Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 288

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

458

ФИЛЬТРАЦИЯ УСЛОВНО-ГАУССОВСКИХ ПРОЦЕССОВ

[ГЛ. 12

считая

Тд[ =

Т,

если sup 0S <

N.

Гёльдера

 

s< r

 

 

 

 

 

 

 

t Л

т до

 

Л

Тд, =

Ѳ0+ J

a0(s, Q d s +

J

 

2

1Л Тд/

0

 

0

 

 

 

 

+

2

j

bi {s,l)dW i {s)

 

 

1=1

о

 

 

 

Тогда

в

силу

неравенства

 

^ Л

 

 

 

 

a, (s,

|) О* ds +

 

 

 

/* A x N

\

4

Ѳо +

^ J

a0(s>

+

 

( t / \ X N

 

H

 

2 / * A X N

 

 

 

\4 -

 

+

(

J

«1 (s, i) Ѳ, dsJ

+

V] [

j

bt (s, g) dWi (s)J

<

 

 

 

 

t A x N

 

 

 

 

t л х N

 

 

125

o +

(t A rNf

J

at (s,

l) ds +

{t A xNf

J

a\ (s, g) 0« ds +

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

/ { A xN

 

 

 

\

4-

 

 

 

 

 

 

+

S

I

bt (s, DdWds))

.

(1 2 .20)

 

 

 

 

 

 

i=l Vo

 

 

 

j

-

 

Согласно

лемме 4.12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ t A X N

 

 

\

4

T

 

 

 

 

 

M l

J

 

bi(s, l)dWi(s)

< 3 6 Г j

M r f ( s , g)ds,

/ =

1,2.

\

0

 

 

 

/

 

0

 

 

 

 

 

 

Поэтому,

поскольку

0S =

0S д Тд, для

S < ( A

Тдг,

 

 

МѲ4Л % <

125 МѲо + Г3 J Мао (s, g) ds +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О

 

 

 

 

2

Г

 

 

 

 

 

+

 

t

 

 

 

 

 

I) ds

 

 

 

r 3L4 J

M0s л X N ds +

36Г 2

J М6І (s,

г. e.

 

 

М0?лтл < С !

+ 2СJ

 

 

i=l 0

 

12.21( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

\ ^ Nds,

 

 

где C),

C2 — некоторые константы. Значит, no

лемме 4.13

M0tAT „ < C ,e Clt< C i e c*r

и по лемме Фату

lim М0?Л % < С 1еСгГ.

ІѴ-»оо

§ 1]

 

 

 

 

УРАВНЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

459

Итак,

 

 

 

 

 

 

sup

МѲ4 <

оо.

 

( 12.22)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<г

 

 

 

 

 

Покажем теперь, что и

М [ sup

0?J < оо. Из (12.20)

с за-

меной

t А Тдг на t

получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

т

 

 

sup

O j^

125 Q o + T ^

al (s, g) ds +

f L AJ Bids +

 

0<*<Г

 

 

 

 

 

о

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ У

sup

f bt (s, QdWiis)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( X T t X I T

j

 

 

Согласно

неравенству

(3.8) и лемме

4.12

 

 

 

М

sup

 

 

bt (s, \)dW t (s)

 

4_\4

T I Mö!(s, $ ds, / = 1 , 2 .

 

 

<(4-Г*36

0<і<Г

 

 

 

 

 

 

3,

 

 

 

 

Поэтому

в силу (12.22)

и предположений

(12.16) — (12.18)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

М|

sup

 

Ѳ?]<125

МѲо +

Г3| Mßo (s, l)ds +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

‘

 

 

 

 

 

 

+

74L4

sup

МѲ4 +

(4У -36 Г У

|

Mè4(s, l)ds

•< oo.

 

 

 

 

о

 

 

 

\ d >

T* J

 

 

 

Лемма

доказана.

