Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 267

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

508

УСЛОВНО-ГАУССОВСКИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

[ГЛ. 13

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Найдем сначала параметры условного

гауссовского распределения

 

Р (Ѳ<+1 < а ,

gt+I < * IЗГ\) =

М [Р (Ѳ<+1 < а, g(+1 < * |Ѳ„ Т ) ) | Г)].

Всилу (13.50)

м(Ѳ,+1 I Sri) = а0 (t, g) + а, (t, g) mv

 

 

М (g,+I I П~\) =

A0 {t, g) + Л, (t, g) mt.

 

(13-58)

Для

нахождения

матрицы

ковариаций

воспользуемся

тем, что

в соответствии с

(13.56) — (13.58)

 

+

 

(t,

 

 

 

Of — (ѳ<+і

\П~}) =

(t,

I) [0*(t—

 

 

 

 

 

+1

М

(t,

I)

 

mt\

 

 

 

 

+ 1),

 

i/+.-M(g<+,

\sri)+

 

e,

+ 1) +

b2

 

g) e2 (i

 

 

+

B{ it* Ю6i (t +

1) +

B2 (t, I) e2 (/ + 1).

 

 

 

 

= Al(t,

 

 

 

 

+

 

 

 

 

Отсюда получим

dn = c°v(0,+I) 0(+| \3Tf) = al (t, l) y ta\{t, l) + {b°b)(t, g),

rfi2 = cov(0;+i> ii+i \Sr\)=zal {t, l)4tA\{t, £) + (6°ß)(f, g),

rf22==cov(S(+i* £<+i

=

D \ tAl(t, l) + (BoB)(t, g).

Поскольку условное (при условии ST\) распределение вектора

(Ѳ<+1, g<+1) нормально, то в силу теоремы о нормальной кор­ реляции (и замечания к ней)

м (ѳ 1+1Щ

| , +,) =

 

ал!ль„ - м (£,+, |ггЙ)

 

И

= м (0,+|\лЬ+

(із.ео)

 

 

 

 

 

 

 

 

соѵ(Ѳ<+і,

g<+1) =

dn — d\2d22d\2.

(13.61)

Подставляя сюда выражения для

M(0,+I|lF|), M(g<+1

dn, diо и

d22,

из (13.58), (13.59) получаем рекуррентные урав­

нения (13.56),

(13.57).

 

 

 

 

С л е д с т в и е 1.

Пусть

 

 

 

 

ао Ü,

%) =

«о(0 +

а2 (0 h>

А0(t, g) =

А0(t) + Л2 (t) It,

 

a, (t,

g) =

а, (0,

 

Ai it, g) =

Л, (/),

 

М*. S)= M0.

 

 

 

i = 1,2,

где все функции a}{t), Aj(t), bt {t), Bi(t), / = 0, 1, 2 и i — 1, 2,

являются лишь функциями времени t. Если вектор (Ѳ0, g0) является гауссовским, то процесс (Ѳ#, g,), t — 0, 1, 2, . . . , также

§ 21

РЕКУРРЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ

 

 

 

509

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

будет гауссовским.

 

При

этом

 

ковариация

yt

не зависит

от

«случая» и, следовательно, Spy* определяет среднеквадра­

тическую

ошибку

оценивания

 

вектора

Ѳг

по

 

наблюдениям

U = (£<р • • • ’ h)-

 

2.

 

Пусть

частично

наблюдаемая последова­

С л е д с т в и е

 

 

тельность

(Ѳ, I) =

(Ѳ/,

It),

t — О,

1,

 

удовлетворяет при

 

1

системе уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ѳг+і — ао (t, |) +

а{(іt,

|) Qt -f ö, (/,

g) e, ( *+! )

+

b2(t,

|) e2 (t +

1),

 

h = A0(t-[,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(13.62)

| )

+

Я

, ( /

- 1

 

,

D e

^

+

ß

.

a

- l ,

 

i ) e

, ( / ) +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

ß 2( / - l ,

É)e2(/)

(13.63)

с P (Ѳ, <

a \ti) ~ N (mu Yi).

