Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 282

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

472

ФИЛЬТРАЦИЯ УСЛОВНО-ГАУССОВСКИХ ПРОЦЕССОВ

[ГЛ.

12

(III)

матрица В ° В (t, х) = Bi (t, х) В \(t, х) + _ß2 (t, х) Bl (t,

х)

равномерно не вырождена, т. е. элементы обратной к ней

матрицы равномерно ограничены,

элементов матриц

(IV)

если g (t,

х) обозначает любой из

В{ (t, X)

и В2 (t, х),

то для

X,

у е СГ1

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

I g{t, x) — g(t, у)

 

J \xs — ys f d K { s )

+

L2\ xt — yt f,

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

g2{t, x ) < L ,

j

( l + \ x s \z)dK(s) +

L2( l + \ x t \2),

 

 

 

 

0

 

 

 

где I xt |2 = x\ (t) +

...

+ x}(t),

К (s)—неубывающая непрерывная

справа функция,

0 ^

(s) ^

1;

 

 

 

 

т

 

 

g) Ѳ7 (О I dt <<*> -,

 

 

(V)

 

j М |Л //(/,

 

 

 

 

О

 

 

 

 

 

(VI)

 

М| Ѳ, (/ ) К«>.

 

 

(VII)

Р j j UV (t, l) nij (t)f dt < ooj =

1,

где ntj (t) = M [Ѳу. (t) 13~\\-

2.Обобщением теоремы 11.1 на многомерный случай является

с

Т е о р е м а 12.6. Пусть выполнены условия

(I) — (VII)

и

вероятностью

единица

условное

распределение *)

(а0) —

=

Р (Ѳ<Х IЫ

является

(Р-п. н.)

гауссовским,

N {пг0, у0),

где

вектор m0= М (Ѳ0 \!ГІ) и матрица у0 — М [(Ѳ0 — m0) (Ѳ0 — m0)* | П~1]

такова, что Spy0< c » (Р-п. н.)

Тогда случайный процесс (Ѳ, £) = [(0j (/),

. , . ,

Qk (t)),

(^

(/), • • •

. .. , і/(0)]>

удовлетворяющий системе уравнений (12.59),

(12.60),

является условно-гауссовским,

т. е. для

любых tj,

0 <Д0 <

< іі < ...

< t n^ t ,

условное распределение

 

 

 

F^(a0, . . . ,

а„) = Р {Ѳ,о ^

а0, . . . ,

^

ап |

 

 

является (Р-п. н.) гауссовским.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству

теоремы 11.1. Поэтому остановимся лишь

на отдельных мо­

ментах

в доказательстве,

которые могут вызвать затруднение

в связи

с многомерностью

рассматриваемых

процессов.

*) Для Ѳ0 = { Ѳ, (0),

...,

Ѳ* (0) } и а0 = (а01........

а0ф под {Ѳ0 < аа } пони­

мается событие {0! (0)^

а0ь

..., Ѳ&( О Х ец}.

 

§ 3]

УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ

В МНОГОМЕРНОМ

СЛУЧАЕ

4 7 3

Прежде всего заметим, что в (12.60) можно считать ß, (t, х)=0,

B2(t, x) =

B(t,

х), поскольку в силу леммы 10.4 найдутся такие

независимые между собой винеровские процессы

 

WAt) = [Wn (t), . . . .

W2(t) = [W2l(t),

. . . . W2l(t)],

что

t

 

 

 

^2

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

{ Уі bi (S,

ю dWi (s) =

dt (s, l) dWt (s),

 

 

0

i—l

 

0

i=l

 

 

(12.61)

 

t

2

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

V Bt (s,

l) dWi (s) =

J D (s, I) dW2 (s),

 

 

0

i=l

 

0

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

D (t , X) =

V(B°B)(t, X),

 

 

 

 

 

d2 (t, *) =

(&<> B) (t, x) (В о ß)~I/2 (t,

x),

 

 

 

(12.62)

d, (t, x) =

[{b о b)(t, x)-(b о ß) (t, X)(ß о ß )-1(f, x) (b о В)* (t, x W 2

c ß о ß = ß,ß( + ß 2ß|, * о ß = éiß* + b2BI, bob = bibt + fetè.

