§ 3] |
ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИНТЕРПОЛЯЦИИ |
|
513 |
Для доказательства представления (13.78) достаточно, |
очевидно, показать, что |
|
|
|
|
|
|
D(t, g)ë(H - 1) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
= M U |
|
+ |
|
|)е ,(Ң - |
1) + B2(t, g)e2( /+ |
1). |
(13.85) |
Умножая левую и правую части в (13.84) на ü(t,Q, |
получаем |
D (t> I) ë (t + 1) — |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
l) (Ѳ, - mt) + |
ß, (/, g)e,(f + |
l) + B2(t, g)e2( /+ |
1 )] - |
- [ E - D (t, ЮD+ (t, |
g)] [ A t (t, g) (Ѳ, - |
mt) + |
ß, (/, g) e, ( f + l ) + |
+ ß2(M )e2a + |
l)] + |
Z )(M )[£ -D *(^g)£ > (/>l)]z (f+ 1). |
(13.86) |
По первому свойству псевдообратных матриц D[E — D+D\=■- |
— D — DD+D = 0, и, следовательно, |
(Р-п. н.) |
|
|
|
D (t, |
£) [Б - |
D+ (t, g) D {t, g)] 2 (t + |
1) = 0. |
|
(13.87) |
Обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ (t + 1) - |
[E - |
D ((, |
l) D+ (t, |
I)] [ A i |
(t, |
g) (Ѳ, - |
mt) + |
|
|
Тогда |
|
|
|
+ |
Bi(t, |
i ) ei( t + l ) + B2(t, l)e2(t+ 1)]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M£(f + 1)£*(* + |
1) = |
M{M (£(f H- l)g*(/+ 1)1^1)} = |
|
|
= M {(e - |
d d +) d d (e - |
d d +) } = m {{d d * - d d +d d *){e - |
d d +)}=* |
= M [(DD* — DD*) iE — DD+] = 0.
Следовательно, £ (t + |
1) = 0 (Р-п. н.), что вместе с (13.86), (13.87) |
доказывает (13.85). |
|
|
|
З а м е ч а н и е . |
В случае невырожденных матриц В о В (t, g) + |
+ Ai(t, |
l ) y tA\(t, |
I), |
0, |
|
|
|
|
|
= |
t = 1 , 2 , . . . ; |
поэтому |
последовательность |
ë — (ë(l), |
ë(2), . .. ) естественно |
(по аналогии с определением, |
данным |
в п. 2 § 4 гл. 7) назвать |
обновляющей последовательностью.
§3. Прямые и обратные уравнения интерполяции
1.Для случайной последовательности (Ѳ, g)= (0f, l t), t = 0, 1, ....
управляемой уравнениями (13.46), (13.47), под интерполяцией понимается задача построения оптимальных (в среднеквадра
тическом смысле) |
оценок вектора Ѳ5 по наблюдениям |
— |
= {Іо> • • • > !(}> |
s - |
|
17 Р. Ш. Липцер, А. Н. Ширяев
514 |
УСЛОВНО-ГАУССОВСКИЕ |
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ |
[ГЛ. 13 |
|
Обозначим для t ^ s |
|
|
|
т (s, t) = М (9SI STlt), |
у (s>t) = cov (es, I STlt) |
|
вектор средних значений и матрицу ковариаций условного
распределения lla (s, = Р (Ѳ3 ^ а I Ясно, что m(s, t) является оптимальной оценкой 0s по 1‘0. Для этой оценки
можно выводить как прямые уравнения (по t при фиксирован ном s), так и обратные (по s при фиксированном t). Прямые уравнения показывают, насколько улучшается интерполяция с накоплением данных, т. е. при увеличении t. Обратные урав
нения представляют |
интерес |
в |
тех |
статистических задачах, |
где известен вектор |
Ео = {Е0, . . . . |
Е<} |
и по нему надо оценивать |
ненаблюдаемую компоненту Ѳ5 |
