Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Скачать файл (19,70Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 238

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

572

ПРИМЕНЕНИЯ К ЗАДАЧАМ СТАТИСТИКИ

[ГЛ. 14

Д о к а з а т е л ь с т в о . Имеем

Д (а)= В +— {аЕ + ß ’ß)-1 В * = (аЕ +							ß ’ß )-1[(aß+ ß ’ß) В+— В*\=
				= (аЕ +		ß ’ß )-1 [aß+ + aßßß+ — aß].
Но ВВВ+ — В (свойство					7°, § 1	гл.		13). Поэтому
и		А (а) =			а (aß +	ß ’ß)-1 ß +

А (а) (А (а))* = а2(aß +					ß ’ß )-1 (ß‘ß)+ (aß +				ß ’ß)-1,	(14.155)
поскольку		ß + (ß +)’ =	(ß’ß)T (свойство					5°, § 1 гл. 13).
Если ß ’ß — диагональная матрица, то справедливость (14.153)
следует	из (14.155), поскольку нули на диагоналях матриц ß ’ß
и (ß*ß)+	совпадают.		В	противном			случае с помощью			ортого
нального преобразования					S (S ’ =	S -1)		получаем
S* (ßß) S = diag (ßß), S ’ (ß’ß)+S = diag (ß*ß)+
и
SA (a) (A (a))S =
= а [aß +		diag (ß’ß)]-1 diag (ß*ß)+ [aß + diag (ß’ß)]-1 -> 0,a J 0.
Отсюда в силу невырожденности							матрицы		S получаем
		А (а) (А (а))* -> 0,						а J, 0.
Итак, (14.153) установлено.						надо		теперь	лишь заметить,
Для	доказательства			(14.154)
что в силу		(14.153)
ß — ß +ß =		ß — lim (aß +		ß ’ß)-1 ß ’ß =
		a^O
— E — lim (aß + ß ’ß)-1 (ß*ß -[-aß — aß) = lim (aß-)- ß ’ß)-1 a.
	ayo							a^O
Лемма		доказана.		т е о р е м ы			14.5. Если система			Ах — у
Д о к а з а т е л ь с т в о
совместна, fo требуемое утверждение вытекает из теоремы											14.4.
Перейдем к рассмотрению общего случая.
Покажем прежде			всего, что вектор xt = A t y l можно								полу
чить следующим образом:
					xt — Y\mxat					(14.156)
					ayo		’

где x“, а > 0, есть решение совместной системы линейных уравне ний

(aß + А]At) x“ = Aty1■

(14.157)

§ 5] П РИБЛИ Ж ЕН НЫ Е РЕШЕНИЯ 573

Действительно, пусть вектор х“ (/) = (х? (/),			х“(/)) мини
мизирует	функционал
	4 * а) = 2 к * “ - і ь Г + а 2 (4Т.
	S= 1	/=1
где ха =	(х'\|1, . .., X“). Тогда нетрудно	видеть,	что
	xat = ( a E -\г А]А{)	1Ау.	(14.158)

Отсюда непосредственно следует, что х^ является решением совместной системы уравнений (14.157). Но по лемме 14.10

lim (аЕ + At At) At — A t ’

а0

что вместе с (14.158)

и доказывает равенство

xt =

lim x“

Выведем

теперь рекуррентные

уравнения

а * 0

х^,

для векторов

t ^ k .

Для

этого воспользуемся

приемом,

примененным

при

доказательстве

предыдущей теоремы.

вектор

МѲ — 0,

Пусть

Ѳ= (Ѳ!, . .. ,

Ѳ„) — гауссовский

МѲѲ* = Е ,

пусть е(,

t =

1, . . . .

k ,-—гауссовская

последова

тельность

независимых

случайных

величин

ІѴЦ =

М г \= \,

не зависящих от вектора Ѳ.

Положим

£/+1= а /+іѲ, + а ,/гв,+„

а >

(14.159)

где

Ѳ( =

Ѳ.

Тогда

m“ =

М (Ѳ, 1

. . .,

l t) =

М (Ѳ 1g,,

. .. ,

l t),

Y“ =

M [(Ѳ — m<})(Ѳ— m<t)*] согласно теореме 13.4 удовлетворяют

следующей системе уравнений:

tnf+, =

mat +

V°af+i

(£/+i

at+\mf)’

m« =

(14.160)

а + at + ly'}at + ]

Y?+,=Y? ----

V°iaf+iaf+iV?

