Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 268

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

504

УСЛОВНО-ГАУССОВСКИЕ

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

(ГЛ. 13

 

из независимости векторов Vt, t = 1,2,

.. .,

и способа построе­

ния векторов et в соответствии с формулой (13.20).

 

 

Требуемое рекуррентное уравнение для Ѳ, вытекает теперь

из формул для

Vt+i и

представления для условного математи­

ческого ожидания М(Ѳ*+і|Ѳ,).

 

 

 

 

 

 

§ 2. Рекуррентные уравнения фильтрации

 

 

для условно-гауссовских последовательностей

 

 

1. Пусть на вероятностном

пространстве (Q, , Р)

задана

частично наблюдаемая

случайная последовательность (Ѳ, g)=

= (Ѳ„ It), t — 0,

1 ,. ..,

 

 

 

 

 

 

 

 

Ѳ, = (Ѳі(0, . ...

ѳ

к 0( ),

h ^ i h i t ) ,

. . . .

hit)),

 

определяемая рекуррентными уравнениями

 

 

 

Ѳ/+і — ао it, g) +

Я] it, |)Ѳ, +

b{(t, |)e, (t +

1) +

b2(t,

|)e 2(/ +

1),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(13.46)

I/+1 — A)(/, І) +

At it, I) Ѳ, +

B{ (t, g) 8j (/ +

1) + B2 it, g)e2 it + 1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(13.47)

Здесь e,(0 = (en (4 ..., elk(t)), e2(t) = (e21it), ..., e2/(/)) — неза­ висимые гауссовские векторы с независимыми компонентами, каждая из которых нормально распределена, N (0, 1),

 

 

 

а0 it,

I)

(а0, it, g),

...,

О-ok it, g))>

 

 

 

 

AQ(t,h = iA(nit,Z),

. . . .

Aol(t,h)

 

— вектор-функции и

 

 

sbf! it, g) I,

 

 

bl it,

і) =

II ьУ, it, 1) II,

h

it, 1) =

ß, it, I) =

IIM? it, І) |,

B2 it,

i) =

II B?l it, l) I

I a, (t, g) =

1aty it, I) II,

A \(t, g) =

|| A?} it, g)||

— матричные

функции,

имеющие

порядок k \ k ,

kX, l , l~Xk,

l УК. I,

k X k,

l X k соответственно.

 

 

 

 

Любой из элементов этих вектор-функций и матриц пред­ полагается неупреждающим, т. е. tF\ = o {g0, ..., g^-измеримым

для каждого t = 0, 1, ...

Система (13.46), (13.47) решается при начальных условиях (Ѳ0, Іо), гДе случайный вектор (Ѳ0, g0) предполагается незави­ сящим от последовательностей (е,, е2) = [е, (t), е2(/)], /==1, 2, Относительно коэффициентов системы (13.46), (13.47) и на­

§ і

)

 

 

РЕКУРРЕНТНЫЕ

УРАВНЕНИЯ

ФИЛЬТРАЦИИ

 

 

ggg

чальных

условий

(00, | 0)

на

протяжении всей главы будут при­

няты следующие допущения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(I)

Если

g(t,Q — любая

из

функций *) аОІ, Л0/,

М/,

bfj, В{ц,

В?}, то

 

Ml g(t, 5) р<оо,

 

/ =

0 , 1 , . . . ;

 

 

(13.48)

 

 

 

 

 

 

 

 

(II)

с вероятностью единица

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( II I)

М (II ѳ0IP + II ІоII2) <

оо,

где

для

х = (хи . ..,

хп)

 

 

 

 

 

 

 

\ \ x \ f = y i x]-,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1=1

 

 

 

 

 

 

 

 

( IV ) условное распределение

Р(Ѳ0<7а|£а)

является

(Р-п. н.)

гауссовским.

 

 

— (III)

вытекает, что при любом / < оо

 

Из предположений (I)

 

 

 

 

 

M (||e j2 +

||U 2) <

оо.

 

 

 

(13.49)

 

2.

 

Последовательность (Ѳ, |)

предполагается частично наблю

даемой, и задача фильтрации для нее состоит в построении

оценок

для

ненаблюдаемых

 

значений

Ѳ,

по

наблюдениям

U = ( k ........ !,)• Пусть Ft,(o) =

P(0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

“

м (Ѳ, I srf).

у,

=

м [(Ѳ, -

m,) (Ѳ, -

m,y | Г \\.

Очевидно, что в силу предположения (13.49) апостериорное

среднее

m, =

(m,(/), . . . ,

 

(/))

является

оптимальной

оценкой

(в

среднеквадратическом

смысле)

вектора

Ѳ,

по

значениям

іо=

о’

• • ■> І*]’

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S p M Y , =

 

М [ Ѳ , ( 0 —

m , ( О ] 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дает величину ошибки оценивания.

 

 

 

 

 

 

 

 

В случае произвольной частично наблюдаемой последова­

тельности (Ѳ, £)

отыскание

вида

распределения

Fpt{a) и его

параметров

mit

yt представляется

весьма

 

 

SQ

задачей.

трудной

Однако для последовательностей (Ѳ, £),

управляемых системой

(13.46), (13.47), при дополнительном предположении гауссовости

условного распределения

 

Р(Ѳ0^ а | | 0),

решение задачи филь­

трации (т. е. отыскания mt и у,) становится эффективным.

 

В основе этого лежит следующий

 

результат,

аналогичный

теореме

11.1

для

случая непрерывного

времени.

 

 

 

*) Для простоты записи иногда мы опускаем аргументы у рассматри­ ваемых функций.

