Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 290

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

44â

 

Ѵс Л о в Мо -ГАу с с о в с к и е

с л у ч а й н ы е

Пр о ц е с с ы

(гл. и

Пусть при

каждом

 

 

 

At (t,

х),

А2(t, х) и A3{t,

х)

такие ^-измеримые

функционалы,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

А, (t,

І) =

J

gi (s,

|)

dWs -

\

\

[g, (s,

I)]2ds,

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

A2 (t,

І) =

j

S2 (s,

l) d w s — J g, (s,

l) g2 (s,

I) ds,

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

t

 

 

\

1/2

 

 

 

 

 

 

 

 

A3(*,

i) =

( J

[ft(s. D f d s j .

 

 

 

 

 

 

Пусть, далее, Д4(^, x)

и Д5(/, х) — функционалы, измеримые

по паре переменных, ^

+-измеримые при каждом

 

и

такие,

что при

почти всех

0 ^

t ^

Т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д4(и

 

t

 

 

I) d w s,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I) *= j g2 (s,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

As (t,

I) = J g2 (S,

l) ds.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обозначим,

наконец,

для каждого t A6(t, х, у) и A7(t, х, у)

функционалы,

являющиеся

X ^ г ИзмеРимыми и такими,

что

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

Аб (І,

Г „ І ) =

А 4 (/,

а / g3(s,

Z)dW, ( s ) - f

g3(s, І) A 4 (s , Dd Wd s),

А7(t,

W lf y =

A5(t,

g) J g3 (S>

Qd Wt ( s ) - j

g3(s, E)A5(s, D dW A s).

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

Из

(11.40) — (11.42) и лемм

4.10,

11.2

с учетом

этих

обо­

значений находим, что для

а е

R1

 

 

 

 

 

 

 

Inpt (a,

W u I)=

Ai (t,

І)+

aA2(t,

I)-

 

A32 (/,

I)+

A6 (t,

W „

!) -

 

 

 

 

 

t

 

 

 

g3(u, I)dW X(и)

 

 

 

- a A 7( f , r „ I ) - 4 - J

 

W

ds.

(11.43)

Из

определения величин A6(;, Wu |)> А7(i, Wu |)> лемм 4.10

И 11.2

и независимости процессов

Wx и |

вытекает, что услов­

ное распределение этих величин (при заданных |) является гауссовским.

§ 3]

 

 

 

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы

 

 

449

 

Пусть 0 — toN) <

t\N>< ... <

t ^ ] — t — разбиение отрезка [0, t]

такое,

что

шах | /(Д\ — t\N) | -* О, N -> оо.

Положим ^ (s) = t{.N),

если t\N) < s

< 4+1.

Ясно,

что

 

грлг (s)

s,

N->oo, и

 

 

 

V я»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

& (и,

I) dWt (и) -* J

 

s 3 (и, I) dWt (и)

(Р-п. н.).

 

 

 

о

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

Более

того,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

sup

v*>

 

 

 

Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I J

S3 (и,

i) dW, (u)

= 0

А-»°О 0 <

s < r

 

 

 

 

 

 

Vo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(c m . (4.47) и гл.

4,

§ 2, п. 6),

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

/ V

s)

 

 

(и) U , -

 

 

 

lim f [g2(s,

Щ

f

s 3 («, I)

 

 

 

 

^

“ o

 

 

\o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

=

J

[& (s>

I)]2

 

I S3 («,

1 ) ^ 1 (и)

й?5.

(11.44)

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Образуем теперь последовательность

функций р[N) (а, Wh |),

положив

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1прР(а,

W u |) =

А,(/, І) + аА2(/, I)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

І) + Ав(/,

 

І) + аД7(/, Г ,, !)■

 

 

 

 

 

 

 

 

ДА)

 

 

РА)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A -l 1/+1

 

 

 

l{u,i)dW1{u)ds.

(11.45)

 

 

 

 

 

 

Г^2(5,

!)]2

 

 

 

 

 

2 /=ЮрА)

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

в силу (11.44) для

всех

 

a ^ R 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim ln pW (а,

Wlt |) = lnpt (a, Wlt

§).

 

(11.46)

 

 

 

 

W-» oo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Правая часть в (11.45) является неположительно определен­

ной квадратичной формой (с коэффициентами,

зависящими от

а,

І, t,

4W)

величин

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

f

 

 

 

 

 

 

Ae (t,

Wu

I), A7(t, Wu

I),

Г

g3(u, l)dWl («),/ =

1,2,..., N

I

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

15 P. Ш. Липдер, А. Н. Ширяев

450

УСЛОВНО-ГАУССОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

ІГЛ. 11

совместное распределение которых (при заданных |) является гауссовским.

Точно так же

In exp

20а + % z kWx{tk)

 

ß—1

является неположительно определенной квадратичной формой величин

Wy{tk), k = \,

п\ Д6(*. Wit I);

М *. Wlt ІУ,

 

tm

 

 

J

l) dWi (и), j = 1 , . . . , N

 

о

 

с(условным) гауссовским совместным распределением.

Сучетом этого обстоятельства вычислим

ІЦ V, а, і) = J exp i

zQa +

П

z.c

 

9 \N]{a,c,l)d\iw{c), (11.47)

2

th

 

 

k

 

CT

 

fe=i

 

 

 

 

 

 

 

 

используя следующее предложение, справедливость которого

устанавливается

прямым

подсчетом.

£т ) — гауссовский

вектор

с

Л е м м а

11.6.

