Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 259
Скачиваний: 0
§ 3] |
ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИНТЕРПОЛЯЦИИ |
|
517 |
|||||||
Т е о р е м а |
13.7. |
Если |
n a (s, s) /ч/ N{ms, ys), |
то |
m (s, t) |
и |
||||
у (s, |
t) при t > s |
удовлетворяют уравнениям |
|
|
|
|
||||
m{s, |
t + \ ) = |
m (s, t) + у {s, t) (ф‘)* A\ (/, £) X |
|
|
|
|
|
|||
X [(ß о В) (t, g) + |
Ai (t, g) Ъ А1 (t, g)]+ [g<+1 - |
Ло (t, |
g) - |
Ai (t, g) mt), |
||||||
Y (s, |
t + 1) = Y (s. 0 — Y (s, *) (ф|)" ЛІ (/, g) X |
|
|
|
(13.95) |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
|
X [(ß » В) (t, |
I) + |
Л, (t, g) Y(Л! (t, g)]+ Л1(t, |
g) фly (s, t), (13.96) |
||||||
где |
m (t, t) — mv |
у (t, t) = |
yt, а матрицы |
ф* |
определяются |
из |
||||
(13.89).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Как следует из теоремы 13.6, услов
ное распределение Р(Ѳ, < а , It ^ . х \tFt-i) нормально. Пара метры этого распределения можно было бы получить из (13.94), однако их проще найти, используя теорему о нормальной кор реляции.
Согласно замечанию к этой теореме
М(Ѳ,||*, |
^ ^ і ) - М ( Ѳ П ^ _ і ) + |
« |
+2 ^ - М ( і г | Л і ) ] , |
(13.97) |
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ü!12 = c o v ( 0 s, |
gf j 9~\_х), |
|
|
|
|
(13.98) |
|||
d22 — cov |
I |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= л, (t - |
1, g) Y f _ , л; (t - |
1, g) + (ß о В) (t - |
1, 1). |
(13.99) |
||||
Чтобы найти dx2, заметим, что в силу леммы 13.4 |
|
||||||||
пи- 1 - М (Ѳ,_, I r U ) = М [М (Ѳ,_, I Т ] - і, Ѳв) I Т \ - ,] - |
|
||||||||
= м [ф'~‘05 + |
|
\&~1?_l\ = (pt - 1tn{s, t — 1) + ^s-1* |
(13.100) |
||||||
Далее, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MlQt-i — mt-i \9~Ku |
0S] — |
|
|
|
|
|
|||
|
= |
Ф*~‘Ѳ5 + |
— [ф*-Іт (s, t — 1) + |
ФІ-1] = |
|
||||
|
|
|
|
= Ф*-1 [0t_, — m(s, t — 1)], |
(13.101) |
||||
|
M [gt I T \ _ x] = Л0 (/ — 1, g) + Л, (t - |
1, I) mt_i |
(13.102) |
||||||
и по лемме |
13.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
M {[it - |
M (gt I |
|
\g-\_v Ѳ,} = |
M{[Л, (t- 1 |
, 1) (0t_t - |
mt_i)+ |
|||
+ |
ß, (t - 1, g) e, (t) + в 2( t - |
1, g) e2(0J* I |
|
es} = |
|
||||
= |
M {[Al (t - 1, g) ( Ѳ - |
ffl(-,)l* 1F\-U |
Os} = |
|
|
||||
|
|
= |
[0s ~ m (s, t - |
1)J* (ф^-1)’ л; (/ - 1 |
, 1). |
(13.103) |
|||
518 |
|
УСЛОВНО-ГАУССОВСКИЕ |
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ |
[ГЛ. 13 |
|||
Поэтому |
из |
(13.100) — (13.103) |
находим: |
|
|
||
di2 = cov(0s, £( | £■!_,) = |
|
|
|
|
|||
= |
М {[Ѳ, - |
т (S,t - |
1)] [g, - М (6,1^ _ ,) Г I П - і } = |
|
|||
*= М {[0S - |
т (S, |
t - 1)] [Ѳ - т (s, *-1)]’ («pj"1)* А] ( t - l , l) | |
= |
||||
|
|
|
= |
Y (ä, ^ — I) (ФІ“1)’ |
— 1, Ö- |
(13.104) |
|
Из (13.97), (13.98), (13.102) и (13.104) получаем уравнение (13.95) .