Далее,

если

/ДѲ0, IF), g)— (скалярная) $F\*' w" ^-измеримая

функция с

М|/ДѲ0,

IF,, | ) | < о о ,

то

имеет

место формула

Байеса (ср. с (11.35))

 

 

 

 

 

 

М(/ДѲ0) Wb l ) \ F lt) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

J j

ft {а, с, I) pt (a,

c,l) d\xw (c) dFlo(a),

(12.63)

где

a e

R k,

c e C ) ,

— винеровская

мера в (C£, Щ )

и

рДа, с,

 

exp

J" [Л,(5, Q(Qs(a, с, I)-m g(g))]*(ß*(s, I) Г ' dWs-

 

 

I) =t

(s,j

1) (Qs [a, c, g) -

ms (I))]* (ß (s, g) B ' {s, g))-1 X

 

 

 

 

 

X [A\ (s, i )(Qs(a,

c, l) +

ms (l))]ds}.

(12.64)

Здесь mt (£) = M (0f | ^ f),

 

 

 

 

 

 

t

ß" 1(s, l) d%s -

t

 

 

 

 

 

Wt =

оJ

0j ß ~(s,‘

g) [Ä0(s,

l) + Ai (s, l) ms (I)] ds

(12.65)

474

ФИЛЬТРАЦИЯ УСЛОВНО-ГАУССОВСКИХ ПРОЦЕССОВ

[ГЛ. 12

 

винеровский процесс (относительно (ЗГ\), 0 ^ . t ^ T ) ,

 

 

 

t

 

 

 

Qt (a, Wx,\) — Ф, (l)

а + J Ф5 1{%) й0 (s, I) ds +

 

 

+

j Ф7' Ш bx (s, £)dWi (s) + J Ф7' (£) b2 (s, l ) B~l (s,

l) dl5

 

о

0

 

 

 

 

= 5, (/, l) Ф, (£),

Фо (i) = E[kxk)

 

 

So(U x) =

a0 {t, x) — b2 (t, x) B~l (t, x) A0 {t, x),

 

 

5] (t, X) =

a, (t, x) — b, (t, x) B~l (t, x) Ax(t, x).

 

С помощью формулы (12.63), так же, как и в случае одно­

мерных

процессов

Ѳ и £, сначала

проверяется гауссовость

условных распределений

 

 

 

 

Р(9„«<Ѵ #7ift)<ä',.

»7i ( y <

» . i ; r a

 

пределений

а затем устанавливают

гауссовость рас­

 

 

 

 

......

3. Предположим также, что наряду с (I) — (VII) выдолнены условия:

(VIII)

|аФ(г,

* ) | < L ,

) Л) уа , х ) ] <1;

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

(IX)

j М [ < (t, £) + (hfl (t, £))4 + (bfl 01, g))4] dt <

oo;

 

 

0

 

k

 

 

 

 

 

(X)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м Ц ѳ 1 ( 0 ) < о о .

 

 

 

 

 

 

 

i=I

 

 

 

 

 

Следующий результат является многомерным аналогом

теорем

12.1 и

12.3.

Пусть

выполнены

условия

 

 

Т е о р е м а

12.7.

(I) — (IV),

(VIII) — (X).

Тогда вектор

mt = М (Ѳ, |

 

и матрица

yt —

— М {(Ѳ^ — mt){®t — mt) \@~t}

являются

единственными

непре­

рывными, ЗГ^-измеримыми при каждом

t

решениями системы

уравнений

 

 

 

 

 

 

 

dmx= [а0 {t, g) + ах (t, £) mt] dt -f

 

 

 

 

 

+

[(6 о В) (t,

£) + Ъ А\ (t, 1)] (В о В )-1(t, I) X

 

 

 

 

X \dlt — (A0{t, l) +

Ax(t, l)m t)dt],

(12.66)

Yt = ai (В ЮVt + YfO[ (t,

І) + (b o- b) (t, І)—[(b о В) (t, l) + ytA\ (t, £)] X

 

 

X (b о B)~1(t,

g) [(6 о В) (t, g) + ytA\ (t,

g)]

(12.67)

§ 3 ]

УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ В МНОГОМЕРНОМ СЛУЧАЕ

475

с

начальными условиями т0 — М (Ѳ01£0), у0 = М {(Ѳ0 — m0)X

X ( 9 o - ^ o ) * I U -

Если при этом матрица у0 положительно определена, то

таковыми же будут и

матрицы yt, 0 <

t ^

Т.

Д о к а з а т е л ь с т в

о этой теоремы

в

части, касающейся

вывода уравнений (12.66), (12.67), совпадает с соответствующим

доказательством

теоремы 12.1, проводимым для компонент

т, V) = М (Ѳ, (t) I

уц (t) = М {[Ѳ, (t) - mt (/)] [Ѳ, (t)~m/ (/)] | Г}}.

Единственность решений системы (12.66), (12.67) доказывается, как и в теореме 12.3.

Остановимся на доказательстве последнего утверждения

теоремы.

