Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Скачать файл (19,70Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 276

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

490			ФИЛЬТРАЦИЯ УСЛОВНО-ГАУССОВСКИХ ПРОЦЕССОВ						[ГЛ. 12
490	Для вывода представления (12.128) положим в (12.130) s = 0.
С	помощью формулы Ито					нетрудно	убедиться в		том, что
(единственное)				непрерывное		решение	mt	уравнения	(12.130)
с s =		0	может	быть	записано	в следующем		виде:
				t
tnt =		Фо	т0+	J (Фо)	' aQ(и) du +
				о
		+		[(bo В) (и ,1) + ѴиА*Ли ’ Щ (В ° В )~]І2 (и, l)d W u .
			0

Отсюда находим

m t = пх (t, 0 )+ j [{Ьо В) {и, ё)+ѵ„д; (И , 1)1 (В ° В)~1,2(и, £) dWu+

+ J q!u[(boB)(u, l) + yuAl(u,l)](BoB)-]ß(u,l)dW u. (12.131)

Вычисляя условное математическое ожидание М (- \@~1) от обеих частей (12.131), получаем требуемое представление

(12.128).	Пусть	наряду с	прогнозом	значений	Ѳ, требуется по
3.
І* = [lu,	s < t , экстраполировать и величины
Снова	будем	предполагать, что		условное	распределение
Р (Ѳ0^ а	\|£0) является гауссовским и выполнены предположения
(I)—(IV), (VIII)—(X), причем
A0(t, х ) ~ Л0(0 + A2{t)xu			(/, х) =	ах(t), Ai (t, х) = Л( (t),

где элементы векторов и матриц a,-(I), Ai(t), i = 0, 1, 2, являются детерминированными функциями. Иначе говоря, пусть

гіѲ, = [а0 (t) +	ö[ (t) Ѳ, +	а2 (t) Ы dt +	2	bt {t, £) dWt (t),
гіѲ, = [а0 (t) +	ö[ (t) Ѳ, +	а2 (t) Ы dt +	2	bt {t, £) dWt (t),		(12.132)
			i	=1
				2
d\t — [Л (0 +	(0	+ A2 (t) \|<] dt +	X Д- (^, I)		(t).	(12.133)
			1=1

Пусть, далее, Ф* — фундаментальная матрица системы (t > s)

dd>l	_	/ cii (t)	a2(t) A
dt	=	U ,(f)	a 2 (0J s’

г д е O f = E y{k+t) X (ft+p)-

§ 5] УРАВНЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ЭКСТРАПОЛЯЦИИ 491

Т е о р е м а

12.13.

При

сделанных

допущениях

пх(/, s) и

п2(t , s)

при заданном s являются решениями системы уравнений

dtti ( t, s)

a0 (t)

' ai (0

\ ( щ (t, s)'

a2 (t)

(12.134)

dn2 ( t, s)

A0(t)

Mi (0 A2( t ) ) \ n 2(t, s),

с щ (s,

s) = ms,

n2(s, s) =

При

фиксированном t

I nx(t,

s ) \ _ ( n x(t,

0) \

І л 2(*. s ) j ~ \ n 2(t,

0)/ +

+ J Ф«

' [(Ö 0 B)(u,

l) +

yuA\(u, D] (В оB)~m (и, g)'

{BoB)u\ u , D

dWu, (12.135)

где

tii (t,

Шп

a0(s)

Фо

ds.

(12.136)

n2{t,

/ф .

Ao(s)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Принимая во внимание предположения

о коэффициентах

системы,

из

(12.66)

(12.133) находим, что

ms \ ,

( ао (и) \

Г /

«1 («)

щ (и) ) ( ши

A0(u)Jе

J V-Ai (и)+

A2/ (и),

+ 1

[(bo В) (и,

і) +

уиА\(и,

Щ ( В о В Г и2<

dWu.

(В о В)щ (и,

Отсюда (как и при доказательстве предыдущей

теоремы) легко

выводятся уравнения (12.134) и представление (12.135).

З а м е ч а н и е .

Для

частного

случая

уравнений

(12.132),

(12.133), отвечающих схеме Калмана—Бьюси (см. гл. 10), пря

мые и обратные уравнения	экстраполяции справедливы лишь
в предположениях теоремы	10.3.

Г Л А В А 13

УСЛОВНО-ГАУССОВСКИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ФИЛЬТРАЦИЯ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ

§1. Теорема о нормальной корреляции

1.В предыдущих двух главах рассматривались задачи фильтрации, интерполяции и экстраполяции для условно-гаус

совских случайных процессов		(Ѳ, \|) с непрерывным	време
нем t ^ O .	В настоящей главе эти задачи будут изучаться для
случайных	последовательностей	с дискретным временем	t = О,
Д, 2Д,	обладающих также	свойством «условной	гауссо-
вости».

