Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 278

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 4]

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ УСЛОВНО-ГАУССОВСКИХ ПРОЦЕССОВ

 

477

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 4. Интерполяция условно-гауссовских процессов

1.

Будем

рассматривать

k +

/-мерный случайный процесс

(Ѳ, I) = [(Ѳх(t),

. . . , Qk (t)),

(hit),

 

iz(0)].

управляемый

систе­

мой

стохастических

дифференциальных

уравнений

(12.59),

(12.60) и удовлетворяющий условиям

(I) — (IV), (VIII) — (X).

Пусть условное распределение Р(Ѳ0^

а | | 0) нормально,

N (т0, у0).

Тогда в силу теоремы 12.6 условное распределение Р(Ѳ5^ а

s ^ t ,

.является

( Р - п .

н.) гауссовским

с параметрами

 

 

 

 

 

 

т (s, t) = м (ѳвIд-%

 

 

 

 

У (s,

t) = М [(0s — т (s,

t)) (0S — m (s, t))* | 5^].

 

 

Ясно, что компоненты mL(s,

t) =

M [Ѳ. (s) | iFf]

вектора

m(s,

—

 

t), . . . , mk (s,t)]

являются наилучшими (в сред­

неквадратическом смысле) оценками компонент 0t-(s),/= l,

..., k,

вектора 0S = [0 j (s), . . . , 0fe(s)] по наблюдениям lo = {£s,

s<H}.

В этом параграфе будут выведены прямые (по t при фикси­

рованном s) и

обратные

(по s

при

фиксированном І) уравне­

ния

(интерполяции)

для

т (s, t)

и у (s ,

/).

 

 

 

Обозначим

m.Qs (t,

s) =

М (ѳ^ | &~ets'

и

 

 

 

y(t, s) = M [(Ѳ, — m0j (/, s)) (Ѳ, — m0s (t, s))* 15 ^ ’S].

Согласно многомерному аналогу замечания 3 к теореме 12.1 тѳ (t, s) и y(t, s) удовлетворяют при t ^ s системе Уравнений

(cpS. с (12.66), (12.67))

dtniQs (i, s) = [а0 (t, £) + (а (t, Q — y(t, s)c(t, £)) mQs(t, s)]A +

+ {(b°B)(t, l) + y(t, s) ЛГ (/, l)](BoB)-l (t, l)[dlt - A 0(t, DA],

(12.74)

dV<dt S)" = a (^> É)y (*. «) + y (*. s)a*{t, £) +

+ b(t, D - Y (t, l)c(t, D y (*. D. (12.75)

где

a(t, x) = ax(t, X) — (b°B)(t, x)(B°B)~l (t, x)Al (t, x),

b(t, x) = bob(i, x) — (boB)(t, x)(BoB)~l (t, x)(boBY(t, x), (12.76)

c (t, x) — A* (t, x) (В ° B)~l (t, x) At (t, x).

Система уравнений (12.74), (12.75) решается при условиях mes(s, s) = 0S, у (s, s) — 0 (нулевая матрица порядка (& X £))

и имеет, как и система (12.66), (12.67), единственное непре­ рывное решение. Отсюда, в частности, вытекает, что у (t, s)t как решение уравнения (12.75) с у (s, s) = 0, не зависит от 6St

478

 

 

ФИЛЬТРАЦИЯ УСЛОВНО-ГАУССОВСКИХ

ПРОЦЕССОВ

 

[ГЛ. 12

2.

При выводе уравнений для m(s, t),

у (s,

t)

будут исполь

зованы следующие две леммы.

 

t ^ s , является реше­

Л е м м а

12.2.

Пусть

 

матрица ф*(|),

нием дифференциального

уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

^ Г ~

= 1а У,

l ) - y { t , s)c(t,

|)]«pj(g)

 

 

(12.77)

c Ф*(|) =

£ №Х(Ц и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

я\ it) = J

(ф“ (!))~‘ [Oo («. t) du +

{{b ° B) (u, i) + Y («,

s) Al (u, g)} X

 

s

 

 

X ( ß ° ß r ‘ («,

l){dlu- A

0(u,

I) du}].

(12.78)

Тогда

 

 

 

m®s iU

s) = ф^ (g) [0e + ql (g)]

(P-п. и.).

 

(12.79)

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

 

В справедливости

формулы

(12.79)

легко убедиться, применив формулу Ито.

 

 

 

 

 

Л е м м а

12.3.

Пусть

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

mt = q>*(£)[m(s, /) +

<7*(|)]

(Р-п. н.),

 

(12.80)

 

Yf =

Y(f. 5) + ф*(І)ѵ(«,

0(ф£(£))*

(Р-п. н.).

 

(12.81)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Поскольку ST\ s

3 ~]s’

то

 

 

Щ = м(0t I Г )) = М [М (ѳг I &**' 1)\ Г =

Ы (m %s {t,

s)\Г |) .

Заметим, что элементы вектора

адр* (g) 0S,

где

 

 

 

(12.82)

 

 

 

 

 

 

 

 

X" =X{|K«)4

 

 

 

 

 

интегрируемы. Поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

%NM \m,s (t,

s) |5Г|] = M [ х Х (Ю(0, + ql (g)) | ^ f ]

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= V Pj (І) [m (s,

t) +

q\ Ш],

что вместе с (12.82) и доказывает представление (12.80).

