Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 284
Скачиваний: 0
§ 21 |
ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ |
467 |
1) |
для любых X, г / е С г |
|
|
t |
|
|
I g(t, x) — g {t, у) I2 < Lx J (xs — ysf dK (s) + |
L2(Xt — г/г)2; |
|
о |
|
2) |
g* (t, *) < L, J (1 + xl) dK (s) + L2(1 + X*), |
|
|
6 |
|
где К (s) — некоторая неубывающая непрерывная справа функ ция, 0 ^ K { s ) ^ l , Ly, L2— константы,
3) |
|
I üy(t, x ) \^ L y , |
I Ay (t, |
x) I< L2; |
|
|
|||||
4) |
M (0Qrt + |
lg”) < |
oo для некоторого |
целого |
n ^ |
1. |
|
||||
Тогда система уравнений {12.1), (12.2)ылгеег непрерывное силь |
|||||||||||
ное решение. Это решение единственно, |
и |
sup |
М (Ѳгп + |<") < оо. |
||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Утверждение |
о < г < г |
|
доказывается |
|||||||
теоремы |
|||||||||||
так же, как и в одномерном случае (теорема 4.9). |
|
||||||||||
3. |
Рассмотрим теперь |
вопрос |
о |
совпадении |
а-алгебр |
||||||
и SF\°‘w, |
|
где |
W = {Wi, |
£Гг)— винеровский |
процесс |
||||||
с дифференциалом (см. 11.27)) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
dWt — B~l (t, |
|
|
l) + |
Ay(t, |
l) m t)dt), r |
0 = 0. |
(12.47) |
||||
Согласно (12.29), |
(12.30) и |
(12.47) |
процессы mt, |
%t, yt, |
|||||||
образуют слабое решение системы уравнений
|
|
|
|
Ууду (t, l) |
|
||
dmt = |
[а0 {t, |
g) + |
ay (t, g) mt\ dt + |
b2(t, l) + |
в |
(t, i) |
dWt, |
dlt = |
[A0 (t, |
g) + |
A, (t, g) mt] dt + B (t, g) dWt, |
|
|
(12.48) |
|
Yr |
|
|
b9 ( t , l ) |
yt + b\{t, g) |
A i u i ) |
||
ayit, & |
- - Щ - Ю |
В Ң Ц |
l ) |
||||
решаемой при заданных m0 = M (Ѳ01g0), g0 и y0 = |
M [(Ѳ0 — m0)21У- |
||||||
Изучим вопрос |
о существовании |
сильного |
решения у этой |
||||
системы уравнений. Положительное решение этого вопроса
позволит нам установить факт |
совпадения сг-алгебр ЗГ\ и |
w, |
что в свою очередь |
будет говорить о том, что (обно |
|
вляющий) процесс W и g0 содержат в себе ту же самую «ин
формацию», что и наблюдаемый процесс g. |
х), |
|||
Т е о р е м а |
12.5. |
Пусть |
функционалы ау(і, х), Ai(t, |
|
bj(t, х), B ( t , х), |
і — 0, |
1; j — |
1, 2, удовлетворяют условиям |
1) |
4S8 |
ФИЛЬТРАЦИЯ УСЛОВНО-ГАУССОВСКИХ ПРОЦЕССОВ |
[ГЛ. 12 |
||||||||
и 2) |
теоремы |
12.4. |
Пусть |
также |
у0 — у0(х), |
at {t, |
х), |
At {t, х), |
||
bj(t, |
X) и В~] (t, |
х) |
{і — 0, 1; |
/ = 1 , |
2) |
равномерно |
ограничены. |
|||
Тогда система уравнений (12.48) |
имеет, и притом единствен |
|||||||||
ное, |
сильное (т. е. SFntl" ъ’ |
w-измеримое при |
каждом |
і) реше |
||||||
ние. |
При этом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
0 < f < 7 \ |
|
|
(12.49) |
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть х е С г |
Рассмотрим |
уравнение, |
|||||||
которому удовлетворяет |
yt = yt(x): |
|
|
|
|
|
||||
|
|
t |
|
|
|
|
Â\ (s, x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
\ t (x) = YoW + |
2ä[ (s, x) ys( x ) b ] ( s , |
x ) ~ B2 (s, X) YI (x) ds. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(12.50) |
Уравнение (12.50) является уравнением Риккати, причем его (неотрицательное непрерывное) решение существует и един ственно для каждого х <= Ст(ср. с доказательством теоремы 12.3).