 

 

 

1=1о

 

 

 

 

 

(12.16) — (12.18)

вытекают условия

 

Итак,

 

из предположений

(12.12). Очевидным образом проверяется, что.эти предположе­

ния

гарантируют

справедливость неравенств

(12.13) — (12.15).

Из

явного вида

процессов х, и xt и предположений

(12.16) —

(12.18) легко выводится, что X — (xt, @~t) и X =

(xt, &~t),

 

являются квадратично интегрируемыми мартингалами. Таким образом, условия теоремы 8.1 в рассматриваемом нами случае

выполнены.

t

Учитывая, что (х, W2) = j b2(s,Qds, из (8.9) находим

і

m, = m0 + j [a0 (s, I) + a, (s, J) m,ids +

+ | ( б2(5Л) + ^ Ц Щ р Ь 4 } ж , , (12.23)

о

460 ФИЛЬТРАЦИЯ УСЛОВНО-ГАУССОВСКИХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. 12

где

 

 

 

W,■__ Г dis — (А0(S, 1) +

Лі (s, I) ms) ds

 

 

 

 

 

‘

J

 

B(s.

6)

 

 

 

 

Далее,

M (Ѳ^ | &~f) — m\ — ys. Поэтому

из

(12.23)

следует,

что

dmt =

[а0 (t, l) +

а, (t, |) mt] dt +

 

 

 

 

 

 

b2(t,

l) В (i, |) + ytA,(t,

l)

■ [ d l - ( A 0(t,

І) +

А (t, l) mt)dt}.

(12.24)

+

 

 

B2(t,

l)

 

 

Обозначаем

 

теперь

bt = M (0'^ |

 

так

что &t — m] — yt.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

Тогда, учитывая равенство (x, W2)t =

J

20sö2(s, Qds,

опять-

таки из

(8.9) получаем

 

 

 

 

fl

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

■öfl +

J [2a0 (s, Юms +

2a, (s, |) 6S +

b] (s,

g) +

b\ (s, g)] ds +

 

t

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

J {2msö2 {s,

І) + В

1(s, g) [Ло (s, g) ös +

Лі (s,

g) M (0s | @~f) —

 

о

 

 

 

 

 

- ö s(A0(s, g) + л,(5, g) ms)]} dWs,

или

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bt =

ö0 +

J [ 4

(s, g) ms +

2a, (s, g) 6S +

b\ (s,

g) +

Щ(s, Щ ds +

 

 

 

0

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

g) +

 

 

 

 

 

J B~l (s,

l){2msh{s,

l)B(s,

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-b A\ (s, g ) [ M ( 0 * |^ ) - 6 sms]} dlFs.

(12.25)

Из

формулы Ито и (12.24) находим

 

 

 

 

+ b2(s, l)B(s,

l) + ysA,(s,

g )l2 ds -f-

 

 

B(sA)

 

 

(

9m

S) В (s, l) + Ys^i (s, £)

dWs, (12.26)

J

4

B(s,

l)

 

§ 11

 

УРАВНЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

461

 

 

 

что

вместе

с (12.25) дает

для

у, = д ,— пг\ следующее предста­

вление:

t

 

 

 

 

 

 

 

 

Уі =

Yo +

2а, (s, l) ys +

Щ(s,

g) -f- b\ (s, £) —

 

 

0

 

 

 

 

Поскольку

условное распределение P (0S а |

является

гауссовским,

то (см. (11.1))

 

Поэтому в (12.27) стохастический интеграл равен нулю, а сле­ довательно,

Уі = Ѵ0 +

J [2аі (s>I) Ys +

Ь\ (s, I) + b\ (s, l)

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(12.28)

Итак,

доказана

Пусть (Ѳ, £)— случайный

процесс

с диф­

Т е о р е м а

12.1.

