx(s) — x2(s)] ds |
|
B(s, !) |
■Ai(s, I) +1 |
В'г (s, ! ) |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и, следовательно, |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I * 1 (t) — |
x2 (t) К |
|
J r2 (s, |
I) IX, (s) — x2 (s) I ds, |
(12.45) |
|
где |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M s>l) |
|
У A) A\{s, |
l) |
|
r2(s, i ) = l |
aAs, £)l + |
Ai (s, l) + |
|
В (s, !) |
B2(s, l) |
|
466 |
ФИЛЬТРАЦИЯ УСЛОВНО-ГАУССОВСКИХ ПРОЦЕССОВ |
[ГЛ 12 |
Поэтому, снова применяя к (12.45) лемму 4.13, находим, что Xi(t) = x2{t) (Р-п. н.) для каждого/, 0 < / < 7 \ Отсюда полу чаем:
Р{ |
sup \ х х{і) — x2(t) 1= 0} = |
1. |
|
|
0<*<Г |
|
|
З а м е ч а н и е . |
Согласно доказанному у(, |
0 |
^ Т, является |
единственным непрерывным решением уравнения (12.43). Пока
жем, что если Р (Ѵо > 0) = 1, то и Р {inf Yf > 0} = 1.
t < т
Действительно, в силу непрерывности yt > 0 для достаточно малых t > 0. Положим T = i n f ( /^ f : yt — 0), считая т = оо, если inf yt > 0- Тогда при К т Д Г определены величины
6f = Yr’> удовлетворяющие уравнению
öt = - 2â, (t, I) bt + ( 4 д т г ) 2*- |
{t’ |
б0 = То“ 1. (12.46) |
где |
|
|
йі (/, х) = а, (/, х) — д |
XJ} |
Ах(t, x). |
|
На |
множестве {ю: т <1 Г} lim 6,— °o (Р-п. н.). Однако согласно |
|
(12.46) |
|
|
|
t + т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
w |
t |
|
|
|
|
|
öt = |
exp j — 2 J S, (s, |
g) ds } I 60 + |
J exp |
a, («, I) du |
(s,|)' |
|
|
( |
о |
|
|
31 |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g)) ds 1< |
exp J2 J I 5, (s, g) | ds | |
|
T |
A\ (s, g) |
|
— öjtf (S, |
60 + |
J |
|
|
І) ds < OO. |
|
|
|
J |
|
I |
0 |
J |
L |
0 |
|
|
|
Значит, Р { т ^ Т } = |
0. |
Иначе говоря, |
|
|
|
|
|
|
|
inf |
yt = (sup ö,)- 1> 0 |
(P-п. H.). |
|
|
|
|
|
t < T |
|
|
t < T |
|
|
|
|
|
2. При выводе уравнений фильтрации для процесса (Ѳ, g) предполагалось, что этот процесс является решением системы уравнений (12.1), (12.2) с некоторыми винеровскими процес
сами Wx и W2. Однако |
не предполагалось, что процесс (Ѳ, g) — |
— (Ѳ,, g,), |
являлся |
сильным |
решением (т. е. |
t r f ' w" ^-измеримым |
для каждого /) этой |
системы. |
Нетрудно привести условия, |
при которых эта система имеет, |
ипритом единственное, непрерывное сильное решение.
Те о р е м а 12.4. Пусть g(t, х) обозначает любой из неупре
ждающих функционалов at {t, х), |
ЛД/, х), bj{t, |
х), B(t, х), |
і — 0, 1, / = 1, 2, 0 ^ /s S ^ r, х е С г. |
Предположим, |
что |