Чтобы вывести уравнение (13.96), заметим, что согласно
замечанию к теореме о нормальной корреляции |
|
|
|||||||||
где |
y(s, t) = |
cov (0S, 0SI !Ft-i, |
\t) = du — dudzidu, |
(13.105) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du = cov (0S, О, | |
= y M |
— !)• |
(13.106) |
||||||
Из (13.105), (13.106), (13.104) и (13.99) |
|
получаем требуемое |
|||||||||
уравнение (13.96) для y(s,t). |
|
|
|
|
|
|
и = 0, |
|
|||
4. |
Т е о р е м а 13.8. Если матрицы (В ° В) (и, %), |
1, ..., |
|||||||||
невырождены, то решения m(s, t) |
и у (s, t) |
уравнений |
(13.95) |
и |
|||||||
(13.96) задаются формулами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
m (s, t) = |
|
t-i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E + ys |
(«p“)’ A \ (и, 1) ((ß о ß) (u, g) + |
|
|
|
|||||||
+ |
Aj (и, |
g) у (и, |
s) A\ (и, I)) |
1Л, (и, g)qp“ |
- I |
X |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||||
X |
m. + |
t-l |
(ф?)* л; (и, g) ((В о В) (и, |
I) + |
Л( (и, I) у (и, S) X |
|
|||||
Y, 2 |
|
||||||||||
|
X л; (и, I))-1(g„+I - |
л0(и, I) - |
л, (и, |
I) ^ “) |
(13.107) |
||||||
|
|
|
t-l |
|
|
|
|
|
|
|
|
Y («» 0 = Е + Y* |
S (ф“)’ л; (и, g)((ß о В) (и, |
g) + |
|
|
|
||||||
|
+ |
Л, (и, |
g) у (и, s) л; (и, g)) |
1Л, (и, |
I) cp“ |
-1 |
|
|
|||
|
Yo. |
(13.108) |
|||||||||
sdè qp“, ф“ и у{и, s) определены формулами (13.89), (13.90) и (13.91).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Покажем сначала, что для всех t>s
Yf-H = Y(*-1> «) + ф $ " ^ ( М - 1)(фП * - |
(13-109) |
§ 3] |
ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИНТЕРПОЛЯЦИИ |
519 |
|||
|
|||||
|
В самом деле, |
|
|
|
|
Ѵ<-і = соѵ(0t_„ V , |
I |
= |
M {[О, - /+_,] [0t - mt_x\ | ^ _ і } = |
||
= |
М {[Ѳ/-і — mes ( t ~ |
1, s) + |
mes (t— 1, s) — mt~\\ X |
|
|
X [Ѳ*_і — mes (t — 1, s) + |
m&$ (t — 1, s) — mt- 1f | 9~\-1} = |
|
|||
=M {M [(0t_,-OT0s( f - l , s))(0t_i—me, (/—1, s)Y l ^ l . p 05] I ^ ? -i} +
+ |
M {(mes (t — 1, s) — mt-i) (m0s (t — 1, s) — |
| |
— |
||
= |
М {у (* -1, |
s)|3 T t.} |
+ |
|
|
+ |
M {Ф^-1(0, - |
m (s,t - |
1)) (0, - m (s, t - 1))* |
|
I F \ _ x) = |
|
|
= Y (t — 1, s) + ф^- 'y (s,t — 1) (ф*"1)*, |
||
где использовано равенство (13.100): |
|
|||
|
|
mt_l = ф\~{т (s, t — 1) + ф+*. |
|
|
Из (13.96) и (13.109) получаем: |
|
|||
Y (s ,t) = Y ( s ,t — |
1) — у ( s ,t — 1) (ф*-1 (S))* A\ (t — |
1, 1 ) X |
||
X[ ( ß<»ß) ( / - l , g) + Л , ( / - 1 , £)y (* -1 , s) A\{t — 1,1) + |
||||
|
+ A x( t - |
1,6) Ф<-‘ѵ (s, t - |
1) (ф '-1)* Л; (t - |
1, I)]"1X |
|
|
Х Л 1( 1 - Ц ) ф ‘- |ѵ (« ,1 -1 ). (13.110) |
||
Положим здесь для t > s |
|
|
||
|
Л ^ - І , 1) = Л1(^ — 1, |)ф ‘- ', |
|
||
( B ^ B ) ( t - 1, D = (BoB)(t— l, 1) + |
(13.111) |
|||
|
|
+ ЛI (^ — 1, l)y(t — 1, s) л и г - 1,1). |
||
Тогда |
у (s,t) будет удовлетворять (no t > s) уравнению |
|||
Y(S, 0 |
= Ѵ ( 5 . ^ |
- 1 ) - У ( « , / - 1 ) Л И ^ - 1 , 1 ) ( [ 5 Т в ) ( / - 1 , 1 ) + |
||
+ |
л, ( / - 1 , |
1) Y (s>t — \ ) A \ { t |
— 1, l)]-1 Л ,(* - |
1, l) Y ( s X - l) . |
Наряду с (13.111) введем обозначение Ä0{t—1,1)=Л0(£— 1,1)+ + Л, (t— 1,1)Ф^_1. Тогда уравнение (13.95) можно переписать
в следующем виде:
m(s, t) = m ( s , t — I) + y ( s , t — 1) Ä\{t— 1, l)[(ß°ß)(* — 1,1) +
+ Л, (^ - 1 ,1 ) у (5 Х - 1 ) Л І(^ - 1 ,1 ) Г 1Х
X [g, - л 0 (/ — 1, 1) - Л, (t - 1, 1) m (s,t - 1)].