 

 

 

 

система уравнений для

Хотя

формально

 

рассматриваемая

Ѳ;+і> It и не укладывается в схему (13.46), (13.47), тем не менее

при отыскании уравнений для mt=

М (0f | SFf) и yt=cov (0^, 0f |

 

можно воспользоваться результатами теоремы 13.4. В самом

деле, из (13.62), (13.63) находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

%t+1— Л) (С £) +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ArA\{t, I) [a0(f, £) +

ах(t, t) Qt +

b\ (t, I) б! (t +

1) +

b2(t, £) e2(^+1)] +

Обозначая

 

 

 

 

+ B\ {t,

£) ei (t +

1) +

B2 (t, I) e2 (t +

1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Aq

 

Aq

А ха0,

 

A\

А]й\,

 

 

 

,jg

 

 

В ^ - А ф і + Ви

 

B2 = Äxh2 + B2,

 

 

 

 

 

получаем, что последовательность (Ѳ,

£)

подчиняется

уравне­

ниям (13.46), (13.47), а mt и yt удовлетворяют уравнениям

(13.56), (13.57).

 

3

(фильтр

Калмана — Бьюси).

Пусть

гаус­

С л е д с т в и е

 

совская последовательность (Ѳ, |) удовлетворяет уравнениям

 

Ѳ<+і =

н0(t) +

ах(і) Of +

bx(t) e, (t +

1) +

b2(t) e2(t + 1),

(13.65)

%t — A0(t) +

A[ (t) Qt +

Bi (t) 8i (0 +

B2 (t) e2 (t).

 

 

(13.66)

Тогда

в силу

(13.56),

(13.57)

и предыдущего

следствия mt

и yt удовлетворяют системе уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

Щ+і = К W + а\ (0 mt] Ру(0 Qy (t) X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X [£,+. - A 0( t + l ) - A i ( t + D

a0(t) - A

x{t+ 1) а, (0 mt],

(13.67)

Y,*, = f r

(t) Yfr (t) +

bob (0] -

Py (t) Qy (t) Py (t),

(13.68)

510

УСЛОВНО-ГАУССОВСКИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

 

[ГЛ. 13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ру (0 = 6, (t) [Л, (t +

1) Ьх (t) + B2(t+

1)]* +

 

 

+ Ы *)[Л ,(/+

V b2(t) + B2(t +

1)Г +

М 0 ѵ Х (< М ^ +

О,

(13.69)

Qy (t) — [ Л] [t +

1) b{ (t) + ßi (t +

1)] [ Л, (t + 1) b{(/) + Bi (t +

1)]* -f-

+

[Ai (t + 1) b2{t) + B2(t + 1))[Л, (t + 1 )b2(t) -+- B2(i + 1)] +

 

 

 

 

+

Л1( Н - 1 ) а ,(/) ѵ Л ^ ) Л1 ^ +

О-

(13.70)

С

помощью

теоремы

о нормальной корреляции

для

m0 =

= М(Ѳ01go) и у0 =

соѵ(Ѳ0, Ѳ0 |g0) получаем следующие выражения;

m0 =

МѲ0 + соѵ (Ѳ0,

Ѳ0) ЛІ (0) [Л, (0) соѵ (Ѳ0> Ѳ0) А\ (0) + В о В (0)]+Х

 

 

 

 

 

Х [ ? о - Л ( 0 ) - Л 1(0)МѲ0],

(13.71)

Yo =

соѵ (Ѳ0, Ѳ0) — соѵ (Ѳ0, Ѳ0) Л! (0) X

 

 

 

X

[Л, (0) соѵ (Ѳ0, Ѳ0) ЛТ (Ѳ) + В о В (0)]+ Л, (0) соѵ (Ѳ0, Ѳ0).

(13.72)

З а м е ч а н и е .

