Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 274

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

486

ФИЛЬТРАЦИЯ УСЛОВНО-ГАУССОВСКИХ ПРОЦЕССОВ

[ГЛ.

12

то

по теореме о нормальной корреляции (теорема

13.1)

 

 

 

mß(s, t) — m(s, t) + cov (0S, 0t | T )) y+ (ß — mt),

 

(1 2 .1 1 1 )

 

Yß (s, t) = у (s,t) -

cov (Ѳв, Ѳ( I P \) Y<+ [cov (0S, 0, | ST\)]*.

(12.112)

 

Покажем, что Р-п. н.

 

 

 

 

соѵ(Ѳ5, 0( |# '!) = y (s, t) (<p* (I))*.

 

(12.113)

 

Действительно, поскольку

 

 

 

 

cov (Ѳ„ Ѳ, I ^ l ) =

M [(0S - m (s, t)) M {(0, - mt)' |

*} |

•

исогласно (12.79), (12.81)

М((Ѳ, — т ,) '|з Л - 5 ) =

 

=

|М [(Ѳ, —

 

 

*])' =

[ т е<((, S) — »!,)■=■

 

=

К (I) [Ѳ, +

Яа(I)] — Фі (I) [т (S, t) + q\ (£)]}’ =

то

 

 

 

 

 

 

= [Ѳ, — m (s, OJ* (Ф' (6))%

 

 

 

 

 

 

 

cov (0S, 0 ,1*Н) = М [(0, -

 

т (s, t)) (Ѳ, -

т (s, t)J \ Г)] (Ф\ Щ ,

что и доказывает равенство (12.113).

 

Из

(12.111) — (12.113)

получаем

искомые представления

(12.109)

и (12.110).

 

 

 

 

 

З а м е ч а н и е 1. Если в дополнение к условиям теоремы 12.11

потребовать, чтобы Р (

inf

 

det у( >

0) =

1, то дифференцирова-

 

 

 

о<<<г

 

 

 

нием (12.109) и (12.110) по s найдем, что

m&(s, 0 = ß —

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

— J К (u>£) + a\(u>£)

(M>t) + b (u, l) y~‘(mß («, t) — mu)]du —

St

-J (b » В) (и, ю (В о ВГ ' (и, g) [dlu—(A0(u, і)+л , (и, l) m^{u, t))du],

 

 

 

 

 

 

 

(12.114)

Yß (s,

t) =

— I {[fl (и, Ъ) +

Ь (и,

l) у "1] Yß (и, 0 +

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

+ Yß(u>t)[a(u, g) +

b(u, І) Yu']’ — b (и, g)) du.

(12.115)

З а м е ч а н и е

2.

Из

(12.110) следует, что yß(s>0

на самом

деле

не

зависит

от

ß.

 

 

 

§ 4]

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ УСЛОВНО-ГАУССОВСКИХ ПРОЦЕССОВ

487

 

З а м е ч а н и е 3.

Рассмотрим гауссовский

марковский

про­

цесс (Ѳ(),

с дифференциалом

 

 

 

 

т , =

[а0(t) + а, (t) Qt]dt +bit) dW(t)

(12.116)

и заданной гауссовской случайной величиной

Ѳ0.

Будем

пред­

полагать, что детерминированные функции a0(t), а, (t) и bit)

таковы,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

I

і Я; (/) [ dt <

со,

/ =

0 ,

1 ;

J Ь2 it) dt <

оо.

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

Положим

при

 

 

 

 

 

Т

 

 

 

 

 

 

 

г(0 = МѲ<,

 

 

 

 

rp(s>O=

M (0,|0/ =

ß),

 

 

R(t)— M [Ѳ/ -

г (О]2,

Яр iß, t) = M [(0e - rß (s, t)f I0, = ß].

Если

положить

в (12.60)

A\{t, x) =

0,

B2(t, x) =

0 и считать,

что Іо не зависит

от Ѳ0,

то

нетрудно

видеть,

что

 

 

и

 

 

г [t) =

mt,

 

 

 

R (t) =

yt

 

 

 

 

rß (5, *) =

mp (s,

t),

Яр (s, 0 =

Yß (s, t).

 

 

 

 

 

 

Значит,

согласно*)

(12.29)

и (12.30)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r(t) =

r{0) +

J [a0(s) +

a, (s) г (s)] ds

 

(12.117)

Й

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Я (0 ~

 

Я (0) +

2

Cax(s) R (s) ds.

 

"

(12.118)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

Для Tp(s, t) и Яр{s,

t)

из (12.114) и (12.115) в предположении,

что inf

Я (0 >

0 , находим

 

 

 

 

 

 

 

 

Q<t<T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rß (s, t) — ß — J

[a0(«) +

öi (и) rp (и, 0 + Ь2 (и) (Гр(и, 0 — г (и))] du,

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(12.119)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Я» (s, 0

-

2 J

{ [а, (и) +

-fgj-]

Яр (и, t) -

1

(и) }rf«.

‘(12.120)

:) См. также замечание 3 в п. 6.