’

Yo = E -

(14.161)

а "Г at+iY?a;+i

Согласно

теореме

13.15

решения

и y“ э т и х

уравнений

•задаются

формулами

t- 1

m? = К

(14.162)

+ Л Д ) - '

S + l 6.+I=

л и д - 1

5 = 0

<-i

- 1

Y“

ot£+ s2=0aS+lßS+l

= a(ct£ +

A]At) - \

(14.163)

574	ПРИМЕНЕНИЯ К ЗАДАЧАМ СТАТИСТИКИ	[ГЛ.	14
Пусть	А" = y t — atxav А“ = (Д“........ A“), e = (e,, . ..,	eft)	и

EtA'1— у — Atxa, где Et — матрица, образованная первыми t строками единичной матрицы Е размерности (k X k). Положим 2 == Ѳха -f- а_і/2е Дп. Тогда

М ^2 = М [а,Ѳ +	a l/2e j [Ѳ ха + а-І/2е Аа] = atxa + A“ =	yt,
M g'z= М [AtQ+	аІ/2£,Аа][ѳ У + сГі;Уд°] =	(14.164)
	= Atxa + EtAa = у \

= (аЕ -f- A*tAt) 1А]Ы\гг = (аЕ + А\А^ ' А\у1— xat . (14.165)

Умножая (справа) на 2 левую и правую части (14.160), вычисляя затем математическое ожидание и принимая во вни мание соотношения (14.164) и (14.165), находим, что

= *? +	У?аі+1		{Уі+і	at+ix<t)’ *0 —	(14.166)
Ч+1	а 4-п	ѵал*	Ѵ^г + І
	а + at+\ytat+\
В силу леммы (14.10)		существует
	Ііш y* = E — A f A t			(= Y,)-
	а 4 0

Поскольку rang Л — k, то at+ly*at+l> 0 при всех а > 0 , что

вытекает из (14.163) и теоремы 14.4. Поэтому в (14.161) воз можен предельный переход при а | 0, что дает для у, = lim уа,

уравнение		а	4 о
уравнение
Ѵ < + і — У і	~ 4 t a *t+\ ( a f + i ' V < a t + i )a~t 1+ lV t,	У 0 = Е -
Наконец, совершая в (14.166) предельный переход по			а \|	0,
получаем в силу (14.156) требуемое уравнение (14.140).
Теорема доказана.
З а м е ч а н и е .	Система рекуррентных соотношений (14.166),
(14.161) при а > 0 справедлива и для случая k		> п, rang А ^		п.

Таким образом, с помощью этой системы отыскиваются век

торы х%= (аЕ + А*А) А у - > А +у для матрицы А{кхп) ранга г<Ппіп(&, п) (см. лемму 14.10).

Г Л А В А 15

ЛИНЕЙНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

§1. Винеровский процесс в широком смысле

1.В предыдущей главе при отыскании оптимальных линей ных оценок для стационарных последовательностей с дробно

рациональным спектром был использован часто применяемый в теории вероятностей принцип взаимосвязи между свойствами «в широком» и «в узком» смысле. Применительно к исследо ванному случаю этот принцип состоял в том, что для построе ния оптимальной (в среднеквадратическом смысле) линейной оценки достаточно было рассмотреть лишь случай гауссовских последовательностей (лемма 14.1). Этот принцип будет приме нен ниже и в задачах линейного оценивания процессов с не прерывным временем. Полезным при этом оказывается введе ние в рассмотрение понятия винеровского процесса в широком смысле.

2. О п р е д е л е н и е 1.		Измеримый случайный			процесс
W = {Wt),	О, заданный	на вероятностном пространстве (П,
Р), называется винеровским процессом в широком смысле,
если		Г 0 =	0	(Р-п. и.),

	М№, =		0,	О,	(15.1)

N\WtWs — t А s.

Ясно, что всякий винеровский процесс является в то же время винеровским и в широком смысле. Другим примером винеровского процесса в широком смысле является процесс

			Wt = nt — t,			(15.2)
где	П = (%),		0, — пуассоновский	процесс	с Р (я0 = 0) — 1 и
P(„t = Ä) =		e- * i l
z =	Пусть	t,	0, — неубывающее	семейство		ст-подалгебр Т ,
z =	(zt,&rt),		t ^ O , — винеровский процесс		и	а = (аДсо),

576	ЛИНЕЙНОЕ	ОЦЕНИВАНИЕ	СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ	[ГЛ. 15
	О,— некоторый	процесс с Ма^(со)>0,		Тогда про
цесс		t
		t
	Wt =	f - 7	dzs, 0 < * < 7 \	(15.3)
		І УМа^а)

является еще одним примером винеровского процесса в широ ком смысле. Заметим, что этот процесс имеет Р-п. н. непре рывную модификацию.

Из определения ясно, что винеровский процесс в широком смысле есть процесс с ортогональными приращениями, т. е.

			[Wt,	WtS [Ws,
если	s, < s2< t l < t2.
Пусть Ф(<іА),			— oo < А < oo, — ортогональная спектральная
Пусть Ф(<іА),			М	—		—		= о,
мера с МФ {dX) =			О, М \| Ф (dl) \|2 =		~		. Из спектральной теории
стационарных		процессов		известно,		что для			каждой измеримой
функции ф(А)		такой, что
				оо
			J I ф(А) fdX <				О О ,
			— ОО
можно определить стохастический						интеграл *)'
				00
			/ (ф,	Ф )= /ф(Я,)Ф.(гіА),
				— оо
обладающий следующими двумя важными									свойствами:
				00
			М	J ф(А)Ф(гіА) =				0,	(15.4)
				—со
	00		оо					оо
М	J ф 1(A)Ф(dA) J ф2 (А) Ф (dl) — ~							Jфі (А) ф2 (А) dk. (15.5)
	—оо		—оо					—оо