В предположениях теоремы условное рас­

пределение Р(Ѳі ^ й |5 г |,

Ѳs =

ö), t ^ s , также гауссовское и его

параметры та(/, s) =

М (Ѳ( | ЗГ\, 0s =

а) и уа (t, s) — соѵ (Ѳ,, Ѳ, |

Ѳ,. = а)

удовлетворяют

при t ^ s

системе уравнений

 

та (t +

1 >s) =

[ß0(U Ю+ (t\ {t, I) tna(t,

s)] +

 

 

 

 

 

+

[(ft ° В (/,

І) +

fl, (t,

l) уa (t, S)

A \ (t, g)] X

 

 

 

Х[Я«Я(*,

І) +

At (t, l ) y tA](t,

g)]+ X

 

 

 

 

X

[g,+i -

A0 (t, g) -

Л, (/, g) ma(t, s)],

(13.73)

Yfl(^+

1,

s) =

[a,(f, | ) yAU

s) fl*(t> l) +

b°b{t,

1 ) ] -

 

 

 

-

[ft0 В (t, g) +

üi (t, g) Ya (/,

s) A* it,

g)] X

 

 

 

X [ß * В (t,

g) +

A, (t,

g) у a(t, s) ЛІ (t, g)]+ X

 

 

 

 

X[boB(t,

g) +

fli (t, l)Va(t,

s)AHt, g)]

(13.74)

c ma(s,

s) = a, ya(s,

s ) ~

0.

уa(t, s)

при t ^ s

не зависит от а.

Из

(13.74)

следует, что

4.

1,

Отметим

ряд

полезных

свойств

процессов

mt и yt

t — 0,

. .. ,

предполагая выполненными условия теоремы 13.4.

С в о й с т в о 1. При любом t — 0,

1, ...

величины mt и (Qt—mt)

некоррелированы, т.

е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М {т \ (Ѳ( — mt)} = М {(0t — mty mt) = 0,

 

и, следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M 0ft =

Мrntm t -f М (0f — m tJ

(Ѳ^ — m ty

(13.75)

§ 2]

р е к у р р е н т н ы е у р а в н е н и я ф и л ь т р а ц и и

S i I

С в о й с т в о

2.

Условная ковариация yt не

зависит явно

от коэффициентов

a0(t, I) и A0(t, І).

 

С в о й с т в о

3. Пусть Ѵо и все коэффициенты системы (13.46),

(13.47), за

исключением, быть может, коэффициентов a0(t, £)

и Л0(С I), не зависят

от «случая». Тогда условная ковариация yt

является функцией лишь времени і и yt =

М {(Ѳ, — т() (Ѳ, — т,)*}.

В этом случае распределение величины Д, = Ѳ, — mt нормально,

N ( 0, yt).

 

4.

Оценка т( является

несмещенной:

 

С в о й с т в о

 

 

 

 

 

М т, =

МѲ„

t = 0,

1, ...

(13.76)

5.

В

следующей

теореме

для

последовательности g,, t —

— О,

1, . . . ,

дается

специальное представление (ср.

с теоре­

мой 7.12),

которое

в дальнейшем будет не раз использовано.

Т е о р е м а

13.5. Пусть выполнены предположения (I) — (IV).

Тогда

найдутся

гауссовские векторы

ё (0 = (ёі (/),

. . . , ё/()))

с независимыми координатами и с

 

 

 

 

 

Мё(*) =

0,

М ë(t)e, (s) = ö(t — s)E{iXi}

(13.77)

такие, что (Р-п. и.)

£<+і = A0(t, £) + Ai (t, I) m, +

 

 

 

 

 

 

 

 

+

[(ß о В) (t,

g) + 71, (t,

g) vH! (t,

ë (t +

1).

(13.78)

Если,

кроме того,

матрицы

(В о В) (t, g) +

71, (/,

g) ytA^ (t, g)

не вырождены (Р-п. н.),

/ — О, 1,

. . . ,

то*)

 

 

 

 

 

 

=

 

 

t = 1 , 2 , . . .

 

 

 

(13.79)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Предположим сначала,

что при всех

t — 0, 1,

...

матрицы

(B°B)(t, g)

положительно

определены.