506

УСЛОВНО-ГАУССОВСКИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

[ГЛ. 13

Те о - р е ма 13.3. Пусть выполнены предположения (I) — (IV). Тогда последовательность (Ѳ, £), управляемая системой (13.46), (13.47), является условно-гауссовской, т. е. условные распреде­ ления

 

Р (Ѳ0^ ао’ • • •'

^ a t I

 

являются

(Р-п. н.) гауссовскими

для

каждого t = 0,

1, ...

Д о к а

з а т е л ь с т в о . Установим

сейчас лишь

гауссовость

условного распределения Р(Ѳ<^ я | 5 г |). Для целей фильтрации,

рассматриваемой в этом параграфе, этого достаточно. Доказа­ тельство для общего случая будет дано ниже, в п. 6 § 3.

Доказательство будем вести по индукции. Предположим,

что распределение

F^t (а) = Р(Ѳ, <1 а 1 н о р м а л ь н о , N{mt, y^ .

В

силу

системы

(13.46),

(13.47)

условное распределение

Р(Ѳ<+І 5^ а,

| /+і ^

х) 5Г), Ѳ, = è) является

гауссовским с

векто-

ром

математических

ожиданий

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

aQ+ a{b \

 

 

 

 

 

A j

+ A lb_=( A q +

A{bJ

(13.50)

и матрицей

ковариаций

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( b o b

boB\

 

(13.51)

 

 

 

 

 

B

\ ( b o

в у

BoBJ ’

 

 

 

 

 

 

где b ° b — b\bi + bib?,

bo В — biBi + ЬгВъ,

В° В — В\В\ + В%В\,

Пусть ѵ, = (Ѳ„ | (),

г = (ги . . . ,

z k+L). Тогда условная

харак­

теристическая функция вектора ѵ/+1 задается формулой

 

М(ехр[г2 *ѵі+1] J3~\,

Ѳ4) =

 

 

 

 

 

 

 

: ехр \іг '

(Л0 (t, I) +

Л, (t,

£) Ѳ,) -

\ г*В (t, \) 2 .

(13.52)

По предположению

индукции

 

 

 

 

 

M (exp[iz*(^(f, i)0 t) J |^ ) =

 

 

 

 

 

 

■exp iz

А , (t,

i) m t -

2 * (Л, (t, I) ytA\ (t, £)) z)

(13.53)

Из (13.52) и (13.53) получаем

М(ех р [гг\+1]|^~|) =

=exp [iz (Aä (i, l) + Л, (t, I) mt) — у z*B (t, g) z ~

-у z* ( ^ ( U ) yHI(*. &))*].

§ 2]

 

 

РЕКУРРЕНТНЫЕ

УРАВНЕНИЯ

ФИЛЬТРАЦИИ

 

 

 

507

Таким образом,

условные

распределения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р (®#+1 ^ а’ ^+i ^

л: I

 

 

 

 

(13.54)

являются

гауссовскими.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим

теперь

вектор

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ч = [0 ,+, -

М (01+| I

Г !)] -

с [S,tl

- М ( |,tl I Г})}.

 

 

В силу теоремы о нормальной корреляции (и замечания к ней)

найдется матрица С такая, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м [Т] (lt+l -

М (g,+11&■}))' I згц =

О

(Р-н. н.).

 

 

Отсюда

следует,

что

условно-гауссовские

векторы

г)

и

£<+,

(при условии

5^)

независимы. Поэтому (z =

(zv

. . . .

zkJj

 

М[ехр(І2‘Ѳ,+,)|ГЕ, |, +|]=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= М(ехр(іг-[М(Ѳ,+,|;Г і) +

С (І,+, - М ( і , +,|Г |) ) +

ч]|гГІ, I,+l] =

 

=

ехр(/2*[М (Ѳ,+І I S-l) + С (|,+l -

M (|,+, I ЦГЩ) X

 

 

 

 

 

 

 

X M (exp(i2,'n)|#'f, |, +l) =

 

 

 

 

 

 

=

exp(І2 - [M (0,+l I iTS) + C ( ! „ , -

M (|,+l 12F-*))]) X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

XM (exp( і г \ ) \ Г \ \ .

(13.55)

В силу (13.54) условное распределение Р ( р ^ //

|£Г|) является

гауссовским. Вместе с (13.55) это и доказывает гауссовость

условного распределения

Р (Ѳ*+і <1 а |^7І+[).

 

распределения

Итак,

для

всех

t =

0, 1,

...

условные

Р (Ѳ <^а|#"<)

являются гауссовскими.

 

 

 

если

при

З а м е ч а н и е .

Аналогично

показывается, что

некотором s распределение Р(Ѳ5< Іа \@~1) является гауссовским,

то таковыми же

будут

и условные распределения Р ( 0 * ^ а ] ^ /)

при

s.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

позволяет

3.

 

Условная гауссовость последовательности (Ѳ, |)

вывести для параметров mh yt замкнутую систему (ср. с § 1

гл.

11)

рекуррентных уравнений.

 

 

 

 

 

параметры mt

Т е о р е м а

13.4. В предположениях (I) — (IV)

и yt определяются из рекуррентных уравнений *)

 

 

 

 

mt+l = [aQ+ а^і,] +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

[6 о В +

а,ytA\} [ß 0 В + А,ytA\Y [£<+1 — А0

Ахт^,

(13.56)

Y/+i

= [ а ,у (а; +

Ь о 6 ] -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

[Ьо В +

a{ytA\\ [ВоВ + A xytA\}+ [b<>B + axytA\}\

(13.57)

*) У коэффициентов а0, А 0, .... b ° b , ... опущены аргументы (/, |).

Смотрите также файлы