§ 1] |
ТЕОРЕМА О НОРМАЛЬНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ |
495 |
3. Укажем ряд используемых далее свойств псевдообратны матриц:
1°. |
А А +А = А, А +А А + = А +. |
2°. |
(А*)+ = (А+)\ |
3°. (л +)+ = |
А. |
4°. (Л+Л)2 = |
Л+Л, (Л+Л)’ =--Л+Л, (АА+)2= А А +, |
|
|
(АА+У = А А +. |
5°. (Л*Л)+ = |
Л+ (Л*)+ = Л+(Л+)*. |
6°. Л+ = (Л*Л)+Л* — Л* (Л Л*)+.
7°. Л+ЛЛ* = Л*ЛЛ+ = Л*.
|
8°. Если |
S — ортогональная |
матрица, |
то (S4S’)+ = 5Л +5*. |
|
9°. Если |
Л — симметрическая неотрицательно определенная |
|
матрица порядка п X « ранга |
г < п, то |
|
|
|
Л+ = Г (ТГ)~2Т, |
(13.10) |
|
где матрица Т(пхг) ранга г определяется |
из разложения |
|
|
Л = |
Т*Т. |
(13.11) |
|
10°. Если матрица Л невырожденная, |
то Л+ = Л-1. |
|
Указанные свойства проверяются непосредственным подсче |
|
том. Так, свойства 1° и 2° вытекают из |
(13.2), (13.6) — (13.9). |
|
Равенства |
Л+ = С+В+ = С* (СС*)~1(В 'ВГ1В* = ВС, |
|
где |
|
|
|
|
|
|
в = с * ( с с т \ |
с = ( в * в г 1в \ |
задают скелетное разложение матрицы Л+, из которого сле дует 3°. Свойство 4° вытекает из 1°, 2° и (13.7) — (13.9). Чтобы доказать 5°, надо рассмотреть скелетное разложение А — ВС
и представить матрицу А*А в виде произведения ВС, где В — С*
и С = В*ВС. Свойства 6° и 7° вытекают из |
1° — 5°. |
|
Для доказательства 8° достаточно заметить, что в силу орто |
гональности (SS* = E) матрицы 5 |
|
|
(5Л5*) (5Л+5*) (5Л5*) = S A А +AS* = SAS. |
(13.12) |
Далее, если А + — UА* — А*Ѵ, то |
|
|
5 Л+5* == 5 (UA*) S = S U (S*S) Л’5 = Д (5Л*Я = |
U (S A S *)* |
(13.13) |
с Ü = S U S \ |
|
|
496 |
УСЛОВНО-ГАУССОВСКИЕ |
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ |
[ГЛ. 13 |
Аналогично устанавливается, |
что |
|
|
с y = |
SVS*. |
SA+S* = |
(SAS’)*^ |
(13.14) |
|
|
|
|
Из |
(13.12) —(13.14) |
вытекает, что |
(5AS*)+ == S А+5*. |
Наконец, свойство |
9° следует из |
скелетного |
разложения |
А = Т Т и формул (13.7) —(13.9).
З а м е ч а н и е . Согласно свойству 9° в случае симметрических неотрицательно определенных матриц А псевдообратная ма
трица А+ может быть определена формулой (13.10), где ма трица Т определяется из разложения А = Т*Т. Это разложение, вообще говоря, не единственно. Однако псевдообратная ма
трица А+ = Т (ТТ*)~2Т определяется однозначно независимо от способа разложения А = ГТ. Таким образом, в случае сим метрических неотрицательно определенных матриц А псевдо обратная матрица
А ', если матрица А не вырождена,
А + |
(13.15) |
Т* (ТТ*)~2Т, если матрица |
А вырождена. |
4. Напомним, что случайный вектор I — (^.........£„) назы вается гауссовским (нормальным), если его характеристическая функция *)
|
|
|
|
П |
Фі (z) = М exp [гѴ|], z = |
{zu . |
. |
zn), |
z*l = 2 г,-|г, |
задается формулой |
|
|
|
£=1 |
|
|
|
|
Фі (z) = exp |
iz*m |
2 |
z*Rz |
(13.16) |
где m = ... , mn), а R — ||^^|| — неотрицательно определен
ная симметрическая матрица порядка (п X «)■ Параметры m и R имеют простой смысл. Вектор m есть вектор средних значений, т = М£, а матрица R есть матрица ковариаций,
/?==соѵ (£, I) = М (I — m) (I — m)\
Сформулируем ряд простых свойств гауссовских векторов.
1.Если 1 = (1и . . . , 1п) — гауссовский вектор, АітХп) — ма
|
|
|
|
|
|
|
трица и а — (аь . .. , |
ат) — вектор, то |
случайный вектор ц = |
= |
AI + а является гауссовским |
с |
|
|
|
|
Фч (z) = exp { iz* (а + |
Ат) - |
у |
/ (АЛ!А*) z j |
(13.17) |
и |
Мт] — а + |
Ат, соѵ(г), т)) = |
А соѵ (g, £) А*. |
(13.18) |
|
*) При алгебраических операциях векторы а считаются столбцами, а век торы а*— строками.