 

 

 

 

yt существуют обратные матрицы

Покажем,

что

у матриц

bt =

y j x,

 

 

Ясно,

что при достаточно малых значениях

t = t(со) такие

матрицы существуют

в

силу

невырожденности

матрицы уд и непрерывности (Р-п. н.)

элементов матрицы у, по t.

Пусть

T =

in f{^^7 ’:

dety<= 0},

 

причем

т =

оо, если

inf

defy,

> 0 .

Тогда

при

t < x / \ T

определены

матрицы

bt — y f 1- Заметим

теперь,

что для t <

т А Т

 

 

0 = - ж Е = = і т (ѵА)= у А + у А = YА + 6 Т %

Поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ö /= -ö /V A .

 

 

(12.68)

Учитывая уравнение (12.67), отсюда получаем,

что для t < т А Т

bt = - ä \ (t, i) bt -

btä{ (t, i) +

a ;(t, i) (в о в ) - 1(t,

i) Aj (t, i) -

 

- öt [(b о b) (t,

l) — (b° B) {t, I) (ß о ß ) - 1(t, g) (Ь° B f

{t, i)] 6„

(12.69)

где ä, (t, x) =

a, (t,

x) — (b° B) (t,

x) (ß ° ß)_1 (t, x) A, (t, x).

 

На множестве {cö:

x ^ T }

элементы матрицы bt должны воз­

растать при

t f т.

Покажем, что на самом

деле все элементы

матриц öt ограничены.

 

 

 

 

 

Обозначим Gt (l)

решение

матричного

дифференциального

уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Щ Р - =

a, (t, g) G, (Ю, Go (І) =

E(k X *)•

(12.70)

Матрица Gt (l), являясь фундаментальной матрицей, как хорошо известно, невырождена.

476 ФИЛЬТРАЦИЯ УСЛОВНО-ГАУССОВСКИХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. 12

Пусть

Vt =

Gt (I) ötG*t (I).

Тогда

из

(12.69)

и (12.70)

для

t < г А Т находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vt =

5, (t, £) Vt + Vtä\ {t, g) +

Gt (I) {— ä\ (t, l) öt — &täl (i, I) +

 

 

 

 

+

/Cat, l) ( B o B ) - \ t ,

l)Aat, D -

 

 

 

 

- 6, [(b о ь) (t, i ) - ( b

o

b y (t ,

£) (ß о ß )-1(t, g) (6 о в у

(t,

g)] 6,} G] (l).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(12.71)

Поскольку матрица

b° b—(b° B)(B о B)~l (b° В)* симметрическая

и неотрицательно определенная, то из (12.71) получаем

 

S p ^ <

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< S p l / 0+ j

Sp {Gs (I) A* (s,

1)( В оВ Г 1(8,

|)Л ,(5, |)Gi(I)}rfs,

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

что вместе

с невырожденностью

матрицы

Gt (£)

и доказывает

ограниченность

(Р-п. н.)

 

элементов

матриц

öt.

Значит,

р(т < Т) =

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Приведем, наконец,

многомерный

аналог

теоремы

12.2.

Т е о р е м а

12.8.

Пусть Ѳ=

(Ѳ1; . . . , Ѳ*.)— k -мерная

случай-

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пая величина с 2

МѲ* <

оо. Предположим,

что наблюдаемый

 

 

 

і=і

 

h

(t)),

0 ^

t ^ T,

имеет

дифференциал

процесс lt = (|j (t),

. . . ,

 

d\t =

[A0{t, l) +

Ax(t, i)S\dt + B{t,

l)dW2{t),

 

 

где

коэффициенты

A0,

Au

В удовлетворяют условиям тео­

ремы

12.6,

а условное

распределение

Р (Ѳ ^

а |£0)

является

гауссовским,

N ( т 0,

уо)-

Тогда

mt = М (Ѳ^ |

 

и

yt —

= М [(Ѳ — т,)(Ѳ —

 

 

 

 

задаются формулами

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-1 -1

 

 

m, =

Е + уо J

AUs,

%)(B(s,

l) B* (s,

i ) r

^ , ( s ,l)ds

X

 

 

 

0

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X то + Уо J Л!(5, ®(B(s,

|)ß*(s, I))"1( £ & - Л 0(5,

l)ds)

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(12.72)

 

E + Yo J

 

 

Q (ß (s,

 

 

 

 

 

 

 

- i - 1

 

 

y t =

Al (s,

l) B’ (s, I ) ) '1Л, (s, |) ds

Yo- (12-73)

Доказательство аналогично соответствующему доказатель­ ству теоремы 12.2.

Смотрите также файлы