Пусть

£ =

(£,,

. .. ,

М£ =

а,

М (£ ■— а) (£ — а)* =

Г,

del Г > 0. Пусть

d = dl Jr id2,

d\

(^iii

• •

• > dim), d2

(^2і,

• • •,

d2m),

dij ед R и

D

неотри­

цательно определенная симметрическая матрица порядка пгУ^пг. Тогда

М ехр Щ - £’Я£] = ( det[2Dd+ ^ ~ 1] ‘ ) W/2 X

X expj 1 [ - а Т “ ‘а + fa, +

а Т _1) (2D + Г ~ Т ’(<А + а Т “ 1)*] +

+ і \d2(2D + Г-1)

[^(2Ö -h Г_ 0 ‘ da]]}- (11.48)

Для дальнейшего анализа нам нужен не явный вид правой части (11.48), а лишь только то, что М exp {dt, — можно представить в следующем виде:

М е х р № - № } =

= eexpjt/jö + у dfldi + id2yd\ + id26 — ^ d 2yd2^, (11.49)

§ 3]

 

 

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ

 

 

451

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е — ^ dei:.

 

- 1--— j

e x p jy l —а*Г“ 'а +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ аТ~'(2£> + Г ~ Т 'г “ 'а]},

б =

{2D +

Г-1)' 'г -1 а,

 

 

 

 

 

 

 

y =

(2D +

r ~ r l.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

З а м е ч а н и е .

Если rang Г = г < т ,

то

тогда

найдутся га­

уссовский

вектор

£ = (£і,

I )

с М£ =

0,

=

Е(гхг)

и мат­

рица С(тхг) такие, что

(Р-п. н.)

 

 

 

 

 

 

В этом

случае

 

£ =

а +

ct>-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М exp {dt, -

?DQ = М exp {d (а + С~1) -

(а +

СІУ D (а +

CQ},

что с учетом (11.49) можно переписать снова в виде

 

М exp {dt, — l*DQ =

е exp jdiè +

у d\yd\ +

id2yd* + id2b — ^ d 2ydl j

с некоторыми

ë,

б, у,

явный

вид которых

может быть легко

найден. Применяя эту лемму к вычислению интеграла (11.47), находим, что

h {U а. І) =

е(ІѴ) (t, I)exp{[/z0 + А2{t, |) + öoN) (t, I) +

 

fl

ZkyoV(t, I)] а — Y [A3 (t, І) — Yoo* (C I)]4*

+

i ^

 

k=\

 

 

 

 

 

+ 1

S z kb T (t> I)

S 2<Л(*. I) .

 

 

 

ft=i

i, fc=i

где \\y($ ( t,

x) I,

N = 1, 2, . . .

симметрические неотрицательно

определенные матрицы.

 

 

 

Заметим теперь, что величины р\N){a, Wv |)

мажорируются

интегрируемыми (по мере d\iw) величинами

 

 

ехр{ А, (t, I) + аА2(/, І) -

АІ (t, |) + А6{t, Г „

£) -

аА7(t, Wu І) }.

Поэтому в силу (11.46) и теоремы Лебега о мажорируемой схо­

димости* (теорема 1.4)

существует

предел

I {t, а, І ) =

lim IN(t, а,

|) =

 

 

N-+ °о

 

 

 

=

[ exp I і

z0a + 2 zhc

Pt (fl. c>l)d\iw{c). (11.50)

 

сТ

I

fe=i

 

15’

452

 

 

 

УСЛОВНО-ГАУССОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

 

 

 

[ГЛ. 11

В

силу

 

произвольности

а,

zu

 

 

zn

величины

s(N)(t,Q,

(t,

I)

и yj^ (t,

І)

стремятся при

N -> °о к некоторым

преде­

лам

е

 

 

 

б; (/, І),

Yft/(*.!)•

При

этом

матрица

|| Yfe/

I)II

является

неотрицательно

определенной,

как предел

таких же

матриц. Ясно также, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М

ехр

t

ZqQqЧ~ ’\

j z jW 1(fy)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/=і

 

 

 

 

сю

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

J

lit,

a, l)dFu (a),

(11.51)

откуда в силу эквивалентности мер

и (х?

и гауссовости услов­

ного распределения / - \ 0(а) следует справедливость теоремы

1 1 .2 .

З а м е ч а н и е .

То

же

самое доказательство

показывает,

что Р-п.

н.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М

ехр \ і

 

 

 

 

 

•*

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(t, I) Ѳо + 2

 

zfll V’ ® J

 

V’ ® dWl ^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l=i

 

 

П

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

■ехр

і

2

2 /6/ (t,

I) — -j

2

 

Z*Z/Y« V’ l)

\ >

(11.52)

 

 

 

 

 

 

 

1

/=0

 

 

 

 

/, fc=0

 

 

 

 

 

 

 

где И-у*/ (^» È) II — неотрицательно

определенная

симметрическая

матрица.

 

 

 

 

 

 

 

 

т е о р е м ы

11.1.

Пусть

0 =

/ 0 <

3. Д о к а з а т е л ь с т в о

< t{< . . .

< t k — t ^ T

— некоторое

разбиение

отрезка

[0, Г].

Тогда с учетом (11.19) имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М (ехр j i

S

2 /Ѳ(/ j

grfj =

M (exp j i 2

ZjQt .(Ѳ0, Wu g)

 

 

t .

где

согласно

лемме

1 1 . 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Qi; (Ѳо, Wlt g) =

Фч (g)

Ѳо +

I

Ф« 1 (g) ä0 (s, g) ds +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(l

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

I

ФГ'

(І) 6, (S, I) d r ,

(s) +

I

Ф71( g ) ^ j f

db.

Смотрите также файлы