520 |
|
|
у с л о в н о -г а у с с о в с к и е п о с л е д о в а т е л ь н о с т и |
|
|
|
[ГЛ. 13 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Решения |
же |
этого уравнения |
(см. далее теорему |
13.15) |
опре |
||||||||||||||
деляются формулами (13.107), (13.108). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
5. |
|
Рассмотрим еще один класс задач интерполяции, со |
||||||||||||||||
стоящих в построении наилучших (в среднеквадратическом |
|||||||||||||||||||
смысле) |
оценок |
вектора |
Ѳя |
по |
наблюдениям |
|
£о = |
{ё0, |
. . . , |
||||||||||
и известному |
значению 0,— ß |
(ср. с п. |
6 § |
4 |
гл. 12). |
|
|
|
|||||||||||
|
Обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Haß(s, t) = |
P ( 0 S < |
a Iт\, |
Ѳ/ = |
ß), |
|
t ^ s , |
|
|
|
|
||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m&(s, f) = M (0SI |
Qt = |
ß), |
|
Y0 (s, t) = |
cov (0s, 0s | |
, 0f = |
ß). |
||||||||||||
|
Т е о р е м а |
|
13.9. |
Если |
условное |
распределение |
|
n a (s) = |
|||||||||||
«=P(Os < a | 0 l ) |
нормально, |
то |
апостериорное |
распределение |
|||||||||||||||
IIUß(s, t) |
при |
всех |
s также нормально. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Вычислим |
условную |
|
характеристиче |
||||||||||||||
скую функцию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
М {exp i [2*0s+2*0f] 15Г|}=М {exp i [z’0s] M (exp i [2*0*] |Т \ , |
0S) | 5^1}, |
||||||||||||||||||
где z = |
(2 ,, |
. . . , Zk), |
z = |
(zu |
. . . , г*). |
Согласно |
замечанию |
||||||||||||
к теореме 13.4 распределение |
P ( 0 * ^ ß |0 s, g~\) |
является |
гаус |
||||||||||||||||
совским, |
N (mes (/, s), |
Yes (t, s)). |
По |
лемме |
|
13.5 |
mes (t, |
s) = |
|||||||||||
= |
|
+ |
а ковариация уѳ (t, s) не зависит от Qs: уѳ (t, s)= |
||||||||||||||||
= |
Y (t, |
s). |
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
M {exp [г‘2 *Ѳ/] 19~\, |
0S} = |
exp |
• ~4 |
+ T()- |
\ z y ( t , |
s)z |
|
|||||||||||
|
I Z |
|
|
||||||||||||||||
M (exp i [2 *0S + 2 *0*] I |
■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
exp |
г (ё‘ф‘) — -j z*y (t, s) z |
M (exp i [2 *0S + 2 *<p*0s] \9~)). |
|
(13.112) |
||||||||||||||
Но |
условное |
распределение |
P(05^ a |£ T * ) |
является |
гауссов |
||||||||||||||
ским (теорема 13.6). Поэтому из (13.112) следует, что таковым |
|||||||||||||||||||
будет |
и |
распределение Р(Ѳ5< |
a, |
0 t< ß |^ " * ) , |
что вместе с гаус- |
||||||||||||||
совостью |
распределения Р (ѳ, < |
ß |< г|) |
(см. |
замечание |
к тео |
||||||||||||||
реме 13.3) доказывает нормальность апостериорного распреде |
|||||||||||||||||||
ления |
Ilaß (s, t) = |
Р (Ѳ* < a 1 |
|
0* = ß). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
6. |
|
Метод, примененный для доказательства теоремы 13.9, |
||||||||||||||||
позволяет завершить |
доказательство |
теоремы |
13.3. |
|
|
|
|
||||||||||||