488

ФИЛЬТРАЦИЯ УСЛОВНО-ГАУССОВСКИХ ПРОЦЕССОВ

[ГЛ. 12

 

Аналогом (12.109) и (12.119) являются формулы

 

г&(s, t) =

r(s) + А (s) exp ^ J щ (и) duj R+ (t) (ß — r (t)),

(12.121)

Rp (s>t) =

R (s) — R2(s) exp (2J cti (u) du \ R +(/).

(12.122)

§5. Уравнения оптимальной экстраполяции

1.В этом параграфе выводятся уравнения экстраполяции для условно-гауссовских процессов, позволяющие эффективно вычислять оптимальные (в среднеквадратическом смысле) оценки

значений Ѳ( по наблюдениям £о= {!„> Однако,

в отличие от рассмотренных выше задач фильтрации и интер­ поляции, эти уравнения будут выведены не для общего про­ цесса (0,|), заданного уравнениями (12.1), (12.2), а только для двух частных случаев, приводимых ниже. Это сужение класса

рассматриваемых процессов (Ѳ,

|) связано с тем, что услов­

ные распределения

 

для t > s уже

не являются,

вообще говоря, гауссовскими.

 

 

 

 

 

 

2. Обозначим

для t ^ s

 

 

 

 

 

 

л, (*, s) = М (Ѳ415Г|),

 

n2(f,s) =

M(Ét |0 “|).

(12.123)

Как и в случае интерполяции,

для

этих

характеристик

можно выводить

уравнения

двух

типов:

прямые

уравнения

(по / при фиксированном s)

и

обратные

(по s f t при фикси­

рованном /). Из прямых уравнений можно понять, как ухуд­ шается прогноз значений Ѳ* при возрастании /. Обратные уравнения позволяют установить степень улучшения качества прогноза значений 0/ с «увеличением данных», т. е. с ростом s.

Отметим, что обратные уравнения экстраполяции можно было бы вывести из общих уравнений экстраполяции, получен­ ных в восьмой главе. Здесь, однако, мы приводим другой и, пожалуй, более естественный для данного случая вывод.

Будем предполагать,

что (Ѳ, !) = (Ѳ„ £*),

является

k -j- /-мерным процессом диффузионного типа с

 

 

 

2

 

 

 

dQ, =

[а0 (/) + а, (/) ѲЛ dt + 2

Ь, (/,

|) dWt (/),

(12.124)

 

 

l's= [

 

 

 

 

 

 

2

 

 

dl, =

[AQ(t, £) + А,(/,

£) Qt] dt 4 - 2

Bi (/, I) dW2 (t),

(12.125)

 

 

 

i= \

 

 

где коэффициенты удовлетворяют условиям (I)—(IV), (VIII) —(X), причем элементы вектора aQ(t) и матрицы щ (/) являются

§ 5]

УРАВНЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ЭКСТРАПОЛЯЦИИ

489

 

детерминированными функциями времени, а условное распре­ деление Р(Ѳ0^ а | | 0) является гауссовским.

Пусть, далее, ф*— фукдаментальная матрица уравнения

 

 

 

 

 

dt

 

'■а, (0 ф(,

 

t >

 

s,

 

(12.126)

с фsS— E{kxk).

При

этих

допущениях

справедлива следующая

Т е о р е м а

12.12.

Пусть процесс

(Ѳ,

 

|)

управляется системой

уравнений

(12.124),

(12.125).

Тогда

для

каждого фиксирован­

ного s,

0 ^

s ^

t ^ Т, п\ (t, s)

удовлетворяет уравнению

 

 

 

 

 

d t i i

(t , s)

a0(t) +

ax{t)nx{t, s)

 

(12.127)

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c nx(s, 5) =

ms, где tns определяется из уравнений (12.66),

(12.67).

При

фиксированном t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п{ (t, s) =

n, (t, 0) + j

(fl f(b о В) (и, I) + yuÂ\ {и, I)] (В о ß)-1 (и, l) X

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X [ d i u — (А0(и, £) +

Ах (и, І) mu) du],

(12.128)

где mu и

уа находятся

из

уравнений (12.66), (12.67), а

 

 

 

 

пх(t, 0) =

ф<

Щ + j

(Фо)

‘ ао(s) ds

(12.129)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Воспользуемся

тем,

что

 

а,

(/,

s) =

М(в, I Г » = М[М (Ѳ, I Г ) )

1Sr\\ =

М(т, ]

 

где mt согласно (12.66)

представляется

в следующем виде:

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mt — ms + I К (и) + ау (и) ти] du +

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

j

[(ЬоВ)(иЛ) +

УаА \ ( ^ t)\(Bob)-ll2(u,l)dW u-

(12.130)

Но

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М^ I

[ф о В) (и, I) + у„л; (и, Щ (В о В Г Щ(и, g) dWuI r i j

= 0;

поэтому, беря от обеих частей (12.130) условное математическое ожидание М (-|ЗГ|), приходим к уравнению (12.127).

Смотрите также файлы