Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 271

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ И

ТЕОРЕМА О НОРМАЛЬНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ

499

 

 

 

с

Согласно свойству 3 из

п. 4 найдется гауссовский вектор е

Me = 0, Мее* = Е такой,

что

 

Тогда, обозначая Т — D\f, получаем

Dei = М [(Ѳ — тѳ) (%— mg)*] = M (Ѳ — тѳ) e*T = deiT,

где de£ — M (Ѳ — m0) e*. Следовательно,

Dei = dteT, DeiDtiDu = dee.T(TT)+ TT = deJ,

где мы воспользовались свойствами 1°, 4°, 5° псевдообратных матриц, согласно которым

Dti = (ТТ)+ = Т+Т+, Т(ТТ)+ ТТ = тт+т+ТТ =

= тт+{т+тУ т= (тт+Ут = тт+т = т,

т. е.

Dei — DeiDtiDu,

что и доказывает равенство (13.24) с С — — DeiDii. Итак, вектор

 

 

Л = (Ѳ — nie) — D^Dii (1 — mi)

 

(13.27)

обладает тем

свойством,

что

Мг)(£ — щ У — 0.

таковым

же

Поскольку

(Ѳ, £)— гауссовский

вектор,

то

является и вектор г). Более

того, гауссовским

будет

и вектор

(г|, £), поскольку характеристическая

функция

 

 

 

Ф(ч, I) 0і> г2) =

м ехР ѴКч +

izlQ =

 

 

 

 

 

 

 

 

=

м exp {гг* |(Ѳ — me) + С (| — m?)] +

fe’i]

может

быть

записана

в

силу

гауссовости

вектора

(Ѳ, £)

в виде

(13.16).

 

 

 

0. Поэтому

согласно

свой­

Далее, Мц = 0 и Мц(^ — mg)* =

ству 2

из п. 4 гауссовские

векторы ч и ^ независимы. Следова­

тельно,

 

М Оч ! I) ~

Мл = 0

(Р-п. н.),

 

 

 

 

 

 

 

 

что вместе с (13.27) приводит к формуле (13.21).

 

что

Для

доказательства

представления

(13.22)

заметим,

Ѳ— М(Ѳ|£) =

г|> а в силу независимости

|

и ч

 

 

 

 

соѵ (Ѳ, Ѳ11) =

M (трі* I £) =

Mrpi*

 

(Р-п. н.).

(13.28)

Но

согласно (13.27)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М трі* =

Dee +

D e \ D iiD i iD ii D e i — 2 Д ѳ |Д ^ Д ||Д ^ Д ѳ і =

 

 

= Dqq— De\DiiDiiDiiDe\ = Dee — DeiDfiDeg, (13.29)

500

у с л о в н о -г а у с с о в с к и е п о с л е д о в а т е л ь н о с т и

[ГЛ. 13

 

где мы воспользовались тем, что согласно свойству 1°

D tiD i'P ii — D ii.

Из (13.28) и (13.29) получаем искомое представление (13.22)

для соѵ(Ѳ, ѲІЮ-

 

1. Если

k == 1=1

и D |> 0 ,

то

 

 

6.

С л е д с т в и е

 

 

 

 

М(Ѳ II) =

 

 

 

 

соѵ (Ѳ, 1) ,

 

(13.30)

 

 

 

мѳ + -

Dl

 

''| - M | ) ,

 

 

 

D(0

 

 

rm cov2 (Ѳ>1)

,

 

(13.31)

 

 

II) =

 

D0

 

 

D|

 

 

 

 

 

 

!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- М(Ѳ

II)]2 ID

 

 

 

 

 

 

 

 

где D (Ѳ II) =- М {[Ѳ —

 

 

 

 

 

и вводя

 

 

 

Полагая

=

+

V DO,

 

 

 

+

 

/ D |

коэффициент

корреляции

 

 

 

„ _

соѵ

 

 

I)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

формулы (13.30) и (13.31) можно переписать

в следующем

виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М (Ѳ||) =

 

МѲ +

р - ^ ( |- М |) ,

 

(13.32)

 

 

 

D (Ѳ II) =

(Tg(l — р2).

 

 

(13.33)

С л е д с т в и е

2.

Если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ѳ= öi8[ +

 

b2e2,

I =

 

-j- В2е2,

 

 

 

где

ги е2 — независимые

 

 

гауссовские

величины

Mei =

0,

De* — 1, і

1,2,

а В] +

В\

>

0,

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М (Ѳ ||):

b\B\ -f- b2B2

 

(13.34)

 

 

 

 

 

b

\

+

b \

I,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D (Ѳ 11) =

( B

l b 2

—

Ь \ В г

 

(13.35)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В \

+

В \

 

 

 

С л е д с т в и е

3.