ференциалами

(12.1),

(12.2). Тогда, если выполнены

условия

(11.4) — (11.8),

 

(12.16) — (12.18)

и

условное

распределение

Р(Ѳ0г ^ а |£ 0) является

гауссовским, N (пг0,

уй),

то Іпі и Уt удо­

влетворяют системе уравнений

 

 

 

 

 

dm, = [a0 (t, I) +

 

ö! (t,

l) m,\ dt +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[d%t — (Л0 (t,

+

 

І) mt) dt],

(12.29)

Уі ~ 2a\ У’

і )Уі +

ЩѴ,

l) +

b22(t, W -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(12.30)

решаемых

при

условиях

т 0=М (Ѳ 0|£0),

Ѵо =

М[(Ѳ0 — пг0)2 ІЫ ‘

З а м е ч а н и е

1.

Из

(12.29)

и (12.30)

следует, что

апосте"

риорные моменты mt

и у, непрерывны по t (Р-п. н.).

 

З а м е ч а н и е

2.

Пусть А {(s, х) =

0, т. е.

пусть наблюдае­

мый процесс І =

(£*)>

0< П < !Г ,

имеет дифференциал

 

dlt = A0{t, l) dt + B(t, l)dW2{t),

(12.31)

462

ФИЛЬТРАЦИЯ

УСЛОВНО-ГАУССОВСКИХ ПРОЦЕССОВ

[ГЛ. 12

а наблюдаемый

процесс Ѳ= (0<), О

Г, по-прежнему удо­

влетворяет уравнению

 

 

 

dSt =

[а0 (t, I) +

а, (t,

I) Ѳ,] dt + bx(t,

g) d W {(t) + b2 (t,

g) dW 2 (t).

Из проведенного выше доказательства (см. (12.27)) видно, что и без предположения гауссовости условного распределения Р(Ѳ0^ а Ц 0) параметры mt и yt удовлетворяют системе урав­ нений

dmt =

[aü(t, g) + a,(f, g) m t] dt +

- щ Ң у [d\t ~

A0(*. l)dt\, (12.32)

V, =

2a i( t,l ) y t +

b](t,l)-

 

’

 

(12.33)

З а м е ч а н и е

3. Пусть

me

(/, s) =

M [O, | &~\s' 5] для

и Yes (t> s) = M I (0s — m%s (t,

s))21

Тогда

(t, s) и у^(і, s)

удовлетворяют при t> s системе уравнений (12.29), (12.30),

решаемой при условиях тѳ (s,

s) — Ѳз,

уѳ

(s, s) = 0.

Доказа­

тельство аналогично

выводу уравнений

для

mt и yt и исполь­

зует тот факт, что условное

распределение Р (О, ^

а \

 

 

является гауссовским (см.

 

замечание к теореме

11.1).

Из

урав­

нения

(12.30) и условия Ѵѳ

(s>s) = 0 вытекает,

что

на

самом

деле уѳ (t, s) не зависит

от Ѳ5.

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

Остановимся

на

 

 

одном

частном случае системы

(12.1),

(12.2), для которой уравнения фильтрации (12.29) и (12.30)

допускают явное

решение.

 

 

Ѳ= Ѳ(со) — случайная

величина

Т е о р е м а

12.2.

Пусть

с МѲ4 < оо. Предположим,

 

что

наблюдаемый процеес g =

(£,),

О ^ Д ^ Г , допускает дифференциал

 

 

 

 

 

 

 

äh = [А0(/, I) +

Ai (t,

g) Q]dt + B (t,

i) dW2 (t),

 

 

 

где коэффициенты Л0, Au В

 

удовлетворяют

условиям

тео­

ремы

12.1, а условное распределение P ( 0 ^ a |g 0) является гаус­

совским. Тогда mt = М (Ѳ |

 

 

и yt — М [(Ѳ; — mty |

задаются

формулами

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т 0 +

Yo I

-ß2

 

 

Is’ I)

 

 

 

 

 

т,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(12.34)

 

 

 

1+ T" .1 ( т ч а Д

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Yг

 

 

 

 

Yo

 

 

 

 

 

 

(12.35)

 

 

 

 

Д (s,

I)

 

 

 

 

 

 

 

+ Y°J (-

ds

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в (S,

s )

 

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы