§ 1| |
|
|
В И Н Е Р О В С К И Й П Р О Ц Е С С В Ш И Р О К О М С М Ы С Л Е |
|
5 7 7 |
Л е ім м а |
15.1. Случайный |
процесс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гоо |
еш —1 |
|
|
(15.6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
является винеровским процессом в широком смысле. |
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Не |
очевидным является лишь свой |
ство |
N \ W s W t = s / \ i . |
Для |
его проверки |
обозначим |
А = ( t b |
t 2) , |
A' = (Sj, |
s2) |
два непересекающихся интервала. |
Тогда |
|
|
М [Wt, - |
WtMWs, - r |
Sl] = М [Wtl- |
W,] [WSi- |
Ws,] = |
|
|
|
|
|
|
|
2it |
j* (^Ц^з — |
Cj |
iXsi |
e~ils<) |
dX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X2 • |
Но если |
|
|
|
|
1, |
t <= A, |
|
|
|
|
|
|
|
|
( t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
0, |
i ф A, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то в силу равенства Парсеваля |
|
оо |
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_L |
J (еш 2_ еш,)(е-гл52_ |
е- ш |
, ) ^ = |
J хд (0Хд,{t)dt = 0. |
Поэтому |
|
M[W7i2- r |
j |
[ r , 2- i r Sl] = o. |
|
(15.7) |
|
|
|
|
Аналогично доказывается, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
M F * 2- r d 2= J ( x A( 0 ) * Ä= f a - ^ |
(15.8) |
|
Из (15.7), (15.8) следует, что рассматриваемый процесс является процессом с некоррелированными приращениями и
с М W\ — t. Поэтому, если t > s, то
UWtWs = М [Wt — Ws + Ws] 1Vs = IШ І = s = t A s .
Точно так же и при і < s
|
М WtWs = t A s . |
|
Лемма |
доказана. |
|
Для дальнейшего полезно заметить, что если винеровский |
процесс в |
широком смысле Wt, і ^ О , является |
гауссовским, |
то у него существует непрерывная модификация, |
являющаяся |
процессом броуновского движения. Действительно, в силу гауссовости М [Wt — Wsf = 3 (М [Wt — Wsf f = 3 \t — s |2. Поэтому по
19 P. Ш. Липцер, А. H. Ширяев
578 Л И Н Е Й Н О Е О Ц Е Н И В А Н И Е С Л У Ч А Й Н Ы Х П Р О Ц Е С С О В [ Г Л 15
критерию Колмогорова (теорема 1.10) рассматриваемый процесс имеет непрерывную модификацию, являющуюся по определе
нию (см. |
§ |
4 гл. |
1) процессом броуновского движения. |
3. |
Пусть |
детерминированная (измеримая) функция / ( / ) е |
e L 2[0, |
Т]. |
По |
винеровскому процессу в широком смысле |
W — (W(), t > 0 , можно определить стохастический интеграл Ито |
(в широком смысле) |
|
т |
|
|
|
|
|
|
М |
/ ) |
|
|
|
|
|
|
= f(s)dWs,J |
|
(15.9) |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
положив |
по определению |
|
|
|
|
|
|
M f ) = |
1-i-m. |
2 |
w t(n) ~ W tin}], |
(15.10) |
|
|
|
|
П |
k |
k+i |
k J |
|
где |
fn(i) — простые |
функции |
(/„W = /„(4rt)) Для ^п) |
f |
О = |
t(on) < |
t[n) < ... |
< t (n — f), |
обладающие |
тем свойством, что |
|
|
|
|
П I |
|
|
|
(15.11) |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
Так определенный интеграл обладает следующими свой |
ствами (ср. с п. 5 § 2 гл. 4): |
|
|
|
h W i + |
bf2) = |
аІт(ft)+bIT (/2); |
а, b — const, |
f , s i 2[0, |
Г], (15.12) |
|
|
|
t |
u |
|
t |
|
|
|
|
\ |
f(s)dWs = |
\ f(s)dWs + \ f{s)dWs, |
(15.13) |
где |
|
0 |
|
|
0 |
и |
|
|
|
|
t |
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J f(s)dWs = |
j f ( s ) %iutfl(s)dWa, |
(15.14) |
|
|
|
и |
|
0 |
|
|
а *iu *](s) — характеристическая функция множества u ^ s ^ t .