Пусть

случайные

величины

(Ѳ, |

ь . . . ,

| /)

образуют гауссовский вектор, причем

| ь . . . , | г

независимы

и

D|f >

0. Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М(Ѳ|І„

.... |,)=МѲ +

 

У ^ І і ) ( | . - М Ы .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

і=1

 

 

 

 

 

В частности,

если МѲ =

М |г = 0 ,

то

 

 

 

 

 

§ 1]

 

ТЕОРЕМА О НОРМАЛЬНОЙ

КОРРЕЛЯЦИИ

 

501

 

 

 

З а м е ч а н и е .

Пусть [0,

|]=[(0,,

.. .,

0*), (|„

.. ., |,)] — слу­

чайный

вектор,

заданный

на

вероятностном

пространстве

(Q, SF, Р). Пусть S — некоторая ст-подалгебра

SF, Ss

. Пред­

положим, что (Р-п. н.) условное (при

условии

S) распределе­

ние вектора (0, |)

является гауссовским

со

средними

М(Ѳ|^),

М(ІІ^)

и

ковариациями

с?п =

соѵ(Ѳ,

Q\S),

öfi2 = cov(0, g j^),

d22 = cov (|,

| |S?).

Тогда вектор условных математических ожи­

даний М (Ѳ ||, S) и условная матрица ковариаций соѵ(Ѳ, Ѳ| \,S)

задаются (Р-п. н.)

формулами

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М (0 II, S) =

М (0 \S)+

dud&ll - М (| \S)],

(13.36)

 

COV (0, 0 ||,

S) =

du — d\2&22&\2'

 

 

 

 

(13.37)

Этот

результат,

доказываемый

так

же,

как и в

случае

S— {0,

Q}, будет

в дальнейшем неоднократно использоваться.

7.

Т е о р е м а

13.2.

В предположениях теоремы 13.1 условное

распределение *) Р(Ѳ<Д ||)

является гауссовским с параметрами

М (Ѳ lg),

cov(0,0 II), задаваемыми формулами (13.21),

(13.22).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Достаточно

показать,

что условная

характеристическая

функция

 

 

 

 

 

 

 

М (ехр[г'2 *Ѳ] II) =

exp(гг*М (0 ||) — ~2'*соѵ(Ѳ, 0 | | ) г).

(13.38)

Согласно (13.27), (13.21)

Ѳ= me + DiqDii (I — М|) + 0 = М (Ѳ 11) + г\,

где гауссовские векторы | и ті независимы. Поэтому

М (ехр [/гі'Ѳ] 11) = exp [/z*M (Ѳ 1|)] М (exp [гХц] 1|) =

=exp [iz*M (0 II)] M exp [ТгТ}] =

=exp [г'г’М (0 11) — -j z’ cov (Ѳ, 0 1£) z].

З а м е ч а н и е . Пусть матрица cov(0, 0 11) = £>ѳѳ —

положительно

определенная. Тогда

 

у функции распределения

Р (0

11) =

Р (0) <

Xj, . .. ,

0* < xk 11) существует (Р-п. н.) плот­

ность

 

 

 

 

 

 

 

- 1/2

 

 

n

 

[det (°ѳѳ -

%*>«%]

 

 

 

X

p{Xl, . . . , x k I D -

 

(2п)Щ

 

X

exp { -

і-

(х -

М (0 11))* [Дѳѳ -

DnD&Dli] ' (х - М (0 1£))}.

 

 

 

 

 

 

 

 

(13.39)

*) Под {Ѳ<Д подразумевается событие {0t< .........

& k ^ X k ) .

502

 

у с л о в н о -гауссовск и е посл едовател ьности

[ГЛ. 13

8.

 

Теорема о нормальной корреляции позволяет легко уста

новить следующие вспомогательные предложения.

 

Л е мма

13.2. Пусть Ьи Ь2, Ви В2 — матрицы порядков k у k,

k y i ,

І У k,

I У I соответственно и

 

 

 

 

 

 

 

 

b о b = Ьф\ + ЬФъ

 

 

 

 

 

 

 

 

b ° В =

b\B{ + &2Д2,

 

 

(13.40)

 

 

 

 

 

В о В = В\Ві -f- B2 B2 .

 

 

Тогда симметрическая матрица

 

 

 

 

 

 

 

b ° b - { b ° B ) { B ° B ) +{boB)'

 

(13.41)

является

неотрицательно определенной.

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть е1= [ец ,

. ..,

e]É],

е2 = [е2І, ...

. . . ,

е2;] — независимые

гауссовские векторы

с независимыми

компонентами,

Мег/ =

0,

Dei;= l .

 

 

 

Положим

 

 

 

Ѳ=

bxе, + Ь2г2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I =

ßjEi + В2е2.

