Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 280

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 4]

 

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ УСЛОВНО-ГАУССОВСКИХ ПРОЦЕССОВ

481

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

т (s,

t) =

m (t) — J [a0 (и, g) + а, (и, g) m (и, t) +

 

 

 

 

 

о'

 

 

 

 

 

+ b (и, g) y~l (m (и, t) — fflj] dw —

 

 

 

 

t

 

 

 

 

— J

(b°B) (и, g) (ß о ß )- 1 (и, l)\dlu— (Л0(и, g) +

 

 

 

 

+ Л, {и, g) т (и,

/)) du],

(12.92)

 

 

 

t

 

 

У (s,

t) =

Y/ — J {[а («, g) + 6 (и, I) Ѵц‘] Y («, t) +

 

 

 

 

+

V(«, t)\a{u, g) + b(u, g)Y ;‘f — b{u,

l)}du,

(12.93)

где a (и, x), b{u, x) заданы формулами (12.76).

Для доказательства этой теоремы установим предварительно

следующие две леммы.

Р {inf det yt >

0} = 1

и матрица ß((g)

Л е м м а

12.4.

Пусть

 

 

 

t<T

 

 

 

 

является решением системы дифференциальных уравнений

- ^ 5Г^ =

И .

l) + b(t,

g) v r ‘J К (s)’

RSs(D = E{kxkr

(12.94)

Тогда

 

У {S, t)(cpimy = (R ia))- 'yt.

 

(12.95)

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Обозначим Uls = y (s,

0(ф£ (£))*•

Тогда

в силу (12.90) и (12.77)

 

 

 

 

 

= — Y(s, 0 К Ф ) * с (*» s)?Hi)Y(s. t)(ф' (!))’ +

 

+

Y ( S ,

І) (ф' (g))* [a (t,

g) — у (t,

s) c (t,

g)]* =

 

=

U y ( t , g)~U [c(t,

g) [Ф* (g) Y (s, 0(ФІ(І))* + Ѵ(Л s)].

Но согласно

(12.81)

 

 

 

 

 

 

ФІ (S) Y (s*

*)(ф£ (!))* + y(t,

s) = yt.

 

Поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

^

= U{[a'(t,

g) - c ( t ,

g)Y<].

 

(12.96)

Пусть V*s — фундаментальная

матрица системы (12.96), т. е.

пусть

 

 

 

 

 

 

 

Т Г = Г : [ 0-((.

І ) - Ц ( , І)Ѵ,].

Ц =

£,»х1).

(12.97)

16 Р. Ш. Липцер, А. Н. Ширяев

482

ФИЛЬТРАЦИЯ УСЛОВНО-ГАУССОВСКИХ ПРОЦЕССОВ

[ГЛ/ І2

 

Поскольку

ѴІ= Ѵо(Ѵо)

* и матрица (Ѵо)

является

системы уравнений

 

 

 

 

-1

 

 

 

 

 

<*(Уо)

- [ a ( s ,

I) — c{s,

g)Yt](^g)

I17®)

d s

L“

ъ/

-

ь / r < j V' о/ >

\ ' 0 J

то матрица

V‘s дифференцируема по s и при s < t

решением

“ (ftXfc)»

 

d V l

=

— [a’ (s,

I) — c(s, l) ysJ V\,

V!

Ц/гХѴ

(12.98)

Ho

ds

 

 

 

 

 

U* =

USV{ = Y V‘,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

S S

 

's

s’

 

 

 

 

где ys и Vls дифференцируемы по s.

Поэтому матрица Uls также

дифференцируема

по s

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dUs

—

 

ds

y t

I

v

 

dVs

 

 

 

 

 

 

 

 

ds

 

 

s

'

' s

ds

'

 

 

 

 

Из (12.30) с учетом обозначений (12.76) имеем

 

 

^ST = a (s>i)Ys +

Ysfl*(s. l) + b(s,

Q — ySc(s,

l) y s,

(12.99)

что

вместе

с (12.97)

дает

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-df- = [a{s,

l)ys +

ysa(s,

t) +

b(s,

 

t) — ysc(s, | ) V s ] ^ —

— Ys (a* (s> £ ) - c ( s ,

i)Ys)Vts =

[a(s,

l) + b(s,

£ )ѵ ;‘] ^ .

(12.100)

 

Из (12.94) и (12.100) вытекает,

 

что

U\ = R^U^. Но

U\ — yt,

поэтому UI — (ä’s)- 1

yt,

что

и доказывает

(12.95).