Важно подчеркнуть, что материал данной главы не исполь зует тот сложный аппарат теории мартингалов, который при меняется для случая непрерывного времени. По существу, все результаты этой главы выводятся из теоремы о нормальной корреляции (теорема 13.1). Поэтому читатель, желающий озна комиться с теорией фильтрации и смежными вопросами для случая лишь дискретного времени, может приступить к чтению этой главы без предварительного изучения материала предшест вующих глав.

Сравнение результатов для дискретного и непрерывного времени показывает, что, по крайней мере внешне, между ними имеется большое сходство. Более того, формальный предельный переход (при Д —>0) позволяет из результатов этой главы полу чить соответствующие результаты для случая непрерывного вре мени. Однако строгое обоснование этого предельного перехода вовсе не просто и потребовало бы, по существу, привлечения всего того аппарата, который был использован в предыдущих главах.

2. Формулировка и доказательство основного результата данного параграфа — теоремы о нормальной корреляции — тре буют введения и исследования свойств псевдообратных матриц.

Рассмотрим матричное уравнение
АХА = А.	(13.1)

§ 1]	ТЕОРЕМА О НОРМАЛЬНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ	493

Если А — квадратная невырожденная матрица, то это уравнение

имеет единственное решение X = Л~'. Если же матрица А вы рожденная или даже прямоугольная, то решение уравнения (13.1), если оно существует, нельзя определить однозначно. Тем не менее существует (это будет доказано ниже), и притом (в опре деленном классе матриц)единственная, матрица, удовлетворяю

щая уравнению (13.1). Эта матрица далее будет обозначаться А + и называться псевдообратной матрицей.

О п р е д е л е н и е . Матрица	А + (порядка	п у т ) называется
псевдообратной к матрице А =	А{тХП), если	выполнены следую
щие два условия:
АА+А = А,		(13.2)
Л+ = ДЛ* = ЛѴ,		(13.3)

где U и V — некоторые матрицы.

Из условия (13.3) следует, что строки и столбцы матрицы Л+ являются линейными комбинациями соответственно строк и столбцов матрицы А*.

Ле м м а 13.1. Матрица А h, удовлетворяющая условиям (13.2)

и(13.3), существует и единственна.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Начнем с доказательства единствен

ности. Пусть A t и A t — две различные псевдообратные матрицы. Тогда

AAtA = A,	A f = UlA* = A*Vx
и
A A tA = Л,	A t = U2A* = A*V2

с некоторыми матрицами Ub Vu U2и Ѵ2. Положим D = A t — A t ,

U = UX- U 2, V = VX— V2.

Тогда *)

ADA = 0, D = UA* = A*V.

Ho D* = V*A, поэтому

(DA)* (DA) = A*D*DA = A*V*ADA = 0,

и, значит, DA — 0. Отсюда, испотьзуя формулу D* = AU*, на ходим, что

DD* — DAW = 0.

Следовательно, A t — А І — D — 0.

Для доказательства существования матрицы А+ предположим сначала, что ранг матрицы Л (порядка т У п с т ^ п ) равен п.

) 0 —нулевая матрица.

494	у с л о в н о -г а у с с о в с к и е п о с л е д о в а т е л ь н о с т и				[ГЛ. 13

Покажем, что в этом случае матрица
	Л+ =(АА)-1А				(13.4)
удовлетворяет условиям (13.2), (13.3).
	Свойство (13.2), очевидно, выполнено, поскольку
	ЛЛ+Л = А {А*А)-1{А"А) = А,
где А*А — невырожденная		матрица порядка		пУ(п.	Равенство
A + = UA* выполнено с U — (Л*Л)_1.			Равенство же		А+ — А"Ѵ
выполняется, как легко		проверить,	если	положить V =

= А (Л*Л)-2Л*.

Аналогичным образом показывается, что если ранг матрицы Л (порядка m X « с т ^ п ) равен ОТ, то псевдообратной к ма трице Л является матрица

Л+ = Л *(Л Л Т !.	(13.5)
Для доказательства существования псевдообратной	матрицы

в общем случае используем тот факт, что всякую матрицу Л порядка тХге ранга г можно представить в виде произведения

		Л = ß • С	(13.6)
с матрицами	ß (mXr)	и С{гХп> ранга	Д я .
Действительно, возьмем в качестве матрицы В матрицу,
составленную	из г	независимых столбцов	матрицы Л. Тогда

все столбцы матрицы Л можно выразить через столбцы ма

трицы В, о чем и свидетельствует формула (13.6),	задающая
«скелетное» разложение матрицы Л.
Положим теперь
Л+ = С+В+,	(13.7)
где согласно (13.4) и (13.5)
С+ = С*(ССУ'.	(13.8)
ß + = (ßß)~Iß.	(13.9)
Тогда