 

 

 

Тогда согласно

(13.22)

 

 

 

 

 

 

 

b о ь - {Ьо В)

{В о В)+ (Ь о В)" =

соѵ (Ѳ, Ѳ ІІ),

что

и

доказывает

лемму,

поскольку

матрица

ковариаций

соѵ(Ѳ, ѲII) является неотрицательно определенной.

 

Л е м м а

13.3. Пусть

Р(пхп)> P(mxm) — неотрицательно опре­

деленные симметрические матрицы и Q(mxn)—произвольная мат­ рица.

Тогда система линейных алгебраических уравнений

 

 

(Р +

Q*PQ) X — Q*Py

 

 

(13.42)

разрешима (относительно x) для любого вектора

у — (г/,,

. . . ,

ут)

и вектор

 

 

 

 

 

 

 

 

x ^ i P + Q'PQ^Q'Py

 

 

(13.43)

является одним из ее решений.

Ѳ— (Ѳь . . . .

Ѳт ), е =

(е1, ...

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

. . . , е„) — независимые

гауссовские

векторы

с

МѲ — 0,

соѵ(Ѳ, Ѳ)=Р, соѵ (е, г) = Е.

Положим

g = Q*Q+

R]/2&.

Тогда

А)і = соѵ(Ѳ, i) = PQ, D || =

cov(|,

!) =

/? + Q*PQ,

причем,

как

доказывалось в теореме 13.1, система

/)ѳ? + С йц = 0

разрешима относительно

С

и

C — —-DbiD^. Применительно

к рассматриваемому случаю это означает, что система

 

 

PQ + C(P + Q*PQ) = 0

 

 

(13.44)

разрешима относительно С и С = — PQ[P + Q*PQ]+.

§ 1]

ТЕОРЕМА О НОРМАЛЬНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ

503

 

Из

разрешимости системы

(13.44) следует

и разрешимость

(относительно С*) сопряженной системы

 

 

 

 

Q7> + [/? +

Q*PQ]C* =

0.

 

(13.45)

Пусть теперь у — произвольный вектор.

Положим х = — С*у.

Тогда,

умножая (13.45) на ( — у), получим (/? +

 

Q*PQ) х = Q*Py,

что и доказывает лемму.

(Ѳ, (t), . . . , Qn(t)),

 

t — 0,1.........—

Л е м м а 13.4. Пусть 0, =

 

гауссовский марковский процесс с вектором математических

ожиданий г(^) =

МѲ< и корреляционной матрицей

R(t,

s) =

M № - r ( t ) ) ( e s - r ( s ) n t, s =

0, 1, ...

Тогда найдется последовательность независимых гауссовских

векторов е (/) = (е, (/), . . . ,

en(t)), * >1 ,

с Ме ^ О и М&fit^E(nxn)

таких, что

 

 

 

 

 

Ѳ ж = И * +

1 ) - Ж * + 1,

t)R+(t,t)r(t)} + R( t +

1, 1 )R+(t,t) Qt +

+ [R(t +

h t + l ) - R ( t + I, t)R +(t, t)R'.(t+

1, t)]Xß e ( f + 1).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Положим

Vt+i — Ѳ/+і — M (Ѳ*+і | ѲД

По теореме

о нормальной

корреляции

 

 

М[Ѳ<+і |Ѳ,] = r { t + \) + R { t + 1, t )R+(t, t)(Qt - r(t)) .

Отсюда следует, что векторы Vt,

 

1, являются независимыми

гауссовскими. Действительно, при

t > s в

силу

марковости

процесса (ѲД / == 0,

1, . ..,

 

 

 

 

 

 

М [Ѳ, -

М (0, I Ѳ,_,) I Ѳ„ Ѳа_,] -

м [ѳ, 10J -

М [Ѳ, 10J =

о,

и, следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

MVtVl = М [(Ѳ/ -

М (Qt I Ѳ/_,)) (Ѳя -

М (0, | Ѳ,_,)Л =

 

 

=

м {М [Ѳ, -

М (0, I ѳ,_і) IѲ„ Ѳ,-,] [Ѳ, -

М (Ѳ,| Ѳ,_і)П = 0.

Аналогично проверяется равенство

М ИД ,— 0 при

t <

s.

Далее, из (13.22) находим, что

 

 

 

 

W t+iVt+i = R ( t +

1, t

1) — R(t

1, t) R+ (t, t) R

(t

1, t).

Значит, в силу свойства 3 для

гауссовских векторов найдется

гауссовский

вектор

еі+і такой, что (см. (13.19))

 

 

У/+! = [* (* +

U

+

1) — /?(/ + l , t ) R+(t,t)R>(t + l,t)\'/2B(t+ 1),

 

 

 

Ме;+і = 0,

cov (e/+i, б/+і) =

Е.

 

 

Н е з а в и с и м о с т ь г а у с с о в с к и х в е к т о р о в e^, / = 1 , 2 , . . . , с л е д у е т

Смотрите также файлы