 

 

 

Л е м м а

12.5. Пусть (STt),

O ^ t ^ T , — неубывающее семей­

ство а-алгебр,

W=(Wt, 3F^ —винеровский

процесс и a = (at,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

т

 

b —

{bt, ЗГt) — случайные

процессы с

j \ a t \dt<.oo, J b]dt<. со

(Р-п. н.). Тогда при

Q

^ s ^ t ^ T

 

 

о

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I аи du J bu dWu =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

-

1

 

 

-|

 

 

s

“

U

 

 

 

 

 

 

 

J

Qu

J

К

d w v

du — J

 

1

av dv

budWu.

( 12. 101)

 

 

0

-

u

 

 

 

 

 

0

 

_o

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Очевидно,

что

 

 

 

 

s

t

 

 

s

 

 

t

 

 

 

 

 

s

 

s

J bu dWu.

 

J au du J bu dWu=

J au du

J bu dWa — J audu

(12.102)

§ 41

 

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ

 

УСЛОВНО-ГАУССОВСКИХ

ПРОЦЕССОВ

483

По формуле

Ито

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

S

 

 

s -

U

 

 

 

s -

U

 

 

 

J au du J bu dWu=

[

 

J bv dWv

audu

J

J av dv

Ьи dW u,

o

o

 

 

 

_o

d

 

 

0

.0

 

 

 

 

поэтому

правая часть

в (1 2 .10 2 )

равна

 

 

 

 

 

S

 

t

S

-

и

 

 

- 1

 

 

 

 

 

 

 

J audu J bu dWи— J

L0•

Ibv dWv

aud u — J

Jav dv

budWu:

 

 

 

0

 

 

 

 

 

о Lo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

r

?

 

- 1

 

s

г

и

 

 

 

 

 

 

 

[

au

[

bv dWv

du — J

 

j*av dv

budWa}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

Lo

 

 

 

что и доказывает (1 2 .1 0 1 ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

 

Д о к а з а т е л ь с т в о

т е о р е м ы

12.10. Согласно (12.84)

и (12.95)

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m(s, f) = ms + J [/?«(!)]-' y„>4; (и ,

$ (В »B f 112 (и,

l)dWu, (12.103)

где

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dWu = (B а B)~'/2 (u,

!){dZu- ( A 0(u,

D +

AAu,

l) m u)du].

Матрица Д“(£) фундаментальная. Поэтому До (|) =

До (I) Д“ (t),

и, значит,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[Д ^ ф Г ^ Д о Ч іИ Д о ® ]"1.

 

 

(12.104)

Из (12.103) и (12.104) находим

 

 

 

 

 

 

 

т (s, 0

=

+Ro (%) J

[До (£)]“'ѵИі («. S) (В °

 

 

(и,

I) «ЛР„.

Далее,

из (12.94) и леммы

12.5 получаем

 

 

 

(12.105)

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

До (I) J «

 

 

 

і) (ß 0 ß)~I/2(«- I) dWu

 

 

 

 

 

s

=

[ß(s, Q -f

b(s, g) y~l] X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

До (£) j (До

 

 

 

 

£) (ß 0 ß )"I/2 («, I)

 

ds •

 

 

 

- ѵ И И 5’ S) ( ß ° ß r ' /2(s, g ) d ^ ,=

 

 

 

 

 

=

\a (s, I) +

b (s, I) Ys_ 1] [m (s, t) — ms\ ds —

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- Y sA;(s, t) (BoB)~lß(s, g) dW .

16*

484

ФИЛЬТРАЦИЯ УСЛОВНО-ГАУССОВСКИХ ПРОЦЕССОВ

[ГЛ. 12

 

 

Но (см. (12.29))

 

 

 

 

 

 

dms = [а0(s, g) + а, (s, g) ms\ ds +

(6 ° В) (s, g) (В ° B ) 'lß (s, g) dWs +

Следовательно,

 

 

 

+ yH K s»S) ( В о В Г т (8, I) dWs.

 

 

 

 

 

 

dsm (s, t) =

[a0 (s, g) +

a, (s, |) ms] ds +

 

 

 

 

+ (b°B)(s, l)(B o B ) - l,2(s, l)dWs +

 

 

 

+ [a (s, l) +

b (s, I) V7 1] [m (s, t) — ms] ds =

 

 

 

=

[fl0(s,

Ю+ a, (s, g) m (s, t)] ds +

 

+

(b о B) (s, g) (В о В) " 1 (s, I) [dgs -

(Л0(s, g) + Л, (s, I) m (s, t)) ds] +

+

[a (s, g) +

b(s, g) Ys~‘][m (s, t) — ms\ds — a{(s, g) [m (s, t) — tns\ ds +

 

 

+ (b ° B) {s, g) (ß о ß)~' (s, g) Ai (s, I) [ms — m (s, *)] ds.