для всех s — 0, . . . , і. Обратные |
уравнения дают удобный рекуррентный способ подсчета оценок:
m(t — 1, /) по m(t, |
t) = mt и %t, m(t — 2, t) |
по m (t — 1, t), m (t, t), |
E l - 1 , \ t И T. Д. |
|
предполагать |
выполненными |
предположения |
2. |
|
Будем |
|
( I ) - ( I I I ) из § 2. |
|
|
|
|
|
интерполяции |
полезна сле |
Для |
вывода |
прямых уравнений |
дующая |
|
|
|
|
Если |
условное |
|
распределение |
IIa (s, s) = |
Т е о р е м а 13.6. |
|
= Р (Ѳ5 ^ |
a |
I ^ ! ) |
нормально (Р-п. н.), то таковы же и распреде |
ления |
Пa(s, |
О = |
Р ( Ѳ ,< а |0 І ) при |
|
s. |
|
|
|
Для |
доказательства |
нам понадобится |
|
|
n a (s, s) — |
Л е м м а |
13.5. |
Если |
условное |
распределение |
|
= P(0s ^ a | 5 r !) |
нормально, то условное |
математическое ооки- |
дание |
|
|
ma {U s) == М (Ѳ* 1$FI, Qs = a), |
s, |
|
|
|
|
|
|
|
допускает представление |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m a (*» 5) = |
Фіа + |
’té» |
|
|
(13 .88) |
где матрицы, *) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i-i |
|
|
|
|
|
|
E(kXk)’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф* = |
II {öl (и. Е) — [Ъ° В (и, |
I) + |
а, (и, |
Е) у {и, s) А*і (и, |
|)] X |
U=±S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X [(л о В) (и, |
і) + |
Л, (и, |
I) у (и, S) А* (и, |
|)]+ л, (и, |
|
|)} (13.89) |
i-і
*) Под Аа понимается произведение матриц At^ x ... As.
§ 3] ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИНТЕРПОЛЯЦИИ 515
и векторы
t- 1 |
|
^ = 2 Ф^“ 1К |
(н>£) + \(Ь0 в ) («> I) + а\ («. I) У(«, s) («, І)1 X |
X[(ß ° в (и, g) + |
Л, (и, g) у (и, S) Л! (и, g)]+ (gB+1 - Л0 (и, I))} (13.90) |
не зависят от а. Матрицы у (и, s), u ^ s , определяются из уравнений
у (и, s) = [а, (и — 1, l)y{u — 1, s) а* (и — 1, g) + (Ь ° Ъ) {и, g)] —
— [(bo В) (и — 1, I) + |
а, (и — 1, g) у (м — 1, s) А\(и — 1, І)] X |
|
Х [ ( В о В ) ( и - 1, g) + |
Л, (м — 1, g ) y ( n - l , |
s) Л* (и — 1, g)]+ X |
Х[(Ь°В)(и — 1, g) + a,(u — 1, g) Y(« — l.s M H « — 1,|)Г |
(13.91) |
с начальным |
условием у (s, s) = 0. |
|
|
отметим, |
что |
соответ |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Прежде всего |
ствующий аналог представления (13.88) |
был дан |
в лемме |
12.2 |
(ср. (13.88) с (12.79)). |
|
к теореме |
13.4 |
ma(t, s) |
и уa(i, |
s) = |
Согласно |
замечанию |
= cov(Qt, 0f 1 |
Ѳ= а) удовлетворяют уравнениям (13.73), |
(13.74) с начальными условиями ma(s, |
s) = a, |
ya(s, s) = 0. |
По |
скольку ya(t, |
s) не зависит от а, |
то |
будем |
писать |
у (t, |
s) = |
= Yа(*. s)- |
|
|
|
из (13.73) по индукции. |
Представление (13.88) выводится |
Д о к а з а т е л ь с т в о |
т е о р е м ы |
13.6. |
Покажем |
сначала, |
что гауссовским является условное |
распределение Р (Ѳ5 |
а, |
I, <1X |£Г|_,). |
Для этого вычислим условную характеристиче |