§ 1] |
|
ТЕОРЕМА О НОРМАЛЬНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ |
|
|
497 |
2. |
|
Пусть (Ѳ, g) = |
[(Ѳ,, |
|
0ft) (gj, |
|
h)} — гауссовский век |
тор с тѳ = МѲ, |
т%= Mg, £>0Ѳ= cov (Ѳ, Ѳ) = |
M (Ѳ — m9) (Ѳ — т ѳ)‘, |
Du = |
cov (g, g) = |
M (g — nii) (І — щ У |
и |
|
Döi = cov (Ѳ, g) = |
— M (Ѳ — т ѳ) (g — tni). |
|
|
|
векторы Ѳ и g независимы и |
Если |
Dqi = 0, то (гауссовские) |
|
|
|
Ф(э,Е) (z i> 2г) — Фѳ (~і) |
(гг)> |
|
|
|
|
где z i = { z lu |
Zik), z2 = (z2,, . |
|
zn) |
и |
|
|
|
|
|
|
|
Фѳ(2 і) = |
ехР |
izlmd - |
T z;Dmz i |
|
|
|
|
|
|
Ф5(22) = |
ехР і г і т |
і |
2 2 2^ 5і 2 2 |
|
|
|
|
3. |
|
Пусть |
g = (|1, . . . . |
g„) — гауссовский |
вектор |
с |
т — Mg, |
/? = cov(g, g). Тогда найдется гауссовский вектор е = (е,, |
.. |
е„) |
с независимыми |
компонентами, |
Ме = |
0 |
и |
соѵ (е, е) = |
Е(Пхп), |
такой, |
что |
|
g = |
Д1/2е -f т. |
|
|
|
|
(13.19) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
доказательства |
введем |
|
гауссовский |
вектор *) |
ѵ = |
= (ѵ|, |
. .. , ѵ„), не зависящий от |
g, с |
Мѵ==0, |
соѵ (ѵ, ѵ) = £. |
Положим Т = |
Д,/2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е = (Т+У (g — m) -\-{Е — ТТ+)ѵ. |
|
(13.20) |
Поскольку векторы g и ѵ независимы, то вектор е также является гауссовским. Ясно, что Me = 0. Подсчитаем теперь ковариацию соѵ(е, е). Имеем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
соѵ (е, е) = |
Мее* = |
(Т+)* RT+ + (Б — Т'Г) (Е — ТТ+). |
Но |
по |
свойству |
4° |
псевдообратных матриц |
i E — ГГ+)* = |
= |
Е — ТТ+, (Е ~ |
ТТ+)2 = Е — ТТ+, а (Т+)* RT+= |
(Т+)* Т Т Т += |
= |
[(Г+) |
Г ] [7Т+] = |
7Т+. Поэтому |
соѵ(е, е) = £, |
что |
доказы |
вает независимость компонент вектора е. |
|
|
|
Далее, из (13.20) получаем |
|
|
|
Ге = Г {Т+У (I — ш) + (Т* — Т*ТТ+) V = |
|
|
|
|
|
= |
(I - ш) - (.Е - Т (Т+У) (I - щ) + ( f - |
Т Т Т +) V . |
Но |
f = T T T + |
(свойство 7°), f |
(Т+У = (Т+Т)* = Т+Т (свой |
ство |
4°), а iE — Т+Т)соѵ (g, g) iE — Т+т)* — (Б — Т+Т)(Т*Т) X |
Х (£ — Т+Т) — 0, |
что |
и доказывает равенство |
Д1/2е = g — m. |
*) Здесь мы считаем, что исходное вероятностное пространство является достаточно «богатым».
498 |
УСЛОВНО-ГАУССОВСКИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ |
(ГЛ. 13 |
4. Пусть ln, п — 1,2, |
— последовательность гауссовских |
векторов, |
сходящаяся |
по |
вероятности |
к |
вектору |
Тогда |
I также гауссовский вектор. |
|
Rn = cov (g„, g„). Тогда, по |
Действительно, |
пусть тп = М|„, |
скольку P-lim£„ = |
g и |
I ехр[г'2 *|„]| < |
1, |
то |
по теореме |
Лебега |
|
П->оо |
|
|
|
|
|
|
|
о мажорируемой сходимости |
|
|
|
|
|
hm exp |
гг тп |
|
|
— lim М exp [iz’ln] — М exp [iz%\. |
П -> оо |
|
|
|
П-*оо |
|
|
|
|
Отсюда, в силу произвольности г, существуют вектор т и неотрицательно определенная матрица R такие, что
|
|
т — \\ттп, |
|
Д = 1ітД„. |
|
Значит, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М ехр [г'г*£] = |
ехр iz*т - j z*Rz |
|
что доказывает гауссовость |
вектора |
|
5. |
Т е о р е м а 13.1 |
(теорема о нормальной корреляции) |
Пусть (Ѳ, |
|) = |
([Ѳ1, . . . , |
в*], |
[|i, |
. . . , £/])— гауссовский |
вектор с |
|
|
т ѳ=МѲ, |
|
|
|
Z)Ge = |
cov(0, Ѳ), |
£>Ѳ! = |
соѵ(Ѳ, g), й ц = cov (|, I). |
Тогда условное математическое ожидание М (Ѳ ||) |
и услов |
ная ковариация |
|
|
|
|
|
|
соѵ(Ѳ, Ѳ ||) = |
М{[Ѳ — М (Ѳ |1)][Ѳ — М(Ѳ IDY 1|} |
|
задаются |
формулами |
|
|
|
|
|
|
|
М (Ѳ 11) = |
т ѳ + |
D0sD j (I - т 6), |
(13.21) |
|
|
соѵ(Ѳ, ѲII) = |
Dee ~ |
DtiDti (А*)’. |
(13.22) |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Положим
|
|
Л = |
(Ѳ — тѳ) + С (£, — ті), |
(13.23) |
где матрицу |
C(k х ь |
подберем |
таким образом, |
чтобы |
Мт}(£ — ті)* = |
0. |
|
|
|
|
Если такая матрица существует, то она является решением |
линейной |
системы |
ПѲІ + |
СД|? = |
0. |
(13.24) |
|
|
|
Если |
Du — положительно |
определенная матрица, то |
|
|
|
|
C = - D eiD ^ . |
(13.25) |
В противном |
случае можно положить |
|
С — — D e i D i i . |
(13.26) |