Из (12.50) нетрудно |
вывести, |
что |
|
|
|
|
|
||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
Iо |
х) ds |
|
Yo(*)+ |
|
|
|
|
|
|
J 2ä, (s, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
S |
|
|
bi (s, |
x) ds |
|
|
|
|
|
2 J â, (и, |
x) du |
||||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
В силу сделанных предположений отсюда |
вытекает, что |
yt (х) |
|||||||
равномерно ограничены по х. |
|
|
|
|
|
Лип |
|||
Покажем, |
что функция |
yt (x) удовлетворяет условию |
|||||||
шица: |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I Yt (х) — Уі(у) I2 < L J \xs — ys I2 dK (s), |
x0= y0, |
|
|
||||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
с некоторой неубывающей непрерывной справа функцией |
К (s), |
||||||||
0 < ^ ( s ) < 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из (12.50) |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
Vt(x) — y t (y) = |
j {2[«! (s, x)ys (x) — äl (s, y ) y s (y)] + |
|
|
|
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A]{s, |
X) |
Ä\ (s, у) |
|
|
|
|
|
+ [ ^ ( s>x)—b\ (s, г/)]—_B2(s, |
x) |
Ys (x) ■ B2(s,y) |
Vl(y)b |
j ds. |
(12.51) |
||||
470 |
ФИЛЬТРАЦИЯ УСЛОВНО-ГАУССОВСКИХ ПРОЦЕССОВ |
[ГЛ. 12 |
||
Рассмотрим теперь |
первые два |
уравнения системы |
(12.48), |
|
в которые |
подставлено |
yf = yt (l), |
являющееся, как показано |
|
выше, непрерывным равномерно ограниченным решением третьего уравнения этой системы:
dmt = [aQ{t, Ю+аДБ l)m,]dt + [&,(f, g)+ д1^ ’Jy У, (В dW„
(12.56)
dl, = [А0 (t, l) + Л, (t, I) mt] dt + B (t, |) dWt.
Согласно предположениям |
теоремы и установленным свой |
|||||
ствам функционала yt {x) система уравнений (12.56) |
обладает |
|||||
единственным сильным (т. е. |
5о’ ^-измеримым при каждом t) |
|||||
решением |
(см. |
замечание к |
теореме 4.6). |
Но /п0 = |
М(Ѳ0| | 0) |
|
£Го-измеримо. |
Поэтому |
tF?°'1о’ w = STf’ w, |
O ^ t ^ T . |
Следова |
||
тельно, l, |
при каждом t |
3~\" ^-измеримы. |
|
|
||
Итак, $f \ £ ST)"’W■ Справедливость же обратного включе ния, w, следует из конструкции обновляющего про
цесса W (см. (12.47)). |
|
|
|
|
|
|
||
Теорема доказана. |
|
что |
в схеме Калмана—Бьюси |
|||||
З а м е ч а н и е 1. |
Отметим, |
|||||||
a0(t, |
x) = |
a0(() -f |
a2(t) xt, |
a, (t, x) = |
a, (/), |
|
||
A0(t, |
x) = |
A0(t) + |
A2(t)x„ |
Ai (t, |
x) = |
Л, {t), |
(12.57) |
|
В {t, |
x) — B {t), |
bi (t, |
x) = |
bt (t), |
i = |
1, 2. |
|
|
В этом случае коэффициенты в уравнении, определяющем у(, являются детерминированными функциями, а уравнения для mt и %, имеют следующий вид:
dl, = [Л0 (t) + А { (t) т, + А2 (t) | (]dt + В (t) dWt.
Эта система имеет единственное сильное решение в тех же самых предположениях, при которых были выведены уравне ния фильтрации Калмана —Быоси (см. (10.10), (10.11)). Поэтому
в этом случае 3~\ = |
5F\"W, О ^ ^ ^ Г . |
|
З а м е ч а н и е |
2. |
Равенство 3~\ = SFV w остается справедли |
вым и в случае |
многомерных процессов Ѳ и £ (с очевидными |
|
изменениями в условиях теоремы 12.5, вызванными много мерностью процессов Ѳ и |), рассматриваемых в следующем параграфе.