Далее,

поскольку

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М [(О, — m&s (t,

s)) (m0s (t, s) — mt)* I

5J = 0

(Р-п. h.),

TO

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уі = M [(0, — mt) (Ѳ, — m,y I # І ] =

 

 

 

 

 

 

=

M {[(Ѳ, — mds (t, s)) +

(m0ä (/, s) — mt)\ [0, — m&s (t, s)) +

 

 

 

+ (mQs(t,

s ) - m t)Y \$~)} =

 

 

 

 

 

= M{M[(0, - m e s (f,

s))(Qt - m es(t, s))*|

%) ЦГ|) +

 

+

M { ( " 4

if, s) — mt) (m9s (t, s) — mt)* | ^~f} =

 

 

=

Yit,

s) + M{(mes{t,

 

 

s)-m ,)'|^ H }.

(12.83)

§ 4]

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ УСЛОБНО-ГЛУССОВСКИХ

ПРОЦЕССОВ

479

Замечая, что

 

 

 

•

 

 

 

 

Щ, (t,

s) — m, = ф* (I) [Ѳ, +

q[ (|)J — ф* (£) [tn (s, t) + q\ (|)J =

находим

 

 

 

 

=

ч>1&) [ö, — m (s, 0].

 

 

 

 

 

 

 

 

M {{mes [U s) — mt) (mös (t,

s) — m,)" | &")} =

 

 

 

 

= CPs (І) M [(0S— m (s,

f))(0s - m ( s ,t))'

 

 

(£))* =

 

 

 

 

 

 

=

Ф5+ (D Y {s,

t) (ф$ (I))*.

Вместе с (12.83) это доказывает формулу (12.81).

легко получить

3.

Из

(12.80),

(12.81) для

m(s, t) и у (s, t)

представления, показывающие, как меняются эти характери­

стики интерполяции при изменении t.

 

 

 

Т е о р е м а

12.9. Пусть выполнены предположения {I ) — (IV ),

( V I I I )

— (X) и

условное

распределение Р ( Ѳ 0 ^ а | | 0)

нормально.

Тогда

m(s, t)

и y(s,

t)

допускают представления

 

 

 

 

t

«)(ф“ Ш)*л;(«, D (ß °ß rV

£)X

m (s,

t) = ms + $ у(s,

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

y{s, 0 =

X [ d lu — (A0(u,

I) + Ay (u,

l) m u)du],

(12.84)

 

 

 

 

 

 

 

 

E + YS J (Ф“ (I))* A\ (и,

Д о к а з а т е л ь с т в о .

I) (В о В)"' (и, £) А { (и, D ф«(|) du j - ' ys.

(12.85)

Из (12.80) находим

 

m(s,

=

 

m -t-qHl).

(1 2 .86)

Матрица ф*(|)

является

фундаментальной. Поэтому

обратная

матрица (ф ^ ))- * существует,

и согласно (12.77) для

t ^ s

djvU D Y1

 

‘M ß

£) Y (^» S)c(t, Dl

(12.87)

dt

— (ф| (S))

c f ö ® ) l = E ikxk).

 

 

 

 

Из (12.86),

(12.87) и (12.29) по формуле Ито находим

m (s, t) = ms +

J (ф« (D)

1[y„ — Y (и,

D] A\ (и, \) (ß ° ß)

1 (u, £) X

 

S

 

 

 

 

X [ d lu — {A0(u, g) + A0(u, l)mu)du].

(12.88)

480

ФИЛЬТРАЦИЯ УСЛОВНО ГАУССОВСКИХ ПРОЦЁССОВ

[ГЛ. 12

Но

в силу (12.81)

*

 

 

 

 

 

 

(ф“ (І))_1[ѵц — y («,

s)j =

Y(s,

ы)(ф“ (£))’•

 

Подставляя

это

выражение в (12.88),

приходим

к искомому

представлению (12.84).

 

 

(12.81) получаем

 

Докажем теперь формулу (12.85). Из

 

у (5, /) = (ф*(ё))- 1 [Y* — Y

з)][(ф£(£))*]-1-

(12.89)

Дифференцируя правую часть в (12.89) и учитывая

(12.30),

(12.87), (12.75),

после простых

преобразований

находим, что

 

 

 

= — y(s, t) (фI (ЮУ С (/, Ю ф* (£) V (s, t).

(12.90)

 

Уравнение (12.90) является частным случаем уравнения

Риккати, решение которого существует

и единственно.

Чтобы

его

решить,

зададим матрицы

Ut, t ^ s ,

формулами

 

t

Ut = E -f ys J (ф“(g))* с (и, £) Ф“(£) du.

S

Эти матрицы не вырождены, и

? щ -

= - и т У № Щ ' с <!. Е)Ф[(І)УГ'.

ѴТ' = Е.

 

Отсюда получаем

 

 

 

 

~ С

У~ =

- ( V 7 \ W s ( l ) ) ' c { t , і)ф * Л ) { и у \ ) ,

(12.91)

гДе UJlys =

y8.

 

 

 

 

Сравнивая (12.90) и (12.91),

находим

 

 

 

 

у ( s , t ) =

( u y \ y

 

 

что и доказывает требуемое представление (12.85).

і), по­

З а м е ч а н и е .

Вместе с (12.90) уравнение для m(s,

лучаемое из (12.84), называют прямыми уравнениями опти­ мальной нелинейной интерполяции.

4.Выведем теперь для m(s, t) и y(s, t) представления,

показывающие изменение этих

величин

при s \ t .

(I) — (IV),

Т е о р е м а

12.10.

Пусть

выполнены условия

(VIII) — (X) и

условное

распределение

Р(Ѳ0 ^ а |І о )

является

нормальным, N (пг0, у0). Пусть, кроме того,

 

 

Р {

inf det yt > 0} =

1.

 

 

0<£<Г

 

 

 

Смотрите также файлы