 

Согласно обозначениям (12.76)

 

 

[a (s, g) + b (s, g) у ;'] -

fl, (s, l ) - ( b o B) (s, g) (ß о ß ) " 1 (s, g) Л, (s, g)=

Значит,

 

 

 

 

 

=

b(s, I) уГ1.

 

 

 

 

 

 

 

dsm (s, t) =

[a0 (s, g) +

a, (s, g) m (s, t)] ds +

 

 

 

 

+

b (s, g) V7 1 \ms — m (s, /)] ds -f

 

 

+ {b°B) (s, g) (ß о ß )_1 (s, g) [dgs — (A0(s, g) +

Ai (s, g) m (s, t)) ds],

что и доказывает (12.92).

 

 

 

 

Выведем теперь уравнение (12.93) для y(s,t). Из (12.95) и

(12.90) получаем

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У (S, t) = ys

Rs0(g) J [ <

(g) ] " 1 yuc (u, g) yu [ «

(g))* ]" 1 du (.Rs0 (g))\

 

 

 

 

 

 

 

 

(12.106)

Дифференцируя (12.106)

по s, находим с учетом (12.99) и (12.94),

что

 

 

 

 

 

 

 

^ 2 5 Г - = ö (s>і) Ys +

Ysß‘ (s, g) +

b (s, g) -

 

 

 

— ysc (s>i)

— [a (s, g) +

b (s, g) Y7 1] [y, — Y (s, 0] —

 

— [Ys — Y (s, Щ [a (s, g) + b (s, g) Y7']* +

ysc (s, g)Ys =

 

= [a (s, l) + b

(s, g) Ys_1] Y (s, t) +

 

 

 

 

 

 

 

+ Y (s, t) [а (s, D + b (s, D Y7 1]’ — b (s, g).

 

Теорема 12.10

доказана,

 

 

 

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ УСЛОВНО-ГАУССОВСКИХ ПРОЦЕССОВ

485

 

З а м е ч а н и е

1.

Уравнения (12.92) и (12.93) линейны

относительно m{s,

t) и y(s, t). Поэтому единственность их непре­

рывных решений устанавливается стандартным образом.

 

З а м е ч а н и е

2.

Если {Ь ° В) (t, х) = 0, то уравнения (12.92)

и (12.93) становятся

существенно проще:

 

 

+

а, (и, I)т(и, t) — {b ° Ь){и, £) уи '[ т (и, t) — mu]}du,

(12.107)

Y (s,

t) =

у« -

J {[fl, (и, l) + (b о b) (и, I) y~’J Y («, t) +

 

 

 

+

V («, t)\ax{u, I) +

(bob) {и, l) у“ 1]* — (bob) (и, |)] du.

(12.108)

З а м е ч а н и е 3. Рассмотренная в гл. 10 схема

Калмана —

Бьюси является частным случаем задач оценивания для

условно-гауссовских процессов. Поэтому и в этой схеме также

справедливы

уравнения для

т (s, f) и у (s, /). Отметим,

что,

учитывая специфику

схемы

Калмана — Бьюси, эти

уравнения

можно вывести в тех

же допущениях, что и уравнения для mt

и У( (см. теорему 10.3), требуя при выводе обратных уравнений

дополнительно невырожденности матриц yt, 0

 

 

 

6.

 

Остановимся еще на одном виде интерполяционных оце­

нок для условно-гауссовских процессов.

а, 0;

b | #"<) при

Поскольку условные распределения Р (ѳ5

 

являются (Р-п.

н.) гауссовскими, то

гауссовским

будет

Т е о р е м а

12.11.

Если

выполнены

условия (I) — (IV),

(VIII) — (X) и

условное распределение Р(Ѳ0^ а | | 0)

является

(Р-п. н.) гауссовским, то

 

 

 

mß(s, t) =

m(s, t) + y(s, /) [qp'(|)]* y +

(ß —

(12.109)

Yß (s>t) =

y(s,

t) — y(s,

t) [ф‘ (£)]* y,+Ts(g) У(s, t),

(12.110)

где у+ — псевдообратная матрица к матрице yt, а ф*(|) опре­

делено в (12.77).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Поскольку

M (0( I &-t) = mt, M (0s \&}) = m (s, t),

cov (Op Ѳ, I g~\) = yt, cov (0s, 0SI 9~\) = у (s, t),

cov (0S, 0t I = M [(0, — m (s, t)) (Ѳ( — mty \ T ,]

Смотрите также файлы