|
t |
|
|
Процесс |
/ * ( / ) = | f(s)dWs |
непрерывен по t в среднем |
квадра- |
тическом, |
о |
|
|
|
|
|
|
МJ t / (s) dWs = 0, |
(15.15) |
|
о |
|
|
t |
t |
t |
|
М f |
f, (s) dWs I' f2 (s) dWs = |
f |
f , (s) f2 (s) ds, f t < = L 2 [ 0 , T ] . (15.16) |
Ü |
ü |
Q |
|
§ И ВИНЕРОВСКИЙ ПРОЦЕСС В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ 579
|
т |
|
т |
|
Если *) |
J I g (s) j ds < |
oo, |
\ |
/2 (s) ds < oo, TO |
t |
о |
|
0 |
|
|
|
t |
|
|
|
{ g(s) ds ^ f (s)dWs — I |
I |
g (u)dujf(s)dW s + |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
+ j |
t / S |
|
|
|
|
[\f(u)dWu g (s) ds. (15.17) |
|
|
|
|
0 |
^0 |
Существование интеграла (15.9) и сформулированные свой ства проверяются так же, как и в случае стохастического интеграла Ито по винеровскому процессу (§ 2 гл. 4).
4. |
Пусть a(t), |
b(t), |
f(t), |
t ^ T |
, — измеримые |
(детерминиро |
ванные) функции такие, что |
|
|
|
|
т |
|
|
т |
|
|
|
^ \ a(t)\dt < oo, |
^b2(t)dt< оо, |
(15.18) |
|
о’ |
|
|
6 |
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
J ( \ f ( f ) a ( t ) \ |
+ \ n t ) b ( t ) f t - d t < « > . |
(15.19) |
|
о |
|
|
|
|
|
Положим |
|
t |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
l , = |
J a (s)d s+ J |
b(s)dWs, |
(15.20) |
|
|
о |
|
о |
|
|
где Ws, s ^ O , — винеровский процесс в широком смысле.
По этому процессу можно определить интеграл J f(s)dls,
о
положив
*) Последний интеграл в (15.17) существует в силу теоремы Фубини и неравенства
S |
г |
/ |
S |
42 |
|
J f(u) dWu k(s)l<fe< |
f f («) dWa |
|
|
M |
\ g ( s ) \ d s = |
0 |
0 |
\ |
-0 |
|
|
|
|
|
|
|
1/2 |
|
|
|
= |
Г ( I* Г (и) du |
I g(s)| ds< оо. |
0 '6
580 |
Л И Н Е Й Н О Е О Ц Е Н И В А Н И Е |
С Л У Ч А Й Н Ы Х П Р О Ц Е С С О В |
[ГЛ . 15 |
где fn(t) — последовательность |
простых функций таких, что |
|
т |
|
|
l i m |
f [I а (t) И f (t) — fn (t) I + |
b2 (t) I f(t) — fn (t) I2] dt = |
0 . |
n |
V |
|
|
t
Так определенные интегралы ^f(s)d^s являются ^ f -измери-
6
мыми и обладают тем свойством, что Р-п. н.
t |
|
|
|
t |
|
t |
|
|
f f (s) d%s = |
f f{s)a{s)ds + f f {s)b{s)dWs, |
0 |
(15.22) |
ö |
|
o |
|
|
|
b |
|
|
(Cp. |
c |
n. |
11 |
§ 2 гл. 4.) |
|
|
5. |
Пусть v = (vt), |
0, — процесс с ортогональными |
прира |
щениями, |
с М (ѵ/ — vs) — 0 и |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
М (ѵ, — vs)2 = J а2 (и) du, |
|
(15.23) |
|
Т |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
[ |
а2 {и) du < оо. |
Для детерминированных (измеримых) функ- |
|
о |
|
удовлетворяющих условию |
|
|
ций f(t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
[ a2(u)f2(u)du < оо, |
|
(15.24) |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
также |
может |
быть определен стохастический |
интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
j f ( s ) d v s |
|
(15.25) |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
как предел (в среднем квадратическом) соответствующих инте
гральных сумм |
|
2 / „ (s^) [\(я), ~ vs(n)] при |
«•—> оо, где |
после |
довательность простых функций fn{s) такова, что |
|
т |
|
|
|
|
11 |
fn{s) — f(s) f a 2(s)ds->0, |
п-*оо. |
|
о |
|
|
|
|
Корректность |
такого определения устанавливается |
так же, |
как и в случае стохастических интегралов, по квадратично интегрируемому мартингалу *), для которого соответствующий
*) Полезно заметить, что всякий квадратично интегрируемый мартингал является процессом с ортогональными приращениями.