Тогда, поскольку матрицы 71, (),

%)ytA\(t, £)

по крайней мере

неотрицательно определены, то матрицы [(ß о ß) (t,

£) -f Л, (t, £)Х

X y tA\ (t, £)]1/2

положительно определены и, следовательно, имеет

смысл случайный вектор

 

 

 

 

 

 

 

 

ë ( t + l ) = [(BoB)(t, £) +

Л,(), l ) y tA\{t,

|)] -'/2Х

 

 

 

 

X K ( f ,

l){Qt - m t) + Bx{t, S)e,(H -

l) +

ß 2(f,g)e2(H -

1)].

(13.80)

Условное (при условии SEf) распределение вектора Ѳ, со­

гласно теореме 13.3 является гауссовским, а случайные векторы е[()-|-1) и е2()+ 1 ) не зависят от £о = ( |0, . . . . £,). Поэтому

В Все рассматриваемые сг-адгебры предполагаются пополненными мно­ жествами из меры нуль.

512

УСЛОВНО-ГАУССОВСКИЕ

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

 

[ГЛ. 13

из (13.80) следует,

что

условное

распределение

Р (б (/ + 1 )^

 

является

гауссовским

и,

как

нетрудно

подсчитать,

 

 

 

 

 

М [ ё ( / +

1)|£ І ]

= 0,

 

 

(13.81)

 

 

соѵ(ё(/ +

1),

ё(/ +

1 ) |^ ) = £(,х«.

 

 

(13.82)

Отсюда видно, что параметры условного распределения

вектора ё(/ + 1) не зависят от условия,

а значит, и (безусловное)

распределение

вектора

ё(< +

1)

также

гауссовское.

При этом

 

Мё (/

1) = 0,

соѵ (ё (/ + 1),

ё (/ + 1)) =

Е(іхі)-

Аналогичным образом, используя теорему 13.3,

можно по­

казать,

что при

любом

/

совместное распределение векторов

(ё(1),

ё(0)

также гауссовское с соѵ (в (и), г{ѵ)) — 6{и—ѵ)Е.

Отсюда следует независимость векторов ё(1), . . . ,

ё (t).

Из (13.80) и (13.47) очевидным образом вытекает требуемое

представление

(13.78).

(13.79)

заметим

прежде

всего, что со­

Для

доказательства

гласно (13.78)

 

 

 

5*1g

f i 5" 9,

 

 

 

 

(13.83)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если матрица (B°B)(t, |) + Л, (t, ^)ytA\{t, £)

не вырождена,

то опять-таки в силу (13.78)

 

 

 

 

 

 

 

 

é(t) = [ ( B o B ) ( t - l ,

+

 

 

1, i)y tA\{t— \, Ю]-І/2Х

 

 

 

 

 

Xllt-A0(t- 1, D-Aiit- 1,

Поэтому $Г\ Э

 

E\ что вместе

с (13.83) доказывает сов­

падение а-алгебр

£Г| и 5г1°’е), t =

1,

2, ...

 

t

матрица

Предположим

 

теперь,

что

при

некотором

(B°B){t,

I) -f- А, (t,

l) y cA*(t,

l)

вырождается (с положительной

вероятностью).

 

 

 

случае

за

счет расширения основного

Построим (в крайнем

вероятностного пространства) последовательность независимых гауссовских случайных векторов z(f)= {zi (f) , £/(/)), M z(/)=0,

Mz(t) z*(t) — Ецхі), независимых также

от

процессов в) (t),

z2(t),

t ^ O , и векторов (Ѳ0, £0). Положим

 

 

 

 

ё (/ +

1)

=

D+ (t, 1) [Л[ (/, g) (Ѳ, - mt) +

(t,

I) e, (/ +

1) +

 

 

+

B2 (t, |) e2 (t -f 1)] + (E — D+ (t, I) D (t, D) z ( t +

1), (13.84)

где

D(t,

l) =

[{B°B)(t, !) +

A{(t, Q y tA\(t,

Ю]ѴаНетрудно

не­

посредственно

убедиться в

том, что последовательность ё(1),

ё(2),

...

 

так

определенных

векторов

обладает

свойствами,

указанными в формулировке

теоремы.

 

 

 

 

Смотрите также файлы