скую функцию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М(ехрг[г;Ѳ5 + |
2 ^]|5 Г |_ ,) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
= М (ехр і [г|Ѳ5] М {exp i |
| |
|
|
Ѳ,} | |
|
О3-92) |
Очевидно, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М (exp і [Zjlf] I |
Ѳ,_,, Ѳв) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
= ехр| iz\ (Л0 (t — 1, g) + Л, (t — 1, g) Ѳ#_,) — |
|
|
|
|
|
z l ( B o B ) ( t - l , t ) z 2}. |
(13.93) |
Далее, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р(Ѳг_ і < м Л ь |
ѲЛ |
|
|
|
s), |
у (t — 1, s)) |
|
516 |
|
у с л о в н о -г а у с с о в с к и е п о с л е д о в а т е л ь н о с т и |
|
|
|
[ГЛ. 13 |
|
|
|
|
|
и в силу |
(13.93) |
|
|
|
*.]\П-ѵ Ѳ,} = |
|
|
|
|
|
М{М[ехр*(2&)|П-Р |
|
|
|
|
|
|
|
« e x p { / [ z M o ( ^ - l , |
l ) ] - \ z l { B ° B ) ( t - 1, g)z2} x |
|
|
X |
M {exp / [z’/lj (/ — 1, |
g)0t_ ,]\ T \ _ X, 0S) = |
|
|
|
|
|
= |
exp{ izMo (t - |
1, I) - |
~ ZHB о ß) (t - |
1, l) z2} X |
|
|
|
X expj i [z*2Ai {t— \,l) m e s {t— \, |
s)] — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s) A \ { t - \ , |
l)z2\. |
По лемме 13.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m Qs { t — |
1, s) = |
<p£-10s + |
^ -1 |
(P-п. H.) |
|
|
|
|
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M { e x p if z ^ J |^ _ ,, 0S} = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= exp (iz* (Л0 (t — 1, I) + |
Л, (/ — 1, g) i^ -') — |
|
|
|
|
|
-±-z*2((B о B)(t - |
l, $ + |
A i « - l, |
l)y(t - |
l, |
s) ^ ( ^ - l , g ) ) z 2 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ iz;A{( /- 1 ,|) ф ^ * 0 в}, |
что вместе с (13.92) приводит к равенству |
|
|
|
|
|
М (exp i [Zj0s + z ^ t] I |
|
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= exp [iz\ (Л0 (t — 1, g) + |
Ax{t — 1, g) ^ - ‘) — |
|
|
|
|
|
- ^ z l ( ( B o B ) ( t - |
1, g) + 4 , ( f - l , g ) Y( * - l , |
s) ЛТ(^ — 1, g))z2} X |
|
X M [exp /[z*0s + |
z\ (Л[ (t |
|
1, I) (Ps-I9s)] I £F|_,}. |
(13.94) |
Пусть |
t = s |
1 • |
Поскольку |
|
распределение |
Па (s, |
s) = |
= P(0S < |
а | 5 І ) ~ yV(msl Ys), |
то |
из (13.94) |
вытекает, |
что |
рас |
пределение P(0s ^ a , |
£s+i ^ * I#*!) |
также гауссовское. -Отсюда |
уже |
нетрудно вывести, |
что гауссовским будет распределение |
TIa(s, |
s + 1 ) . Из (13.94) |
по индукции доказывается, что |
и при |
любом t > |
s условные распределения lla (s, t) тоже гауссовские. |
З а м е ч а н и е . |
Тем |
же методом доказывается |
гауссовость |
условных |
распределений |
Р {Ѳ* |
а \$Г\, |
Ѳ„ = |
b] при |
u < s ^ t . |
3. |
|
Итак, согласно |
теореме |
13.6 |
распределение |
LIa (s, t) — |
= Р (Ѳ®< а I &~}) ~ N ( m (s, t), у (s, /)), если гауссовским является распределение fla (s, s). Найдем прямые уравнения (интерпо ляции) для т (s, 0 и у (s, і).
